1、第第 3 节节 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理 最新考纲 1.理解空间直线、 平面位置关系的定义； 2.了解可以作为推理依据的公 理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 知 识 梳 理 1.空间图形的公理与定理 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内). (2)公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平 面). (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这 个点的公共直线. (4)公理 4：平行于同一条直线的两
2、条直线平行. (5)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. (6)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或 互补. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行 关系 图形 语言 符号 语言 ab a 相交 关系 图形 语言 符号 语言 abA aA l 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a，b 是异面直线 a 3.异面直线所成的角 (1)定义： 过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a， b
3、 的平行线 l1， l2(al1， bl2)， 这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a，b 所成的角. (2)范围： 0， 2 . 微点提醒 1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补. 2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面 直线. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角 可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个平面 ， 有一个公共点 A， 就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可
4、以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( ) (4)若直线 a 不平行于平面 ，且 a，则 内的所有直线与 a 异面.( ) 解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于 a 不平行于平面 ，且 a，则 a 与平面 相交，故平面 内有与 a 相交 的直线，故错误. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P28A4 改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B
5、1C 与 EF 所成角的大小为( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 为所求的角.又 B1D1B1C D1C，D1B1C60 . 答案 C 3.(必修 2P26 例 1 改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中 点的四边形一定是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析 如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形，因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EFAC， 又 FGBD， 所以EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角， 而 AC 与 BD 所成的角为 90 ，所以EFG90
6、 ，故四边形 EFGH 为矩形. 答案 B 4.(2019 萍乡调研) 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m，n ，且 Am，A，则 m，n 的位置关系不可能是( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 解析 依题意，mA，n，m 与 n 异面、相交(垂直是相交的特例)，一 定不平行. 答案 D 5.(一题多解)(2017 全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个 顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 解析 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是 所在棱的中
7、点，所以 MQCD，所以 ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行. 图(1) 图(2) 法二 对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQAB， 因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行. 答案 A 6.(2018 西安调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，CC1的中 点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条
8、. 解析 在 EF 上任意取一点 M，如图， 直线 A1D1与 M 确定一个平面， 这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N， 当 M 取不同的位置就确定不同的平面， 从而与 CD 有不同的交点 N， 而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点. 故在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有无数条. 答案 无数 考点一 空间图形的公理及应用 【例 1】 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点. 求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点. 证明 (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， 因为 E，F
9、 分别是 AB 和 AA1的中点， 所以 EFA1B 且 EF1 2A1B. 又因为 A1D1綉 BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形. 所以 A1BCD1， 所以 EFCD1， 所以 EF 与 CD1确定一个平面 . 所以 E，F，C，D1，即 E，C，D1，F 四点共面. (2)由(1)知，EFCD1，且 EF1 2CD1， 所以四边形 CD1FE 是梯形， 所以 CE 与 D1F 必相交.设交点为 P， 则 PCE平面 ABCD， 且 PD1F平面 A1ADD1， 所以 P平面 ABCD 且 P平面 A1ADD1. 又因为平面 ABCD平面 A1ADD1AD， 所以 PAD，所以
10、 CE，D1F，DA 三线共点. 规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法： (1)首先由所给条件中的部分线(或 点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两 部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这 条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经 过该点. 【训练 1】 如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG
11、GCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线. 证明 (1)E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD. 在BCD 中，BG GC DH HC 1 2， GHBD，EFGH. E，F，G，H 四点共面. (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点. 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三点共线. 考点二 判断空间直线的位置关系 【例 2】 (1)(一题多解)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l
