1、第第 2 课时课时 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 考点一 直线与椭圆的位置关系 【例 1】 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x 2 4 y2 21.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点. 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组 y2xm， x2 4 y2 21， 将代入，整理得 9x28mx2m240. 方程根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144. (1)当 0，即3 2b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且点 F1到椭圆 C 上任意一点的最大距离为 3，椭圆 C
2、的离心率为1 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2为直径的圆相交于 A，B 两点，与 椭圆相交于 C，D，且|CD| |AB| 8 3 7 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明 理由. 解 (1)根据题意，设 F1，F2的坐标分别为(c，0)，(c，0)， 由题意可得 ac3， c a 1 2， 解得 a2，c1，则 b2a2c23， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)假设存在斜率为1 的直线 l，设为 yxm， 由(1)知 F1，F2的坐标分别为(1，0)，(1，0)， 所以以线段 F1F2为直径的圆为
3、x2y21， 由题意知圆心(0，0)到直线 l 的距离 d|m| 2 b0)的左、右顶点，直线 BP 交 E 于点 Q，ABP 是等腰直角三角形， 且PQ 3 2QB . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径 的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围. 解 (1)由ABP 是等腰直角三角形，得 a2，B(2，0). 设 Q(x0，y0)，则由PQ 3 2QB ，得 x06 5， y04 5， 代入椭圆方程得 b21， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4y 21. (2)依题意得，直线 l 的斜率存在，方程设为
4、ykx2. 联立 ykx2， x2 4y 21， 消去 y 并整理得(14k2)x216kx120.(*) 因直线 l 与 E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故 (16k)248(14k2)0，解得 k23 4. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根与系数的关系得 x1x2 16k 14k2， x1x2 12 14k2， 因坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外， 所以OM ON 0，即 x1x2y1y20， 又由 x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 (1k2) 12 14k22k 16k 14k240， 解得 k20
5、 得 m1 且 m3. 答案 B 2.设直线 ykx 与椭圆x 2 4 y2 31 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 两点向 x 轴作垂 线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k 等于( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 解析 由题意可知，点 A 与点 B 的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当 k0 时，不妨设 A，B 两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得 y13 2， y23 2，解得 k 3 2；同理可得当 kb0)及点 B(0，a)，过点 B 与椭圆相 切的直线交 x 轴的负半轴于点 A，F 为椭圆的右焦点，则ABF( ) A.60 B.90
6、 C.120 D.150 解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程 ykxa(k0)，与椭圆方程联立 ykxa， x2 a2 y2 b21， 消去 y 整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20， 由 (2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0， 得 kc a，从而 y c axa 交 x 轴于点 A a 2 c ，0 ， 又 F(c，0)，易知BA BF0，故ABF90 . 答案 B 5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4y 21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) A.2 B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析 设直线 l 的方程为
7、yxt，代入x 2 4y 21，消去 y 得5 4x 22txt210， 由题意知 (2t)25(t21)0 即 t2b0)的右顶点为 A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长 为 1，则椭圆方程为_. 解析 因为椭圆y 2 a2 x2 b21 的右顶点为 A(1，0)，所以 b1，焦点坐标为(0，c)， 因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以2b 2 a 1，a2，所以椭圆方程为y 2 4x 2 1. 答案 y2 4x 21 7.(2019 河南八校联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右顶点为 A，经过原点的 直线 l 交椭圆 C 于 P， Q 两点， 若|PQ|a，
8、 APPQ， 则椭圆 C 的离心率为_. 解析 不妨设点 P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP|PQ| 2 a 2，因 为 APPQ，所以在 RtPOA 中，cos POA|OP| |OA| 1 2，故POA60 ，易得 P a 4， 3a 4 ，代入椭圆方程得 1 16 3a2 16b21，故 a 25b25(a2c2)，所以椭圆 C 的 离心率 e2 5 5 . 答案 2 5 5 8.已知椭圆的方程是 x22y240，则以 M(1，1)为中点的弦所在直线方程是 _. 解析 由题意知，以 M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为 ykx b， 则有 kb1，即 b1
9、k，即 ykx(1k)， 联立方程组 x 22y240， ykx（1k）， 则有(12k2)x2(4k4k2)x(2k24k2)0， 所以x 1x2 2 1 2 4k24k 12k2 1， 解得 k1 2(满足 0)，故 b 3 2， 所以 y1 2x 3 2，即 x2y30. 答案 x2y30 三、解答题 9.(2017 北京卷)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2，0)，B(2，0)，焦点在 x 轴 上，离心率为 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求
10、证：BDE 与BDN 的面积之比为 45. (1)解 设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). 由题意得 a2， c a 3 2 ，解得 c 3.所以 b 2a2c21. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. (2)证明 设 M(m，n)，则 D(m，0)，N(m，n). 由题设知 m 2，且 n0. 直线 AM 的斜率 kAM n m2， 故直线 DE 的斜率 kDEm2 n . 所以直线 DE 的方程为 ym2 n (xm). 直线 BN 的方程为 y n 2m(x2). 联立 ym2 n （xm）， y n 2m（x2）， 解得点 E 的纵坐标 yEn（4m 2）
11、 4m2n2 . 由点 M 在椭圆 C 上，得 4m24n2， 所以 yE4 5n. 又 SBDE1 2|BD| |yE| 2 5|BD| |n|， SBDN1 2|BD| |n|. 所以BDE 与BDN 的面积之比为 45. 10.已知 A，B 分别为椭圆 C：y 2 a2 x2 b21(ab0)在 x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶 点，原点 O 到直线 AB 的距离为2 21 7 ，且|AB| 7. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)直线 l：ykxm 与圆 x2y22 相切，并与椭圆 C 交于 M，N 两点，若|MN| 12 2 7 ，求 k 的值. 解 (1)由题设知，A(b，0)，
12、B(0，a)，直线 AB 的方程为x b y a1，又|AB| a 2b2 7， ab a2b2 2 21 7 ，ab0， 计算得出 a2，b 3，则椭圆 C 的离心率为 e1b 2 a2 1 2. (2)由(1)知椭圆方程为y 2 4 x2 31，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y 2 4 x2 31， ykxm 消去 y 得，(3k24)x26kmx3m2120，直线 l 与椭圆相交，则 0，即 48(3k2m2 4)0， 且 x1x2 6km 3k24，x1x2 3m212 3k24 . 又直线 l 与圆 x2y22 相切， 则 |m| k21 2，即 m 22(k21).
