1、第第 9 节节 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲 线的简单应用；3.理解数形结合的思想. 知 识 梳 理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A， B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个 关于变量 x(或变量 y)的一元方程， 即 AxByC0， F（x，y）0 消去 y，得 ax2bxc0. (1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则： 0直线与圆锥曲线
2、 C 相交； 0直线与圆锥曲线 C 相切； 0直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只 有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平 行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 1 1 k2 |y1y2| 1 1 k2 （y1y2） 24y1y2. 微点提醒 1.直
3、线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线； (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线； (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平 行或重合的直线. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条
4、件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是： 直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是： 直线l与抛物线C只有一个公共点.( ) (4)如果直线 xtya 与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| 1t2|y1y2|.( ) 解析 (2)因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交， 但并不相切. (3)因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交， 但不相切. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 21P88
5、例 4 改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共 点，这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x0，过点(0，1)且 平行于 x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0). 答案 C 3.(选修 21P76A10 改编)已知倾斜角为 60 的直线 l 通过抛物线 x24y 的焦点， 且与抛物线相交于 A，B 两点，则弦|AB|_. 解析 法一 直线 l 的方程为 y 3x1， 由 y 3x1， x24y， 得 y214y10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2
6、)，则 y1y214， |AB|y1y2p14216. 法二 如图所示，过 F 作 AD 的垂线，垂足为 H，则|AF|AD|p|AF|sin 60 ， 即|AF| p 1sin 60 2 1sin 60 . 同理，|BF| 2 1sin 60 ，故|AB|AF|BF|16. 答案 16 4.(2019 浙江八校联考)抛物线 yax2与直线 ykxb(k0)交于 A，B 两点，且这 两点的横坐标分别为 x1，x2，直线与 x 轴交点的横坐标是 x3，则( ) A.x3x1x2 B.x1x2x1x3x2x3 C.x1x2x30 D.x1x2x2x3x3x10 解析 由 yax2， ykxb，消去
7、 y 得 ax 2kxb0，可知 x1x2k a，x1x2 b a，令 kx b0 得 x3b k，所以 x1x2x1x3x2x3. 答案 B 5.(2019 西安五校联考)直线 l 与双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)交于 A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，若 l 与 OM(O 是原点)的斜率的乘积等于 1，则此双曲线的 离心率为( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把 A，B 两点坐标分别代入双曲线的 方程，得 x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得（x
8、1x2）（x1x2） a2 （y 1y2）（y1y2） b2 0， 又 x0x1x2 2 ， y0y 1y2 2 ， 所以x0 a2 y0（y1y2） b2（x1x2）， 所以b 2 a2 y0（y1y2） x0（x1x2）kOMkl1，所以 e 21b 2 a22， 又 e1，所以 e 2. 答案 D 6.(2019 岳阳二模)已知抛物线 yax2(a0)的准线为 l， l 与双曲线x 2 4y 21 的两条 渐近线分别交于 A，B 两点，若|AB|4，则 a_. 解析 抛物线 yax2(a0)的准线 l： y 1 4a， 双曲线 x2 4y 21 的两条渐近线分别 为 y1 2x，y 1