12、2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与 l1，l2都不相交 B.l 与 l1，l2都相交 C.l 至多与 l1，l2中的一条相交 D.l 至少与 l1，l2中的一条相交 (2)将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD 折起得到空间四面体 ABCD，如图(2)，则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 解析 (1)法一 由于 l 与直线 l1，l2分别共面，故直线 l 与 l1，l2要么都不相交， 要么至少与 l1，l2中的一条相交.若 l
13、l1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线 矛盾.故 l 至少与 l1，l2中的一条相交. 法二 如图(1)，l1与 l2是异面直线，l1与 l 平行，l2与 l 相交，故 A，B 不正确； 如图(2)，l1与 l2是异面直线，l1，l2都与 l 相交，故 C 不正确. (2)折起前 ADBC，折起后有 ADBD，ADDC，所以 AD平面 BCD，所以 ADBC.又 AD 与 BC 不相交，故 AD 与 BC 异面且垂直. 答案 (1)D (2)C 规律方法 1.异面直线的判定方法： (1)反证法： 先假设两条直线不是异面直线， 即两条直线平行或相交， 由假设出发， 经过严格的推理
14、，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. (2)定理： 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面 直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型， 以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【训练 2】 (1)(2019 湘潭调研)下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱(两底面为 正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的 图形有( ) A. B. C. D. (2)已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则( ) A.m 与 n 异面 B.m
15、 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能 解析 (1)由题意，可知题图中，GHMN，因此直线 GH 与 MN 共面；题图 中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；题图中， 连接 MG，则 GMHN，因此直线 GH 与 MN 共面；题图中，连接 GN，G，M， N 三点共面，但 H平面 GMN，所以直线 GH 与 MN 异面.故选 C. (2)在如图所示的长方体中，m，n1与 l 都异面，但是 mn1，所以 A，B 错误；m， n2与 l 都异面，且 m，n2也异面，所以 C 错误.故选 D. 答案 (1)C (2)D
16、考点三 异面直线所成的角 多维探究 角度 1 求异面直线所成的角或其三角函数值 【例 31】 (一题多解)(2018 全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC 1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 解析 法一 如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM. 易知 O 为 BD1的中点， 所以 AD1OM， 则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角. 因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC1， AA1 3， AD1 AD2DD21 2，DMAD2 1
17、 2AB 2 5 2 ， DB1AB2AD2DD21 5.所以 OM1 2AD11，OD 1 2DB1 5 2 ，于是在 DMO 中，由余弦定理， 得 cosMOD 12 5 2 2 5 2 2 21 5 2 5 5 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值 为 5 5 . 法二 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系，如图所示.由条件可知 D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0， 3)， B1(1，1， 3)，所以AD1 (1，0， 3)，DB1 (1，1， 3).则 cosAD1 ，DB1 AD1 DB1 |AD1 |
18、 |DB1 | 2 2 5 5 5 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 答案 C 角度 2 由异面直线所成角求其他量 【例 32】 在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.若 BD，AC 所成 的角为 60 ，且 BDAC1，则 EF 的长为_. 解析 如图，取 BC 的中点 O，连接 OE，OF. 因为 OEAC，OFBD， 所以 OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角，而 AC，BD 所成角 为 60 ，所以EOF60 或EOF120 .当EOF60 时，EFOEOF1 2.当 EOF120 时，取 EF 的中点 M，
19、则 OMEF，EF2EM2 3 4 3 2 . 答案 1 2或 3 2 规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤： (1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角； (2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小. 【训练 3】 (2019 合肥模拟)三棱锥 ABCD 的所有棱长都相等，M，N 分别是棱 AD，BC 的中点，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A.1 3 B. 2 4 C. 3 3 D.2 3 解析 连接 DN，取 DN 的中点 O，连接 MO，BO， M 是 AD 的中点， MOAN， BMO(或其补角)是异面直线 BM 与 AN 所成的角.
20、设三棱锥 ABCD 的所有棱长为 2， 则 ANBMDN 2212 3， 则 MO1 2AN 3 2 NO1 2DN， 则 BO BN2NO213 4 7 2 . 在BMO 中，由余弦定理得 cosBMOBM 2MO2BO2 2 BM MO 33 4 7 4 2 3 3 2 2 3， 异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为2 3. 答案 D 思维升华 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余 直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平 面的公共点，根据公理 3
21、 可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理： 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是 异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异 面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转 化为相交直线的夹角，体现了化归思想. 易错防范 1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上 两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟
22、) 一、选择题 1.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共 点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面.其中正确的 序号是( ) A. B. C. D. 解析 显然命题正确. 由于三棱柱的三条平行棱不共面，错. 命题中，两个平面重合或相交，错. 三条直线两两相交，可确定 1 个或 3 个平面，则命题正确. 答案 B 2.已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可
