1、 第第 1 节节 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算 最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意 义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1 x，yx 2，yx3，y x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数. 知 识 梳 理 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数 (1)定义：当 x1趋于 x0，即 x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那 么这个值就是函数 yf(x)在 x0点的瞬时变化率.在数学中， 称瞬时
2、变化率为函数 y f(x)在 x0点的导数，通常用符号 f(x0)表示，记作 (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0， f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0). 2.函数 yf(x)的导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f(x)：f(x) ，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x)为 f(x)的导函数，通常 也简称为导数. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)0 f(x)x( 是实数) f(x)x
3、1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0) f(x)axln_a f(x)ln x f(x)1 x f(x)logax(a0，a1) f(x) 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x) g(x)f(x) g(x)； (2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 (g(x)0). 5.复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为
4、 yxyuux. 微点提醒 1.f(x0)代表函数 f(x)在 xx0处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0) 0. 2. 1 f（x） f（x） f（x）2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只 有一个公共点. 4.函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势， 其正负号反映了变化的 方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率.( ) (2
5、)函数 f(x)sin(x)的导数 f(x)cos x.( ) (3)求 f(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f(x0)表示 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)sin(x)sin x，则 f(x)cos x，(2)错. (3)求 f(x0)时，应先求 f(x)，再代入求值，(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 22P35 例 5 改编)曲线 yx311 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵 坐标是( ) A.9 B.3 C.9 D.15 解析 因
6、为 yx311， 所以 y3x2， 所以 y|x13， 所以曲线 yx311 在点 P(1， 12)处的切线方程为 y123(x1).令 x0，得 y9. 答案 C 3.(选修22P25问题1改编)在高台跳水运动中， t s时运动员相对于水面的高度(单 位：m)是 h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度 v_ m/s，加速度 a _ m/s2. 解析 vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8. 答案 9.8t6.5 9.8 4.(2019 榆林质检)已知函数 f(x)x(2 018ln x)， 若 f(x0)2 019， 则 x0等于( ) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解
7、析 f(x)2 018ln xx1 x2 019ln x. 由 f(x0)2 019，得 2 019ln x02 019，则 ln x00，解得 x01. 答案 B 5.(2018 天津卷)已知函数 f(x)exln x， f(x)为 f(x)的导函数， 则 f(1)的值为_. 解析 由题意得 f(x)exln xex 1 x，则 f(1)e. 答案 e 6.(2017 全国卷)曲线 yx21 x在点(1，2)处的切线方程为_. 解析 设 yf(x)，则 f(x)2x 1 x2， 所以 f(1)211， 所以在(1，2)处的切线方程为 y21(x1)， 即 yx1. 答案 yx1 考点一 导数
8、的运算 多维探究 角度 1 根据求导法则求函数的导数 【例 11】 分别求下列函数的导数： (1)yexln x； (2)yx x21 x 1 x3 ； (3)f(x)ln 12x. 解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xe x x ex ln x1 x . (2)因为 yx31 1 x2，所以 y3x 22 x3. (3)因为 yln 12x1 2ln( )12x ， 所以 y1 2 1 12x (12x) 1 12x. 角度 2 抽象函数的导数计算 【例 12】 (2019 南昌联考)已知函数 f(x)的导函数是 f(x)，且满足 f(x)2xf(1) ln 1 x，则
9、f(1)( ) A.e B.2 C.2 D.e 解析 由已知得 f(x)2f(1)1 x， 令 x1 得 f(1)2f(1)1， 解得 f(1)1， 则 f(1) 2f(1)2. 答案 B 规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、 商，再利用运算法则求导. 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练 1】 (1)若 yxcos x 2sin x 2，则 y_. (2)已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)_. 解析 (1)因为 yx1 2sin x， 所以 y x1 2sin
