1、第第 5 节节 垂直关系垂直关系 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面 垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直，那 么该直线与此平面垂直 la lb abO a b l 性质定理 如果两条直线同垂直于一个 平面，那么这两条直线平行 a b ab
2、 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成 的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在 平面内，则它们所成的角是 0 的角. (2)范围： 0， 2 . 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角； (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2
3、)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另一个平 面的一条垂线， 那么这两个平 面互相垂直 l l 性质 定理 如果两个平面互相垂直， 那么 在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面 a la l l 微点提醒 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线 垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直 于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结
4、论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 解析 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交或 l 或 l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另 一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (
5、4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故(4)错误. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P40 例 3 改编)已知直线 a，b 和平面 ，且 ab，a，则 b 与 的位 置关系为( ) A.b B.b C.b或 b D.b 与 相交 答案 C 3.(必修 2P42A5 改编)已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂 直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图，因为 PAPB，PAPC，PBPCP，且 PB平面 PBC，PC平 面 PBC， 所以 PA平面 PBC.又
6、 BC平面 PBC， 所以 PABC， 同理可得 PBAC， PCAB，故正确. 答案 A 4.(2019 安徽江南十校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合 的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( ) A. 且 m B.mn 且 n C.mn 且 n D.mn 且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确. 答案 C 5.(2017 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 解析 如图， 由题设知， A1B1平面BCC1B1且BC1平
7、面BCC1B1， 从而A1B1BC1. 又 B1CBC1， 且 A1B1B1CB1， 所以 BC1平面 A1B1CD， 又 A1E平面 A1B1CD， 所以 A1EBC1. 答案 C 6.(2018 安阳二模)已知 a，b 表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面， 下列说法错误的是( ) A.若 a，b，则 ab B.若 a，b，ab，则 C.若 a，ab，则 b D.若 a，ab，则 b 或 b 解析 对于 A，若 a，则 a，又 b，故 ab，故 A 正确； 对于 B，若 a，ab，则 b或 b，存在直线 m，使得 mb， 又 b，m，.故 B 正确； 对于 C，若 a，ab，则 b或
8、b，又 ，所以 b或 b，故 C 错误； 对于 D，若 a，ab，则 b 或 b，故 D 正确. 答案 C 考点一 线面垂直的判定与性质 【例 1】 (2018 全国卷)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPB PCAC4，O 为 AC 的中点. (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离. (1)证明 因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 3. 连接 OB.因为 ABBC 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB 1 2AC2. 由 OP2OB2PB2
9、知，OPOB. 由 OPOB，OPAC 且 OBACO，知 PO平面 ABC. (2)解 作 CHOM，垂足为 H. 又由(1)可得 OPCH，所以 CH平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离. 由题设可知 OC1 2AC2，CM 2 3BC 4 2 3 ，ACB45 . 所以 OM2 5 3 ，CHOC MC sinACB OM 4 5 5 . 所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5 . 规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质 (a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，l
10、l). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练 1】 (2019 南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160 . (1)求证：BC1平面 ABC； (2)E 是棱 CC1上的一点，若三棱锥 EABC 的体积为 3 12，求线段 CE 的长. (1)证明 AB平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C， ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160 ， 由余弦定理得 BC21BC2CC21
11、2BC CC1 cosBCC11222212cos 60 3，BC1 3， BC2BC21CC21，BCBC1， 又 AB，BC平面 ABC，BCABB，BC1平面 ABC. (2)解 AB平面 BB1C1C，VEABCVAEBC1 3SBCE AB 1 3SBCE 1 3 12， SBCE 3 4 1 2CE BC sinBCE 1 2CE 3 2 ， CE1. 考点二 面面垂直的判定与性质 【例 2】 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABCD， ABAD， CD2AB， 平面 PAD 底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA底面 ABCD
12、； (2)BE平面 PAD； (3)平面 BEF平面 PCD. 证明 (1)平面 PAD底面 ABCD， 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA平面 PAD， PA底面 ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点， ABDE，且 ABDE. 四边形 ABED 为平行四边形. BEAD. 又BE平面 PAD，AD平面 PAD， BE平面 PAD. (3)ABAD，而且 ABED 为平行四边形. BECD，ADCD， 由(1)知 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD，且 PAADA，PA，AD平面 PAD， CD平面 PAD，又 PD平面 PAD， CDPD.