9、2x，可得 xA 1 2a，xB 1 2a，可得|AB| 1 2a 1 2a 4，解得 a 1 4. 答案 1 4 第第 1 课时课时 最值、范围、证明问题最值、范围、证明问题 考点一 最值问题 多维探究 角度 1 利用几何性质求最值 【例 11】 设 P 是椭圆 x2 25 y2 91 上一点，M，N 分别是两圆：(x4) 2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12 解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定 义知|PA|PB|2a10， 连接 PA， PB 分别与圆
10、相交于两点， 此时|PM|PN|最小， 最小值为|PA|PB|2R8； 连接 PA， PB 并延长， 分别与圆相交于两点， 此时|PM| |PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为 8，12. 答案 C 角度 2 利用基本不等式或二次函数求最值 【例 12】 (2018 郑州二模)已知动圆 E 经过点 F(1，0)，且和直线 l：x1 相 切. (1)求该动圆圆心 E 的轨迹 G 的方程； (2)已知点 A(3，0)，若斜率为 1 的直线 l与线段 OA 相交(不经过坐标原点 O 和点 A)，且与曲线 G 交于 B，C 两点，求ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意
11、可知点 E 到点 F 的距离等于点 E 到直线 l 的距离， 动点 E 的轨迹 是以 F(1，0)为焦点，直线 x1 为准线的抛物线，故轨迹 G 的方程是 y24x. (2)设直线 l的方程为 yxm，其中3b0)，F1，F2 为它的左、右焦点，P 为椭圆上 一点，已知F1PF260 ，SF1PF2 3，且椭圆的离心率为1 2. (1)求椭圆方程； (2)已知 T(4，0)，过 T 的直线与椭圆交于 M，N 两点，求MNF1面积的最大值. 解 (1)由已知，得|PF1|PF2|2a， |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 4c2， 即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2
12、|4c2， 1 2|PF1|PF2|sin 60 3，即|PF1|PF2|4， 联立解得 a2c23.又c a 1 2，c 21，a24， b2a2c23，椭圆方程为x 2 4 y2 31. (2)根据题意可知直线 MN 的斜率存在，且不为 0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 MN 的方程为 xmy4， 代入椭圆方程，整理得(3m24)y224my360， 则 (24m)2436(3m24)0，所以 m24. y1y2 24m 3m24，y1y2 36 3m24， 则MNF1的面积 SMNF1|SNTF1SMTF1| 1 2|TF1| |y1y2| 3 2 （y1y2）24y1
13、y2 3 2 24m 3m24 2 144 3m2418 m24 43m2 6 1 m2416 3 m24 6 1 m24 16 3 m24 6 2 16 3 3 3 4 . 当且仅当 m24 16 3 m24，即 m 228 3 时(此时适合 0 的条件)取得等号. 故MNF1面积的最大值为3 3 4 . 考点二 范围问题 【例 2】 (2018 浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C： y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上. (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2y 2 4
14、1(x0)的离心率为 3 2 ，短轴 长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOM kON5 4， 求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围. 解 (1)由题知 ec a 3 2 ，2b2， 又 a2b2c2，b1，a2， 椭圆 C 的标准方程为x 2 4y 21. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程 ykxm， x2 4y 21， 得(4k21)x28kmx4m240， 依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0， 化简得 m20，b0)的交点个数是( ) A.1 B.2 C.1
15、或 2 D.0 解析 由直线 yb ax3 与双曲线 x2 a2 y2 b21 的渐近线 y b ax 平行，故直线与双曲 线的交点个数是 1. 答案 A 2.已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，斜率为 1 的直线与 C 交于两点 A，B，若 线段 AB 的中点为(4，1)，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A.2x y0 B.x 2y0 C. 2x y0 D.x 2y0 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21，由得 （x1x2）（x1x2） a2 （y 1y2）（y1y2） b2 ，结合题意化简得
