(2020年高考专用)第八章 立体几何与空间向量 第3节.doc

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1、第第 3 节节 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理 最新考纲 1.理解空间直线、 平面位置关系的定义; 2.了解可以作为推理依据的公 理和定理;3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 知 识 梳 理 1.空间图形的公理与定理 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内). (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平 面). (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这 个点的公共直线. (4)公理 4:平行于同一条直线的两

2、条直线平行. (5)公理 2 的三个推论 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (6)等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行 关系 图形 语言 符号 语言 ab a 相交 关系 图形 语言 符号 语言 abA aA l 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a,b 是异面直线 a 3.异面直线所成的角 (1)定义: 过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a, b

3、 的平行线 l1, l2(al1, bl2), 这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a,b 所成的角. (2)范围: 0, 2 . 微点提醒 1.空间中两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补. 2.异面直线的判定:经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面 直线. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角 可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个平面 , 有一个公共点 A, 就说 , 相交于过 A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可

4、以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)若直线 a 不平行于平面 ,且 a,则 内的所有直线与 a 异面.( ) 解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线,故错误. (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误. (4)由于 a 不平行于平面 ,且 a,则 a 与平面 相交,故平面 内有与 a 相交 的直线,故错误. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P28A4 改编)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB, AD 的中点,则异面直线 B

5、1C 与 EF 所成角的大小为( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 连接 B1D1,D1C,则 B1D1EF,故D1B1C 为所求的角.又 B1D1B1C D1C,D1B1C60 . 答案 C 3.(必修 2P26 例 1 改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中 点的四边形一定是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析 如图所示,易证四边形 EFGH 为平行四边形,因为 E,F 分别为 AB,BC 的中点, 所以 EFAC, 又 FGBD, 所以EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角, 而 AC 与 BD 所成的角为 90 ,所以EFG90

6、 ,故四边形 EFGH 为矩形. 答案 B 4.(2019 萍乡调研) 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m,n ,且 Am,A,则 m,n 的位置关系不可能是( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 解析 依题意,mA,n,m 与 n 异面、相交(垂直是相交的特例),一 定不平行. 答案 D 5.(一题多解)(2017 全国卷)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个 顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 解析 法一 对于选项 B,如图(1)所示,连接 CD,因为 ABCD,M,Q 分别是 所在棱的中

7、点,所以 MQCD,所以 ABMQ,又 AB平面 MNQ,MQ平面 MNQ,所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C,D 中均有 AB平面 MNQ.因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行. 图(1) 图(2) 法二 对于选项 A,其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示),连接 OQ,则 OQAB, 因为 OQ 与平面 MNQ 有交点,所以 AB 与平面 MNQ 有交点,即 AB 与平面 MNQ 不平行. 答案 A 6.(2018 西安调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为棱 AA1,CC1的中 点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有_条

8、. 解析 在 EF 上任意取一点 M,如图, 直线 A1D1与 M 确定一个平面, 这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置就确定不同的平面, 从而与 CD 有不同的交点 N, 而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点. 故在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有无数条. 答案 无数 考点一 空间图形的公理及应用 【例 1】 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB 和 AA1的中点. 求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点. 证明 (1)如图,连接 CD1,EF,A1B, 因为 E,F

9、 分别是 AB 和 AA1的中点, 所以 EFA1B 且 EF1 2A1B. 又因为 A1D1綉 BC, 所以四边形 A1BCD1是平行四边形. 所以 A1BCD1, 所以 EFCD1, 所以 EF 与 CD1确定一个平面 . 所以 E,F,C,D1,即 E,C,D1,F 四点共面. (2)由(1)知,EFCD1,且 EF1 2CD1, 所以四边形 CD1FE 是梯形, 所以 CE 与 D1F 必相交.设交点为 P, 则 PCE平面 ABCD, 且 PD1F平面 A1ADD1, 所以 P平面 ABCD 且 P平面 A1ADD1. 又因为平面 ABCD平面 A1ADD1AD, 所以 PAD,所以