13、 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， PDEF. CDEF，又 BECD 且 EFBEE， CD平面 BEF，又 CD平面 PCD， 平面 BEF平面 PCD. 规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判 定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练 2】 (2019 商洛模拟)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形， ABDC，ABC90 ，ADSD，BCCD1 2AB，侧面 SAD底面 ABCD. (1)求证：平面 SBD平面 SAD；
14、 (2)若SDA120 ，且三棱锥 SBCD 的体积为 6 12，求侧面 SAB 的面积. (1)证明 设 BCa，则 CDa，AB2a，由题意知BCD 是等腰直角三角形， 且BCD90 ， 则 BD 2a，CBD45 ， 所以ABDABCCBD45 ， 在ABD 中， AD AB2DB22AB DB cos 45 2a， 因为 AD2BD24a2AB2，所以 BDAD， 由于平面 SAD底面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD，BD平面 ABCD， 所以 BD平面 SAD， 又 BD平面 SBD，所以平面 SBD平面 SAD. (2)解 由(1)可知 ADSD 2a，在SAD 中，SD
15、A120 ，SA2SDsin 60 6a. 作 SHAD，交 AD 的延长线于点 H， 则 SHSDsin 60 6 2 a， 由(1)知 BD平面 SAD， 因为 SH平面 SAD，所以 BDSH. 又 ADBDD，所以 SH平面 ABCD， 所以 SH 为三棱锥 SBCD 的高， 所以 VSBCD1 3 6 2 a1 2a 2 6 12， 解得 a1. 由 BD平面 SAD，SD平面 SAD，可得 BDSD， 则 SB SD2BD2 222. 又 AB2，SA 6， 在等腰三角形 SBA 中， 边 SA 上的高为46 4 10 2 ， 则SAB 的面积为1 2 6 10 2 15 2 .
16、考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究 角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 31】 (2018 北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点. (1)求证：PEBC； (2)求证：平面 PAB平面 PCD； (3)求证：EF平面 PCD. 证明 (1)因为 PAPD，E 为 AD 的中点， 所以 PEAD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BCAD. 所以 PEBC. (2)因为底面 ABCD 为矩形， 所以 ABAD. 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 AB
17、CDAD， 所以 AB平面 PAD. 所以 ABPD. 又因为 PAPD，且 PAABA， 所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PCD， 所以平面 PAB平面 PCD. (3)如图，取 PC 中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FGBC，FG1 2BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC. 所以 DEFG，DEFG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 所以 EFDG. 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD. 规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线
18、线、线面、面面垂 直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度 2 平行与垂直关系中的探索性问题 【例 32】 如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2， BAC60 . (1)求三棱锥 PABC 的体积； (2)在线段 PC 上是否存在点 M，使得 ACBM，若存在点 M，求出PM MC的值；若 不存在，请说明理由. 解 (1)由题知 AB1，AC2，BAC60 ， 可得 SABC1 2 AB AC sin 60 3 2 ， 由 PA平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高. 又 PA1，所以三棱锥 PAB
19、C 的体积 V1 3 SABC PA 3 6 . (2)在平面 ABC 内， 过点 B 作 BNAC， 垂足为 N.在平面 PAC 内， 过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M，连接 BM. 由 PA平面 ABC 知 PAAC，所以 MNAC. 由于 BNMNN，故 AC平面 MBN. 又 BM平面 MBN，所以 ACBM. 在 RtBAN 中，ANAB cosBAC1 2， 从而 NCACAN3 2. 由 MNPA，得PM MC AN NC 1 3. 规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出 条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条
20、件，再证明充分 性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点 存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度 3 空间位置关系与几何体的度量计算 【例 33】 如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB， AD1，BC3，CD4，PD2. (1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD平面 PBC； (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. (1)解 如图，由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成 的角. 因为 AD平面 PDC，PD平面 PDC，
21、 所以 ADPD. 在 RtPDA 中，由已知，得 AP AD2PD2 5， 故 cosDAPAD AP 5 5 . 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . (2)证明 由(1)知 ADPD， 又因为 BCAD，所以 PDBC. 又 PDPB，BCPBB， 所以 PD平面 PBC. (3)解 过点 D 作 DFAB，交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的 角等于 AB 与平面 PBC 所成的角. 因 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 ADBC，DFAB，故
22、BFAD1. 由已知，得 CFBCBF2. 又 ADDC，故 BCDC. 在 RtDCF 中，可得 DF CD2CF22 5. 在 RtDPF 中，可得 sinDFPPD DF 5 5 . 所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . 规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由 ADBC，ADPD，得 PDBC，进而利用线面垂直的判定定理证明 PD平面 PBC. 2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是 完整统一过程，缺一不可. (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面 角转化到一个三角形中求解. (2
23、)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有： 定义法； 垂面 法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 【训练 3】 如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD PC4，AB6，BC3.点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上， 且 AF2FB，CG2GB. (1)证明：PEFG. (2)求二面角 PADC 的正切值. (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. (1)证明 因为 PDPC 且点 E 为 CD 的中点， 所以 PEDC. 又平面 PDC平面 ABCD，且平面 PDC平面 ABCDCD，PE平面 PDC，所
24、以 PE平面 ABCD， 又 FG平面 ABCD，所以 PEFG. (2)解 由(1)知 PE平面 ABCD，PEAD， 又 ADCD，PECDE， AD平面 PDC，ADPD， PDC 为二面角 PADC 的平面角， 在 RtPDE 中，PD4，DE3， PE 169 7，tanPDCPE DE 7 3 . 故二面角 PADC 的正切值为 7 3 . (3)解 如图，连接 AC，AF2FB，CG2GB，ACFG. 直线 PA 与 FG 所成角即直线 PA 与 AC 所成角PAC. 在 RtPDA 中，PA2AD2PD225，PA5. 又 PC4. AC2CD2AD236945，AC3 5.
