1、 第第 1 节节 任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S |k 360 ，kZ. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的
2、圆心角为 1 弧度的角， 用符号 rad 表示， 读作弧度.正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数， 零角的弧度数是 0. (2)公式 角 的弧度数公式 |l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式 弧长 l|r 扇形面积公式 S1 2lr 1 2|r 2 3.任意角的三角函数 (1)定义： 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y 叫作 的正弦，记 作 sin x 叫作 的余弦，记作 cos y x叫作 的正切，记 作 tan (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的
3、几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段 MP， OM，AT 分别叫作角 的正弦线，余弦线和正切线. 微点提醒 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.若 0， 2 ，则 tan sin . 3.角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制 度必须一致，不可混用. 4.象限角的集合 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)小于 90 的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度
4、是 30 .( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是 0， 2 . (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P18 练习 6 改编)已知角 的终边过点 P(8m，3)，且 cos 4 5，则 m 的 值为( ) A.1 2 B.1 2 C. 3 2 D. 3 2 解析 由题意得 m0，得 1 cos 0，故 cos 0.又 sin cos 0， 角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上. 3a90， a20， 2a3. 答案 (
5、2，3 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 13.给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若 sin sin ，则 与 的终边相同； 若 cos 0，则 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 举反例：第一象限角 370 不小于第二象限角 100 ，故错；当三角形的内 角为 90 时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于 sin 6sin 5 6 ，但 6与 5 6 的终边不相同，故错；当 cos 1， 时，其既
6、不是 第二象限角，也不是第三象限角，故错.综上可知只有正确. 答案 A 14.(2018 全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终 边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 22 3，则|ab|( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D.1 解析 由题意可知 tan ba 21ba， 又 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 1（ba）2 1（ba）2 2 3， 5(ba)21，得(ba)21 5，则|ba| 5 5 . 答案 B 15.函数 y 2sin x1的定义域为_. 解析 2sin x10
7、，sin x1 2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). x 2k 6，2k 5 6 (kZ). 答案 2k 6，2k 5 6 (kZ) 16.已知 sin 0. (1)求角 的集合； (2)求 2的终边所在的象限； (3)试判断 tan 2sin 2cos 2的符号. 解 (1)由 sin 0，知 在第一、三象限，故角 在第三象限， 其集合为 |2k2k3 2 ，kZ . (2)由(1)知 2k2k3 2 ，kZ， 故 k 2 2k 3 4 ，kZ， 故 2的终边在第二、四象限. (3)当 2在第二象限时，tan 20，cos 20， 所以 tan 2sin 2cos 2取正号； 当 2在第四象限时，tan 20， sin 20， 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号. 综上，tan 2sin 2cos 2取正号.