10、 CE,D1F,DA 三线共点. 规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法: (1)首先由所给条件中的部分线(或 点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)将所有条件分为两 部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这 条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经 过该点. 【训练 1】 如图,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别在 BC,CD 上,且 BG

11、GCDHHC12. (1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)设 EG 与 FH 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线. 证明 (1)E,F 分别为 AB,AD 的中点, EFBD. 在BCD 中,BG GC DH HC 1 2, GHBD,EFGH. E,F,G,H 四点共面. (2)EGFHP,PEG,EG平面 ABC, P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点. 又平面 ABC平面 ADCAC, PAC,P,A,C 三点共线. 考点二 判断空间直线的位置关系 【例 2】 (1)(一题多解)若直线 l1和 l2是异面直线,l1在平面 内,l

12、2在平面 内, l 是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是( ) A.l 与 l1,l2都不相交 B.l 与 l1,l2都相交 C.l 至多与 l1,l2中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2中的一条相交 (2)将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD 折起得到空间四面体 ABCD,如图(2),则在空间四面体 ABCD 中,AD 与 BC 的位置关系是( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 解析 (1)法一 由于 l 与直线 l1,l2分别共面,故直线 l 与 l1,l2要么都不相交, 要么至少与 l1,l2中的一条相交.若 l

13、l1,ll2,则 l1l2,这与 l1,l2是异面直线 矛盾.故 l 至少与 l1,l2中的一条相交. 法二 如图(1),l1与 l2是异面直线,l1与 l 平行,l2与 l 相交,故 A,B 不正确; 如图(2),l1与 l2是异面直线,l1,l2都与 l 相交,故 C 不正确. (2)折起前 ADBC,折起后有 ADBD,ADDC,所以 AD平面 BCD,所以 ADBC.又 AD 与 BC 不相交,故 AD 与 BC 异面且垂直. 答案 (1)D (2)C 规律方法 1.异面直线的判定方法: (1)反证法: 先假设两条直线不是异面直线, 即两条直线平行或相交, 由假设出发, 经过严格的推理

14、,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理: 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面 直线. 2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型, 以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【训练 2】 (1)(2019 湘潭调研)下图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱(两底面为 正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的 图形有( ) A. B. C. D. (2)已知空间三条直线 l,m,n,若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( ) A.m 与 n 异面 B.m

15、 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能 解析 (1)由题意,可知题图中,GHMN,因此直线 GH 与 MN 共面;题图 中,G,H,N 三点共面,但 M平面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面;题图中, 连接 MG,则 GMHN,因此直线 GH 与 MN 共面;题图中,连接 GN,G,M, N 三点共面,但 H平面 GMN,所以直线 GH 与 MN 异面.故选 C. (2)在如图所示的长方体中,m,n1与 l 都异面,但是 mn1,所以 A,B 错误;m, n2与 l 都异面,且 m,n2也异面,所以 C 错误.故选 D. 答案 (1)C (2)D

16、考点三 异面直线所成的角 多维探究 角度 1 求异面直线所成的角或其三角函数值 【例 31】 (一题多解)(2018 全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC 1,AA1 3,则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 解析 法一 如图,连接 BD1,交 DB1于 O,取 AB 的中点 M,连接 DM,OM. 易知 O 为 BD1的中点, 所以 AD1OM, 则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角. 因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中, ABBC1, AA1 3, AD1 AD2DD21 2,DMAD2 1

17、 2AB 2 5 2 , DB1AB2AD2DD21 5.所以 OM1 2AD11,OD 1 2DB1 5 2 ,于是在 DMO 中,由余弦定理, 得 cosMOD 12 5 2 2 5 2 2 21 5 2 5 5 ,即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值 为 5 5 . 法二 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系,如图所示.由条件可知 D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0, 3), B1(1,1, 3),所以AD1 (1,0, 3),DB1 (1,1, 3).则 cosAD1 ,DB1 AD1 DB1 |AD1 |