25、又 cosPACPA 2AC2PC2 2PA AC 254516 253 5 9 25 5. 所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 5 25 . 思维升华 1.证明线面垂直的方法： (1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a； (2)判定定理 1： m，n，mnA lm，ln l； (3)判定定理 2：ab，ab； (4)面面垂直的性质：，l，a，ala； 2.证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a，a. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化 易错防范 1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件. 2.面面垂直
26、的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视. 3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误. 4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定 理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则( ) A.ml B.mn C.nl D.mn 解析 因为 l，所以 l，又 n，所以 nl. 答案 C 2.(2018 萍乡调研)已知 m，n 是空间中两条不同的直线， 为空间中两个互相 垂直的平面，则下列命
27、题正确的是( ) A.若 m，则 m B.若 m，n，则 mn C.若 m，m，则 m D.若 m，nm，则 n 解析 对于 A： 若 m， 则 m 与平面 可能平行或相交， 所以 A 错误； 对于 B： 若 m，n，则 m 与 n 可能平行、相交或异面，所以 B 错误；对于 C：若 m，m，则 m，C 正确；对于 D：m，nm，则 n 不一定与平面 垂直，所以 D 错误. 答案 C 3.(2019 泉州模拟)在下列四个正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 均为所在棱 的中点，过 E，F，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1与平面 EFG 不垂直的是( ) 解析 如图，
28、在正方体中，E，F，G，M，N，Q 均为所在棱的中点，易知 E，F， G，M，N，Q 六个点共面，直线 BD1与平面 EFMNQG 垂直，并且选项 A、B、C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项 D 中的直线 BD1与平面 EFG 不垂直，满足题意，故选 D. 答案 D 4.(2019 广州一模)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命 题中正确的是( ) A.若 ，m，n，则 mn B.若 m，mn，n，则 C.若 mn，m，n，则 D.若 ，m，n，则 mn 解析 若 ，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； m，mn，n， 又n，故 B 正确；
29、 若 mn，m，n，则 与 的位置关系不确定，故 C 错误； 若 ，m，n，则 mn 或 m，n 异面， 故 D 错误. 答案 B 5.(2018 赣州模拟)如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90 ， 且 BC1AC， 过 C1作 C1H底面 ABC，垂足为 H，则点 H 在( ) A.直线 AC 上 B.直线 AB 上 C.直线 BC 上 D.ABC 内部 解析 连接 AC1，如图. BAC90 ，ACAB， BC1AC，BC1ABB， AC平面 ABC1. 又 AC 在平面 ABC 内，根据面面垂直的判定定理，知平面 ABC平面 ABC1， 则根据面面垂直的性质定理知， 在
30、平面 ABC1内一点 C1向平面 ABC 作垂线， 垂足 必落在交线 AB 上.故选 B. 答案 B 二、填空题 6.如图，已知BAC90 ，PC平面 ABC，则在ABC，PAC 的边所在的直线 中，与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_. 解析 因为 PC平面 ABC，所以 PC 垂直于直线 AB，BC，AC.因为 ABAC， ABPC， ACPCC， 所以 AB平面 PAC， 又因为 AP平面 PAC， 所以 ABAP， 与 AP 垂直的直线是 AB. 答案 AB，BC，AC AB 7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的
31、一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个 你认为是正确的条件即可). 解析 连接 AC， BD， 则 ACBD， 因为 PA底面 ABCD， 所以 PABD.又 PAAC A，所以 BD平面 PAC，所以 BDPC.所以当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD. 答案 DMPC(或 BMPC) 8.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为_. 解析 连接 A1C1，则AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1所成的角. 因为
32、ABBC2，所以 A1C1AC2 2， 又 AA11，所以 AC13， 所以 sinAC1A1AA1 AC1 1 3. 答案 1 3 三、解答题 9.(2019 石家庄摸底)如图，在多面体 ABCDPE 中，四边形 ABCD 和 CDPE 都是直 角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面 ABCD，ABPDDA2PE， CD3PE，F 是 CE 的中点. (1)求证：BF平面 ADP； (2)已知 O 是 BD 的中点，求证：BD平面 AOF. 证明 (1)如图，取 PD 的中点为 G，连接 FG，AG. F 是 CE 的中点，FG 是梯形 CDPE 的中位线， CD3PE， FG2PE