16、4b 2 a2 1，即b a 1 2， 所以双曲线 C 的渐近线方程为 x 2y0. 答案 B 3.抛物线 yx2上的点到直线 xy20 的最短距离为( ) A. 2 B.7 2 8 C.2 2 D.5 2 6 解析 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则 d |xy2| 2 |x2x2| 2 x1 2 2 7 4 2 ，x1 2时， dmin 7 2 8 . 答案 B 4.若点O和点F分别为椭圆x 2 4 y2 31的中心和左焦点， 点P为椭圆上的任意一点， 则OP FP 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 解析 由题意得 F(1，0)，设点 P(x0，y0)， 则 y203 1
17、x 2 0 4 (2x02). OP FP x 0(x01)y20x20x0y20x20x03 1x 2 0 4 1 4 (x02) 22. 因为2x02，所以当 x02 时，OP FP 取得最大值，最大值为 6. 答案 C 5.(2019 石家庄一模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为 6，则|AB|( ) A.6 B.8 C.12 D.16 解析 由题意知抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1， 0)， 易知当直线 AB 垂直于 x 轴时，AOB 的面积为 2，不满足题意，所以可设直线 AB 的方程为 yk
18、(x 1)(k0)，与 y24x 联立，消去 x 得 ky24y4k0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所 以 y1y24 k，y1y24， 所以|y1y2| 16 k216， 所以AOB 的面积为1 21 16 k216 6，解得 k 2， 所以|AB|1 1 k2|y1y2|6. 答案 A 二、填空题 6.抛物线 C：y22px(p0)的准线与 x 轴的交点为 M，过点 M 作 C 的两条切线， 切点分别为 P，Q，则PMQ_. 解析 由题意得 M p 2，0 ，设过点 M 的切线方程为 xmy p 2，代入 y 22px 得 y22pmyp20， 4p2m24p20， m 1，
19、则切线斜率k 1， MQMP， 因此PMQ 2. 答案 2 7.(2019 太原一模)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点且斜率为 2 的直线，与 该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_. 解析 由过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线 的右支交于两点，可得b a0)交于 A，B 两点，直线 OP 与抛物线 y28px(p0)的另一个交点 为 Q，则S ABQ SABO_. 解析 设直线 OP 的方程为 ykx(k0)， 联立得 ykx， y22px，解得 P 2p k2， 2p k ， 联立得 ykx， y
20、28px，解得 Q 8p k2， 8p k ， |OP| 4p2 k4 4p 2 k2 2p 1k2 k2 ， |PQ| 36p2 k4 36p 2 k2 6p 1k2 k2 ， S ABQ SABO |PQ| |OP|3. 答案 3 三、解答题 9.设椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，F1，F2是椭圆的两个焦点，M 是 椭圆上任意一点，且MF1F2的周长是 42 3. (1)求椭圆 C1的方程； (2)设椭圆 C1的左、右顶点分别为 A，B，过椭圆 C1上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E，若点 C 满足AB BC，AD OC ，连接 AC 交
21、 DE 于点 P，求证：|PD| |PE|. (1)解 由 e 3 2 ，知c a 3 2 ，所以 c 3 2 a， 因为MF1F2的周长是 42 3， 所以 2a2c42 3，所以 a2，c 3， 所以 b2a2c21， 所以椭圆 C1的方程为：x 2 4y 21. (2)证明 由(1)得 A(2，0)，B(2，0)， 设 D(x0，y0)，所以 E(x0，0)， 因为AB BC，所以可设 C(2，y 1)， 所以AD (x02，y0)，OC (2，y1)， 由AD OC 可得：(x02)y12y0，即 y1 2y0 x02. 所以直线 AC 的方程为： y0 2y0 x020 x2 2（2
22、）. 整理得：y y0 2（x02）(x2). 又点P在DE上， 将xx0代入直线AC的方程可得： yy0 2， 即点P的坐标为 x0，y0 2 ， 所以 P 为 DE 的中点，|PD|PE|. 10.如图，已知椭圆x 2 2y 21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx1 2对称. (1)求实数 m 的取值范围； (2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y 1 mxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点为 M， 由 x 2 2y 21， y 1 mxb 消去 y， 得 1 2 1 m2 x22b mxb 210. 因为直