18、 |DB1 | 2 2 5 5 5 ,即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 答案 C 角度 2 由异面直线所成角求其他量 【例 32】 在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点.若 BD,AC 所成 的角为 60 ,且 BDAC1,则 EF 的长为_. 解析 如图,取 BC 的中点 O,连接 OE,OF. 因为 OEAC,OFBD, 所以 OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角,而 AC,BD 所成角 为 60 ,所以EOF60 或EOF120 .当EOF60 时,EFOEOF1 2.当 EOF120 时,取 EF 的中点 M,

19、则 OMEF,EF2EM2 3 4 3 2 . 答案 1 2或 3 2 规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤: (1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角; (2)求角转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出角的大小. 【训练 3】 (2019 合肥模拟)三棱锥 ABCD 的所有棱长都相等,M,N 分别是棱 AD,BC 的中点,则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A.1 3 B. 2 4 C. 3 3 D.2 3 解析 连接 DN,取 DN 的中点 O,连接 MO,BO, M 是 AD 的中点, MOAN, BMO(或其补角)是异面直线 BM 与 AN 所成的角.

20、设三棱锥 ABCD 的所有棱长为 2, 则 ANBMDN 2212 3, 则 MO1 2AN 3 2 NO1 2DN, 则 BO BN2NO213 4 7 2 . 在BMO 中,由余弦定理得 cosBMOBM 2MO2BO2 2 BM MO 33 4 7 4 2 3 3 2 2 3, 异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为2 3. 答案 D 思维升华 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余 直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平 面的公共点,根据公理 3

21、 可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是 异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异 面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转 化为相交直线的夹角,体现了化归思想. 易错防范 1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上 两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟

22、) 一、选择题 1.给出下列说法:梯形的四个顶点共面;三条平行直线共面;有三个公共 点的两个平面重合;三条直线两两相交,可以确定 1 个或 3 个平面.其中正确的 序号是( ) A. B. C. D. 解析 显然命题正确. 由于三棱柱的三条平行棱不共面,错. 命题中,两个平面重合或相交,错. 三条直线两两相交,可确定 1 个或 3 个平面,则命题正确. 答案 B 2.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可

23、能为平行 直线,若 bc,则 ab,与已知 a,b 为异面直线相矛盾. 答案 C 3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 ( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析 如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1;CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱 具有相同的位置且正方体共有 12 条棱, 排除两棱的重复计算, 共有异面直线124 2 24(对). 答案 B 4.下列命题中正确的个数为( ) 若ABC 在平面 外,它的三条边所在的直线分别交 于 P,Q,R,则 P,Q, R 三点共线. 若三条直线 a,b,c 互相平行且分别交直线 l

24、于 A,B,C 三点,则这四条直线 共面; 空间中不共面五个点一定能确定 10 个平面. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 在中,因为 P,Q,R 三点既在平面 ABC 上,又在平面 上,所以这三 点必在平面 ABC 与 的交线上,即 P,Q,R 三点共线,故正确;在中,因 为 ab,所以 a 与 b 确定一个平面 ,而 l 上有 A,B 两点在该平面上,所以 l ,即 a,b,l 三线共面于 ;同理 a,c,l 三线也共面,不妨设为 ,而 , 有两条公共的直线 a,l,所以 与 重合,故这些直线共面,故正确;在中, 不妨设其中四点共面,则它们最多只能确定 7 个平面,故错. 答案 C 5

25、.如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA1 2AB2,则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 解析 连接 BC1, 易证 BC1AD1, 则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角. 连接 A1C1,由 AB1,AA12, 则 A1C1 2,A1BBC1 5, 在A1BC1中,由余弦定理得 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5. 答案 D 二、填空题 6.给出下列四个命题: 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点; 若平面 内的一条直线 a 与平面 内的一条直线 b 相交

26、,则 与 相交; 若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面; 若三条直线两两相交,则这三条直线共面. 其中真命题的序号是_. 解析 正确,因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最 多有一个公共点.正确,a,b 有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.正 确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线 上,所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.错误,这三条直线可以交 于同一点,但不在同一平面内. 答案 7.(2019 宝鸡模拟)如图,四边形 ABCD 和四边形 ADPQ 均为正方形,它们所在的 平面互相垂直,则异面直线 AP 与 BD 所成的角