10、x x 1 2sin x 1 1 2cos x. (2)f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即 f(1)2. f(x)2x4，f(0)4. 答案 (1)11 2cos x (2)4 考点二 导数的几何意义 多维探究 角度 1 求切线方程 【例 21】 (2018 全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数， 则曲 线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y2x B.yx C.y2x D.yx 解析 因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，所以 a10，则 a1，所以 f(x)x3x，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线
11、yf(x)在点(0，0)处的切 线方程为 yx. 答案 D 角度 2 求切点坐标 【例 22】 (1)(2019 郑州月考)已知曲线 yx 2 43ln x 的一条切线的斜率为 1 2，则 切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.1 2 (2)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y1 x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_. 解析 (1)设切点的横坐标为 x0(x00)， 曲线 yx 2 43ln x 的一条切线的斜率为 1 2， yx 2 3 x，即 x0 2 3 x0 1 2， 解得 x03 或 x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3. (2)函数
12、 yex的导函数为 yex， 曲线 yex在点(0，1)处的切线的斜率 k1e01. 设 P(x0，y0)(x00)，函数 y1 x的导函数为 y 1 x2，曲线 y 1 x(x0)在点 P 处 的切线的斜率 k2 1 x20， 由题意知 k1k21，即 1 1 x20 1，解得 x201，又 x00，x01. 又点 P 在曲线 y1 x(x0)上，y01，故点 P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1) 角度 3 求参数的值或取值范围 【例 23】 (1)函数 f(x)ln xax 的图像存在与直线 2xy0 平行的切线，则 实数 a 的取值范围是( ) A.(，2 B.(，
13、2) C.(2，) D.(0，) (2)(2019 东北三省四校联考)已知曲线 f(x)xa xb(x0)在点(1， f(1)处的切线方 程为 y2x5，则 ab_. 解析 (1)由题意知 f(x)2 在(0，)上有解. f(x)1 xa2 在(0，)上有解，则 a2 1 x. 因为 x0，所以 21 x2，所以 a 的取值范围是(，2). (2)f(x)1 a x2，f(1)1a， 又 f(1)1ab， 曲线在(1， f(1)处的切线方程为 y(1ab)(1a)(x1)， 即 y(1a)x2ab， 根据题意有 1a2， 2ab5，解得 a1， b7， ab178. 答案 (1)B (2)8
14、规律方法 1.求切线方程时， 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线， 曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切 线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数 的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在 曲线上. 【训练 2】 (1)(2018 东莞二调)设函数 f(x)x3ax2， 若曲线 yf(x)在点 P(x0， f(x0) 处的切线方程为 xy0，则点 P 的坐标为( ) A.(0，0) B.(1，1) C.(1，
15、1) D.(1，1)或(1，1) (2)(2018全 国 卷 ) 曲 线y 2ln(x 1) 在 点 (0 ， 0) 处 的 切 线 方 程 为 _. 解析 (1)由 f(x)x3ax2，得 f(x)3x22ax. 根据题意可得 f(x0)1，f(x0)x0， 可列方程组 x 3 0ax20x0， 3x202ax01， 解得 x 01， a2 或 x 01， a2. 当 x01 时，f(x0)1， 当 x01 时，f(x0)1. 点 P 的坐标为(1，1)或(1，1). (2)由题意得 y 2 x1.在点(0，0)处切线斜率 ky|x 02.曲线 y2ln(x1)在点 (0，0)处的切线方程为
16、 y02(x0)，即 y2x. 答案 (1)D (2)y2x 思维升华 1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导 法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先 必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分 清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导. 2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点 斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点. 3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程 求解. 易错防范 1.求导常见易错点：公式(xn
17、)nxn 1 与(ax)axln a 相互混淆；公式中 “ ”“ ” 号 记 混 ， 如 出 现 如 下 错 误 ： f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 ，(cos x)sin x；复合函数求导分不清内、外层 函数. 2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xx C. cos x x xsin xcos x x2 D.(sin x cos x)cos 2x 解析 因为 cos x x xsin xc
