1、第第 2 节节 综合法、分析法、反证法综合法、分析法、反证法 最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反 证法的思考过程和特点. 知 识 梳 理 1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定 义、公理、定理及运算法则， 通过演绎推理， 一步一步地接 近要证明的结论， 直到完成命 题的证明.我们把这样的思维 方法称为综合法 从求证的结论出发， 一步一步地探索 保证前一个结论成立的充分条件， 直 到归结为这个命题的条件， 或者归结 为定义、公理、定理等.我们把这样 的思维方法称为分
2、析法 实质 由因导果 执果索因 框图表示 PQ1 Q1Q2 QnQ QP1 P1P2 得到一个明显 成立的条件 文字语言 因为所以或由 得 要证只需证即证 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方 法. (1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果 与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从 而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法. (2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根 据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原 命题
3、的结论成立. 微点提醒 1.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果， 就是寻找已知的必要条件. 2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法. 3.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后 推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“aQ B.PQ C.PQ，只需 P2Q2，即 2a132(a6)(a7)2a13 2 (a8)(a
4、5)，只需 a213a42a213a40.因为 4240 成立，所以 PQ 成 立.故选 A. 答案 A 4.(选修 22P89 练习 T1 改编)对于任意角 ，化简 cos4 sin4 ( ) A.2sin B.2cos C.sin 2 D.cos 2 解析 因为 cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2，故选 D. 答案 D 5.(2019 汉中调研)若 a，b，c 为实数，且 ab2 C.1 a a b 解析 a2aba(ab)，aab. 又 abb2b(ab)0，abb2， 由得 a2abb2. 答案 B 6.(2019 合肥月
5、考)下列条件：ab0，ab0，b0，a0，证明：a2 1 a2 2a 1 a2. 证明 要证a2 1 a2 2a 1 a2，只要证 a2 1 a22a 1 a 2. 因为 a0， 故只要证 a2 1 a22 2 a1 a 2 2 ， 即 a2 1 a24 a2 1 a24a 2 2 1 a22 2 a1 a 2， 从而只要证 2a2 1 a2 2 a1 a ， 只要证 4 a2 1 a2 2 a22 1 a2 ， 即 a2 1 a22， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 规律方法 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的 充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义
6、、公理、定理、法则、公式等) 或要证命题的已知条件时命题得证. 【训练 2】 已知 a5，求证： a5 a31，所以 b3. (2)假设函数 h(x) 1 x2在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数， 因为 h(x) 1 x2在区间(2，)上单调递减， 所以有 h(a)b， h(b)a，即 1 a2b， 1 b2a. 解得 ab，这与已知矛盾. 故不存在常数 a，b(a2)使函数 h(x) 1 x2是a，b上的“四维光军”函数. 思维升华 分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然， 容易寻找到解题的思路 和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问 题，但不
7、便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再 用综合法叙述出来. 易错防范 1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即 证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论. 2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是” “至少一个”的否定是“不存在”等. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因 法；分析法是逆推法；反证法是间接证法.其中正确的有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 解析 由定义可知都正确，选 D. 答案
8、D 2.用反证法证明命题： “三角形三个内角至少有一个不大于60 ”时， 应假设( ) A.三个内角都不大于 60 B.三个内角都大于 60 C.三个内角至多有一个大于 60 D.三个内角至多有两个大于 60 解析 “至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于 60 . 答案 B 3.在ABC 中，sin Asin C0，所 以 AC 是锐角，从而 B 2，ABC 必是钝角三角形.故选 C. 答案 C 4.分析法又称执果索因法， 已知 x0， 用分析法证明 1x2 B.x24 C.x20 D.x21 解析 因为 x0，所以要证 1x0，所以 x20 成立，故原不等式成立.故选 C.
9、 答案 C 5.若1 a 1 bb. a22 2 5. 答案 6 72 2 5 8.若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1， 在区间1， 1内至少存在一点 c， 使 f(c)0，则实数 p 的取值范围是_. 解析 若二次函数 f(x)0 在区间1，1内恒成立， 则 f(1)2p2p10， f(1)2p23p90， 解得 p3 或 p3 2， 故满足题干要求的 p 的取值范围为 3，3 2 . 答案 3，3 2 三、解答题 9.已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1，求证： 1 x1 1 y1 1 z1 8. 证明 因为 x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1， 所以1
10、x1 1x x yz x 2 yz x ， 1 y1 1y y xz y 2 xz y ， 1 z1 1z z xy z 2 xy z ， 由，得 1 x1 1 y1 1 z1 8. 10.设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和. (1)求证：数列Sn不是等比数列； (2)数列Sn是等差数列吗？为什么？ (1)证明 假设数列Sn是等比数列，则 S22S1S3， 即 a21(1q)2a1 a1 (1qq2)， 因为 a10，所以(1q)21qq2， 即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列Sn不是等比数列. (2)解 当 q1 时，Snna1，故Sn是等差数列； 当 q1 时
11、，Sn不是等差数列，否则 2S2S1S3， 即 2a1(1q)a1a1(1qq2)， 得 q0，这与公比 q0 矛盾. 综上，当 q1 时，数列Sn是等差数列；当 q1 时，数列Sn不是等差数列. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.已知函数 f(x) 1 2 x ，a，b 是正实数，Af ab 2 ，Bf( ab)，Cf 2ab ab ，则 A，B，C 的大小关系为( ) A.ABC B.ACB C.BCA D.CBA 解析 因为ab 2 ab 2ab ab，又 f(x) 1 2 x 在 R 上是减函数， 所以 f ab 2 f( ab)f 2ab ab . 答案 A 12.(20
12、19 武汉模拟)已知 a，b，cR，若b a c a1 且 b a c a2，则下列结论成立的 是( ) A.a，b，c 同号 B.b，c 同号，a 与它们异号 C.a，c 同号，b 与它们异号 D.b，c 同号，a 与 b，c 的符号关系不确定 解析 由b a c a1 知 b a与 c a同号，若 b a0 且 c a0，不等式 b a c a2 显然成立，若 b a0， b a c a 2 b a c a 2，即b a c a0 且 c a0，即 a，b，c 同号.故选 A. 答案 A 13.(2018 上饶模拟)设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ab1；ab2；ab2；a2b22
13、；ab1. 其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件序号是_. 解析 若 a1 2，b 2 3，则 ab1，但 a1，故推不出； 对于，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1， 下面用反证法证明：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不 成立，故 a，b 中至少有一个大于 1. 答案 14.ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 求证： 1 ab 1 bc 3 abc. 证明 要证 1 ab 1 bc 3 abc， 即证abc ab abc bc 3 也就是 c ab a bc1， 只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需证 c2a2acb2， 又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60 ， 由余弦定理，得 b2c2a22accos 60 ， 即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2成立. 于是原等式成立.