27、为_. 解析 如图, 将原图补成正方体 ABCDQGHP, 连接 GP, 则 GPBD, 所以APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角, 在AGP 中,AGGPAP, 所以APG 3. 答案 3 8.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以 下四个结论: 直线 AM 与 CC1是相交直线; 直线 AM 与 BN 是平行直线; 直线 BN 与 MB1是异面直线; 直线 AM 与 DD1是异面直线. 其中正确的结论为_(填序号). 解析 直线 AM 与 CC1是异面直线,直线 AM 与 BN 也是异面直线,故错误. 答案 三、解答题 9.在正方

28、体 ABCDA1B1C1D1中, (1)求直线 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求直线 A1C1与 EF 所成角的大小. 解 (1)如图,连接 B1C,AB1,由 ABCDA1B1C1D1是正方体,易知 A1DB1C, 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 因为 AB1ACB1C, 所以B1CA60 . 即直线 A1D 与 AC 所成的角为 60 . (2)连接 BD,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1, 因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点, 所以 EFBD,所以 EFAC. 所以 E

29、FA1C1. 即直线 A1C1与 EF 所成的角为 90 . 10.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,O 为正方形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1的交点.求证:D1,H,O 三点共线. 证明 如图,连接 BD,B1D1,则 BDACO, BB1綊 DD1, 四边形 BB1D1D 为平行四边形. 又 HB1D,B1D平面 BB1D1D, 则 H平面 BB1D1D, 平面 ACD1平面 BB1D1DOD1,HOD1. 故 D1,H,O 三点共线. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2018 长春质检)若空间中四条两两不同的直线 l1, l2, l3,

30、 l4, 满足 l1l2, l2l3, l3l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1l4 B.l1l4 C.l1与 l4既不垂直也不平行 D.l1与 l4的位置关系不确定 解析 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,记 l1DD1,l2DC,l3DA.若 l4 AA1,满足 l1l2,l2l3,l3l4,此时 l1l4,可以排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4,则 l1与 l4相交;若取 BA 为 l4,则 l1与 l4异面;取 C1D1为 l4,则 l1与 l4相交且垂直. 因此 l1与 l4的位置关系不能确定. 答案 D 12.(2019 珠海模拟)如图,在矩形 ABC

31、D 中,AB4,AD2,P 为边 AB 的中点, 现将DAP 绕直线 DP 翻转至DAP 处,若 M 为线段 AC 的中点,则异面直线 BM 与 PA所成角的正切值为( ) A.1 2 B.2 C.1 4 D.4 解析 取 AD 的中点 N,连接 PN,MN. M 是 AC 的中点, MNCD,且 MN1 2CD, 四边形 ABCD 是矩形,P 是 AB 的中点, PBCD,且 PB1 2CD, MNPB,且 MNPB, 四边形 PBMN 为平行四边形, MBPN, APN(或其补角)是异面直线 BM 与 PA所成的角. 在 RtAPN 中,tanAPNAN AP 1 2, 异面直线 BM 与

32、 PA所成角的正切值为1 2. 答案 A 13.正方体 ABCDA1B1C1D1中, E 为线段 B1D1上的一个动点, 则下列结论中正确 的是_(填序号). ACBE; B1E平面 ABCD; 三棱锥 EABC 的体积为定值; B1EBC1. 解析 因 AC平面 BDD1B1,故正确;因 B1D1平面 ABCD,故正确;记正 方体的体积为 V,则 VEABC1 6V,为定值,故正确;B1E 与 BC1 不垂直,故 错误. 答案 14.如图,在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,OA底面 ABCD,OA2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 OABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值. 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4, 所以四棱锥 OABCD 的体积 V1 342 8 3. (2)如图,连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 又 M 为 OA 中点,MEOC, 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角,由已知可得 DE 2,EM 3,MD 5, ( 2)2( 3)2( 5)2,即 DE2EM2MD2, DEM 为直角三角形,且DEM90 , tanEMDDE EM 2 3 6 3 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 3 .

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