18、os x x2 ，C 项错误. 答案 C 2.(2018 日照质检)已知 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0等于( ) A.e2 B.e C.ln 2 2 D.ln 2 解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由 f(x0)2，即 ln x012，解 得 x0e. 答案 B 3.函数 yx3的图像在原点处的切线方程为( ) A.yx B.x0 C.y0 D.不存在 解析 函数 yx3的导数为 y3x2，则在原点处的切线斜率为 0，所以在原点处 的切线方程为 y00(x0)，即 y0. 答案 C 4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s1 3t 33
19、t28t，那么速 度为零的时刻是( ) A.1 秒末 B.1 秒末和 2 秒末 C.4 秒末 D.2 秒末和 4 秒末 解析 s(t)t26t8，由导数的定义知 vs(t)， 令 s(t)0，得 t2 或 4， 即 2 秒末和 4 秒末的速度为零. 答案 D 5.(2019 合肥一模)函数 f(x)xg(x)的图像在点 x2 处的切线方程是 yx1， 则 g(2)g(2)( ) A.7 B.4 C.0 D.4 解析 f(x)xg(x)， f(x)1g(x)， 又由题意知 f(2)3， f(2)1， g(2) g(2)2f(2)1f(2)7. 答案 A 6.已知 e 为自然对数的底数，曲线 ya
20、exx 在点(1，ae1)处的切线与直线 2ex y10 平行，则实数 a( ) A.e1 e B.2e1 e C.e1 2e D.2e1 2e 解析 yaex1，在点(1，ae1)处的切线的斜率为 y|x1ae1，又切线 与直线 2exy10 平行，ae12e，解得 a2e1 e . 答案 B 7.如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么 yf(x)，yg(x)的图像 可能是( ) 解析 由 yf(x)的图像知，yf(x)在(0，)上是单调递减的，说明函数 yf(x) 的切线的斜率在(0，)上也是单调递减的，故可排除 A，C； 又由图像知 yf(x)与 yg(x)的图像在
21、xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图 像在 xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D. 答案 D 8.(2019 咸阳调研)已知直线 ykx2 与曲线 yxln x 相切， 则实数 k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1ln 2 D.1ln 2 解析 由 yxln x 得 yln x1，设切点为(x0，y0)，则 kln x01，切点(x0， y0)(x00)既在曲线 yxln x 上又在直线 ykx2 上， y 0kx02， y0x0ln x0， kx02 x0ln x0，kln x0 2 x0，则 ln x0 2 x0ln x01，x02，kln 21. 答案
22、D 二、填空题 9.已知曲线 f(x)2x21 在点 M(x0， f(x0)处的瞬时变化率为8， 则点 M 的坐标为 _. 解析 由题意得 f(x)4x，令 4x08，则 x02， f(x0)9，点 M 的坐标是(2，9). 答案 (2，9) 10.已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图像在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_. 解析 f(1)a，切点为(1，a).f(x)a1 x，则切线的斜率为 f(1)a1，切线方程 为：ya(a1)(x1)，令 x0 得出 y1，故 l 在 y 轴上的截距为 1. 答案 1 11.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，
23、且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2) _. 解析 因为 f(x)x23xf(2)ln x， 所以 f(x)2x3f(2)1 x， 所以 f(2)43f(2)1 23f(2) 9 2， 所以 f(2)9 4. 答案 9 4 12.已知函数 yf(x)的图像在点(2，f(2)处的切线方程为 y2x1，则曲线 g(x) x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为_. 解析 由题意，知 f(2)2213，g(2)437， g(x)2xf(x)，f(2)2，g(2)2226， 曲线 g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为 y76(x2)，即 6xy5 0. 答案
24、6xy50 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(2018 深圳二模)设函数 f(x)x1 xb，若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处的切线经 过坐标原点，则 ab( ) A.1 B.0 C.1 D.2 解析 由题意可得，f(a)a1 ab，f(x)1 1 x2，所以 f(a)1 1 a2，故切线方程 是 ya1 ab 1 1 a2 (xa)，将(0，0)代入得a1 ab 1 1 a2 (a)，故 b 2 a，故 ab2. 答案 D 14.(2019 西安一模)定义 1： 若函数 f(x)在区间 D 上可导， 即 f(x)存在， 且导函数 f(x) 在区间 D 上也可导，则称函数
25、f(x)在区间 D 上存在二阶导数，记作 f(x)f(x). 定义 2：若函数 f(x)在区间 D 上的二阶导数恒为正，即 f(x)0 恒成立，则称函数 f(x)在区间 D 上为凹函数.已知函数 f(x)x33 2x 21 在区间 D 上为凹函数，则 x 的取值范围是_. 解析 因为 f(x)x33 2x 21，因为 f(x)3x23x，f(x)6x3，令 f(x)0，解 得 x1 2，故 x 的取值范围是 1 2， . 答案 1 2， 15.函数 g(x)ln x 图像上一点 P 到直线 yx 的最短距离为_. 解析 设点(x0，ln x0)是曲线 g(x)ln x 的切线中与直线 yx 平行的直线的切点， 因为 g(x)(ln x)1 x，则 1 1 x0，x01，则切点坐标为(1，0)， 最短距离为(1，0)到直线 yx 的距离， 即为 |10| 11 2 2 . 答案 2 2 16.若函数 f(x)1 2x 2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 _. 解析 f(x)1 2x 2axln x，定义域为(0，)， f(x)xa1 x. f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点， 即 x1 xa0 有解， ax1 x2(当且仅当 x1 时取等号). 答案 2，)