13、而|MN| 1k2 （x1x2）24x1x2 1k2 48（3k2m24） 3k24 1k2 48（k22） 3k24 4 3 k 43k22 3k24 ， 又|MN|12 2 7 ，所以4 3 k 43k22 3k24 12 2 7 ， 即 5k43k220，解得 k 1，且满足 0，故 k 的值为 1. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019 北京东城区调研)已知圆 M：(x2)2y21 经过椭圆 C：x 2 m y2 31(m3) 的一个焦点，圆 M 与椭圆 C 的公共点为 A，B，点 P 为圆 M 上一动点，则 P 到 直线 AB 的距离的最大值为( ) A.2 10
14、5 B.2 104 C.4 1011 D.4 1010 解析 易知圆 M 与 x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，m31 或 m39，则 m 4 或 m12.当 m12 时，圆 M 与椭圆 C 无交点，舍去.所以 m4.联立 （x2）2y21， x2 4 y2 31， 得 x216x240.又 x2， 所以 x82 10.故点 P 到直线 AB 距离的最大值为 3(82 10)2 105. 答案 A 12.(2019 广州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y2 20 与椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)相切，且椭圆 C 的右焦点 F(c，0)关于直线 l：y c b
15、x 的对称点 E 在椭圆 C 上，则OEF 的面积为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 D.2 解析 联立方程可得 x 2y2 20， x2 a2 y2 b21， 消去 x，化简得(a22b2)y28b2yb2(8 a2)0， 由0得2b2a280.设F为椭圆C的左焦点， 连接FE， 易知FEl， 所以 FEEF，又点 F 到直线 l 的距离 d c2 c2b2 c2 a，所以|EF| 2c2 a ，|FE|2a |EF|2b 2 a ，在 RtFEF 中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得 2b2a2，代入 2b2 a280 得 b22，a2，所以|EF|FE|2，所以 SOEF1
16、 2SFEF1. 答案 C 13.已知直线 l：ykx2 过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的上顶点 B 和左焦点 F，且被 圆 x2y24 截得的弦长为 L， 若 L4 5 5 ， 则椭圆离心率 e 的取值范围是_. 解析 依题意，知 b2，kc2. 设圆心到直线 l 的距离为 d，则 L2 4d24 5 5 ， 解得 d216 5 .又因为 d 2 1k2，所以 1 1k2 4 5， 解得 k21 4. 于是 e2c 2 a2 c2 b2c2 1 1k2，所以 0e 24 5，又由 0e1，解得 0e 2 5 5 . 答案 0，2 5 5 14.(2019 咸阳一模)在平面直角坐标
17、系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过 点 P(2，1)，且离心率 e 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l 的斜率为1 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求PAB 的面积的最大值. 解 (1)因为 e2c 2 a2 a2b2 a2 3 4，所以 a 24b2. 又椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 P(2，1)， 所以 4 a2 1 b21.所以 a 28，b22. 故所求椭圆方程为x 2 8 y2 21. (2)设 l 的方程为 y1 2xm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y1 2xm， x2 8 y2 21 消去 y 整 理，得 x22mx2m240. 所以 x1x22m，x1x22m24. 又直线 l 与椭圆相交，所以 4m28m2160，解得|m|2. 则|AB|11 4 （x1x2） 24x1x2 5（4m2）. 点 P 到直线 l 的距离 d |m| 11 4 2|m| 5 . 所以 SPAB1 2d|AB| 1 2 2|m| 5 5（4m2） m2（4m2）m 24m2 2 2. 当且仅当 m22，即 m 2时，PAB 的面积取得最大值为 2.
