1、第第 4 课时课时 导数与函数的零点导数与函数的零点 考点一 判断零点的个数 【例 1】 (2019 合肥质检)已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3，xR. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)f（x） x 4ln x 的零点个数. 解 (1)f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3， xR， 设 f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且 a0. f(x)minf(1)4a4，a1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)x22x3. (2)由(1)知 g(x)x 22x3 x 4ln
2、xx3 x4ln x2， g(x)的定义域为(0，)，g(x)1 3 x2 4 x （x1）（x3） x2 ，令 g(x)0， 得 x11，x23. 当 x 变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，) g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 当 02 512290. 又因为 g(x)在(3，)上单调递增， 因而 g(x)在(3，)上只有 1 个零点， 故 g(x)仅有 1 个零点. 规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数 g(x)(要求 g(x)易求，g(x)0 可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求 解
3、，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化 趋势)等，画出 g(x)的图像草图，数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数 研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零 点的个数. 【训练 1】 已知函数 f(x)ex1，g(x) xx，其中 e 是自然对数的底数，e 2.718 28. (1)证明：函数 h(x)f(x)g(x)在区间(1，2)上有零点； (2)求方程 f(x)g(x)的根的个数，并说明理由. (1)证明 由题意可得 h(x)f(x)g(x)ex1 xx， 所
4、以 h(1)e30， 所以 h(1)h(2)0，因此 (x)在(0，)上单调递增， 易知 (x)在(0，)内至多有一个零点， 即 h(x)在0，)内至多有两个零点， 则 h(x)在0，)上有且只有两个零点， 所以方程 f(x)g(x)的根的个数为 2. 考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围 【例 2】 函数 f(x)axxln x 在 x1 处取得极值. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 yf(x)m1 在定义域内有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)axxln x 的定义域为(0，). f(x)aln x1， 因为 f(1)a10，解得 a1， 当
5、a1 时，f(x)xxln x， 即 f(x)ln x，令 f(x)0，解得 x1； 令 f(x)2， 当 00. 当 x0 且 x0 时，f(x)0； 当 x时，显然 f(x). 由图像可知，m10 时，f(x)0，f(x)在 R 上是增函数， 当 x1 时，f(x)exa(x1)0； 当 x0， 解得e20). 当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点； 当 a0 时，因为 ye2x单调递增，ya x单调递增， 所以 f(x)在(0，)上单调递增. 又 f(a)0，假设存在 b 满足 00 时，f(x)2aaln 2 a. 规律方法 1.在(1)中，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调
6、递增，从而 f(x)在 (0，)上至多有一个零点，问题的关键是找到 b，使 f(b)2 时，g(x)是减函数， 所以 g(x)ln 2.56 3 2 4 ln（1.6 2） 3 2 4 ln1.6 3 4 ln4.096 4 ln 10， g(x)2 时，f(x1)f 1 x2 0， 当 x2 时，f(x)有极小值 f(2) a e21. 若使函数 f(x)没有零点，当且仅当 f(2) a e210， 解之得 ae2，因此e20)， 令 g(x)0，得 m1 3x 3x(x0). 设 h(x)1 3x 3x(x0)， 所以 h(x)x21(x1)(x1). 当 x(0， 1)时， h(x)0， 此时 h(x)在(0， 1)内单调递增； 当 x(1， )时， h(x)2 3时，函数 ym 和函数 yh(x)的图像无交点. 当 m2 3时，函数 ym 和函数 yh(x)的图像有且仅有一个交点. 当 00 时，由 f(x)0 得 xa 3，由 f(x)0)，f(x)1x x (x0)； 当 01 时，f(x)0)，令 f(x)0，解得 x 1 a； 由 f(x)0，解得 0e 时，g(x)ln x x 1 2， 所以，方程|f(x)|ln x x 1 2没有实数根.