23、能为平行 直线，若 bc，则 ab，与已知 a，b 为异面直线相矛盾. 答案 C 3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 ( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析 如图所示，与 AB 异面的直线有 B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱 具有相同的位置且正方体共有 12 条棱， 排除两棱的重复计算， 共有异面直线124 2 24(对). 答案 B 4.下列命题中正确的个数为( ) 若ABC 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 P，Q，R，则 P，Q， R 三点共线. 若三条直线 a，b，c 互相平行且分别交直线 l
24、于 A，B，C 三点，则这四条直线 共面； 空间中不共面五个点一定能确定 10 个平面. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 在中，因为 P，Q，R 三点既在平面 ABC 上，又在平面 上，所以这三 点必在平面 ABC 与 的交线上，即 P，Q，R 三点共线，故正确；在中，因 为 ab，所以 a 与 b 确定一个平面 ，而 l 上有 A，B 两点在该平面上，所以 l ，即 a，b，l 三线共面于 ；同理 a，c，l 三线也共面，不妨设为 ，而 ， 有两条公共的直线 a，l，所以 与 重合，故这些直线共面，故正确；在中， 不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定 7 个平面，故错. 答案 C 5
25、.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1 2AB2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 解析 连接 BC1， 易证 BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角. 连接 A1C1，由 AB1，AA12， 则 A1C1 2，A1BBC1 5， 在A1BC1中，由余弦定理得 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5. 答案 D 二、填空题 6.给出下列四个命题： 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； 若平面 内的一条直线 a 与平面 内的一条直线 b 相交
26、，则 与 相交； 若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； 若三条直线两两相交，则这三条直线共面. 其中真命题的序号是_. 解析 正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最 多有一个公共点.正确，a，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交.正 确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线 上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.错误，这三条直线可以交 于同一点，但不在同一平面内. 答案 7.(2019 宝鸡模拟)如图，四边形 ABCD 和四边形 ADPQ 均为正方形，它们所在的 平面互相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角
27、为_. 解析 如图， 将原图补成正方体 ABCDQGHP， 连接 GP， 则 GPBD， 所以APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角， 在AGP 中，AGGPAP， 所以APG 3. 答案 3 8.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以 下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线. 其中正确的结论为_(填序号). 解析 直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误. 答案 三、解答题 9.在正方
28、体 ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求直线 A1C1与 EF 所成角的大小. 解 (1)如图，连接 B1C，AB1，由 ABCDA1B1C1D1是正方体，易知 A1DB1C， 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 因为 AB1ACB1C， 所以B1CA60 . 即直线 A1D 与 AC 所成的角为 60 . (2)连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EFBD，所以 EFAC. 所以 E
29、FA1C1. 即直线 A1C1与 EF 所成的角为 90 . 10.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为直线 B1D 与平面 ACD1的交点.求证：D1，H，O 三点共线. 证明 如图，连接 BD，B1D1，则 BDACO， BB1綊 DD1， 四边形 BB1D1D 为平行四边形. 又 HB1D，B1D平面 BB1D1D， 则 H平面 BB1D1D， 平面 ACD1平面 BB1D1DOD1，HOD1. 故 D1，H，O 三点共线. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2018 长春质检)若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3，
30、 l4， 满足 l1l2， l2l3， l3l4，则下列结论一定正确的是( ) A.l1l4 B.l1l4 C.l1与 l4既不垂直也不平行 D.l1与 l4的位置关系不确定 解析 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1DD1，l2DC，l3DA.若 l4 AA1，满足 l1l2，l2l3，l3l4，此时 l1l4，可以排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异面；取 C1D1为 l4，则 l1与 l4相交且垂直. 因此 l1与 l4的位置关系不能确定. 答案 D 12.(2019 珠海模拟)如图，在矩形 ABC
31、D 中，AB4，AD2，P 为边 AB 的中点， 现将DAP 绕直线 DP 翻转至DAP 处，若 M 为线段 AC 的中点，则异面直线 BM 与 PA所成角的正切值为( ) A.1 2 B.2 C.1 4 D.4 解析 取 AD 的中点 N，连接 PN，MN. M 是 AC 的中点， MNCD，且 MN1 2CD， 四边形 ABCD 是矩形，P 是 AB 的中点， PBCD，且 PB1 2CD， MNPB，且 MNPB， 四边形 PBMN 为平行四边形， MBPN， APN(或其补角)是异面直线 BM 与 PA所成的角. 在 RtAPN 中，tanAPNAN AP 1 2， 异面直线 BM 与
32、 PA所成角的正切值为1 2. 答案 A 13.正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为线段 B1D1上的一个动点， 则下列结论中正确 的是_(填序号). ACBE； B1E平面 ABCD； 三棱锥 EABC 的体积为定值； B1EBC1. 解析 因 AC平面 BDD1B1，故正确；因 B1D1平面 ABCD，故正确；记正 方体的体积为 V，则 VEABC1 6V，为定值，故正确；B1E 与 BC1 不垂直，故 错误. 答案 14.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值. 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4， 所以四棱锥 OABCD 的体积 V1 342 8 3. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE， 又 M 为 OA 中点，MEOC， 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角，由已知可得 DE 2，EM 3，MD 5， ( 2)2( 3)2( 5)2，即 DE2EM2MD2， DEM 为直角三角形，且DEM90 ， tanEMDDE EM 2 3 6 3 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 3 .