23、线 y 1 mxb 与椭圆 x2 2y 21 有两个不同的交点， 所以 2b224 m2 0， 则 x1x2 4mb m22，y1y2 2m2b m22， (1)将 AB 中点 M 2mb m22， m2b m22 代入直线方程 ymx1 2解得 b m22 2m2 ， 由得 m 6 3 或 m 6 3 . 故实数 m 的取值范围为 ， 6 3 6 3 ， . (2)令 t 1 m 6 2 ，0 0， 6 2 ，则 |AB| t21 2t42t23 2 t21 2 ， 且 O 到直线 AB 的距离为 d t21 2 t21. 设AOB 的面积为 S(t)， 所以 S(t)1 2|AB| d 1
24、 2 2 t21 2 2 2 2 2 . 当且仅当 t21 2时，等号成立. 故AOB 面积的最大值为 2 2 . 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019 开封一模)已知抛物线 M：y24x，过抛物线 M 的焦点 F 的直线 l 交抛物 线于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点 E.若AE 2BE，则直 线 l 的斜率为( ) A.3 B.2 2 C. 3 D.1 解析 分别过 A，B 两点作 AD，BC 垂直于准线，垂足分别为 D，C， 由AE 2BE，得 B 为 AE 的中点，|AB|BE|， 则|AD|2|BC|， 由抛物线的定义可知|AF|AD|
25、，|BF|BC|， |AB|3|BC|， |BE|3|BC|，则|CE|2 2|BC|， tan CBE|CE| |CB|2 2， 直线 l 的斜率 ktan AFxtan CBE2 2. 答案 B 12.已知抛物线 y24x，过其焦点 F 的直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点(A 在第 一象限内)， AF 3 FB， 过 AB 的中点且垂直于 l 的直线与 x 轴交于点 G， 则ABG 的面积为( ) A.8 3 9 B.16 3 9 C.32 3 9 D.64 3 9 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF 3FB， 所以 y13y2，设直线 l 的方程为 xmy1，
26、 由 y 24x， xmy1消去 x 得 y 24my40，y1y24， y12 3， y22 3 3 ， y1y24m4 3 3 ， m 3 3 ，x1x210 3 ，AB 的中点坐标为 5 3， 2 3 3 ，过 AB 中点且垂直于直线 l 的直线方程为 y2 3 3 3 3 x5 3 ， 令 y0， 可得 x11 3 ， 所以 SABG1 2 11 3 1 2 32 3 3 32 3 9 . 答案 C 13.(一题多解)(2018 全国卷)已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点.若AMB90 ，则 k_. 解析 法一 由
27、题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线 方程为 yk(x1)(k0)， 由 yk（x1）， y24x， 消去 y 得 k2(x1)24x， 即 k2x2(2k2 4)xk20， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x22k 24 k2 ， x1x21.由 yk（x1）， y24x， 消去 x 得 y24 1 ky1 ，即 y 24 ky40，则 y1y2 4 k，y1y24，则AMB 90 ，得MA MB (x11，y11) (x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2) 10，将 x1x22k 24 k2 ，x1x21 与 y1y2
28、4 k，y1y24 代入，得 k2. 法二 设抛物线的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y 2 14x1， y224x2，所以 y 2 1y224(x1 x2)，则 ky 1y2 x1x2 4 y1y2，取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x 1 的垂线，垂足分别为 A，B，又AMB90 ，点 M 在准线 x1 上，所 以|MM|1 2|AB| 1 2(|AF|BF|) 1 2(|AA|BB|).又 M为 AB 的中点，所以 MM平行 于 x 轴，且 y01，所以 y1y22，所以 k2. 答案 2 14.(2018 天津卷)设椭圆x 2 a2 y2
29、 b21(ab0)的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的 离心率为 5 3 ，|AB| 13. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l：ykx(kx10，点 Q 的坐标为(x1，y1). 由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，可得|PM|2|PQ|， 从而 x2x12x1(x1)，即 x25x1. 易知直线 AB 的方程为 2x3y6， 由方程组 2x3y6， ykx， 消去 y，可得 x2 6 3k2. 由方程组 x 2 9 y2 41， ykx， 消去 y，可得 x1 6 9k24. 由 x25x1，可得 9k245(3k2)， 两边平方，整理得 18k225k80， 解得 k8 9，或 k 1 2. 当 k8 9时，x290，不合题意，舍去； 当 k1 2时，x212，x1 12 5 ，符合题意. 所以，k 的值为1 2.