33、，FGCD. CDAB，AB2PE， ABFG，ABFG，即四边形 ABFG 是平行四边形， BFAG，又 BF平面 ADP，AG平面 ADP， BF平面 ADP. (2)延长 AO 交 CD 于 M，连接 BM，FM. BAAD，CDDA，ABAD，O 为 BD 的中点， 四边形 ABMD 是正方形，则 BDAM，MD2PE， FMPD. PD平面 ABCD，FM平面 ABCD，FMBD， AMFMM，BD平面 AMF， BD平面 AOF. 10.如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC；
34、(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理 由. (1)证明 因为 PC平面 ABCD，DC平面 ABCD， 所以 PCDC. 又因为 ACDC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC. (2)证明 因为 ABCD，DCAC，所以 ABAC. 因为 PC平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PCAB. 又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的
35、中点，所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF， 所以 PA平面 CEF. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2018郑州一模)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么在这个空间图形中必有( ) A.AG平面 EFH B.AH平面 EFH C.HF平面 AEF D.HG平面 AEF 解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，又 HEHFH，AH平面 EFH，B 正确. 过 A 只有一条直线与平面
36、 EFH 垂直，A 不正确. AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面 HAG，又 EF平面 AEF， 平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确. 由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确. 答案 B 12.如图，在矩形 ABCD 中，AB 3，BC1，将ACD 沿 AC 折起，使得 D 折 起后的位置为 D1，且 D1在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四面体 D1ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 设 D1在平面 ABC 上的射影为 E，连接 D1E，则 D1
37、E平面 ABC. D1E平面 ABD1， 平面 ABD1平面 ABC. D1E平面 ABC，BC平面 ABC，D1EBC， 又 ABBC，D1EABE，BC平面 ABD1. 又 BC平面 BCD1，平面 BCD1平面 ABD1. BC平面 ABD1，AD1平面 ABD1， BCAD1，又 CD1AD1，BCCD1C， AD1平面 BCD1， 又 AD1平面 ACD1，平面 ACD1平面 BCD1. 共有 3 对平面相互垂直.故选 B. 答案 B 13.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90 ， D 是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点， AB1，
38、DF 交于点 E， 要使 AB1平面 C1DF， 则线段 B1F 的长为_. 解析 设 B1Fx， 因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF， 所以 AB1DF， 由已知可得 A1B1 2， 设 RtAA1B1斜边 AB1上的高为 h， 则 DE1 2h. 又1 22 2 1 2h 22（ 2）2， 所以 h2 3 3 ，DE 3 3 . 在 RtDB1E 中， B1E 2 2 2 3 3 2 6 6 . 由面积相等得1 2 6 6 x2 2 2 2 1 2 2 2 x， 得 x1 2. 答案 1 2 14.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC
39、边 的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE， 得到如图所示的几何体. (1)求证：AB平面 ADC； (2)若 AD1，AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 6，求点 B 到 平面 ADE 的距离. (1)证明 因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BDDC，DC 平面 BCD，所以 DC平面 ABD. 因为 AB平面 ABD，所以 DCAB， 又因为 ADAB，且 DCADD， 所以 AB平面 ADC. (2)解 由(1)知 DC平面 ABD， 所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD， 即DAC 为
40、AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角. 依题意得 tanDACCD AD 6， 因为 AD1，所以 CD 6， 设 ABx(x0)，则 BD x21， 因为ABDDCB，所以AB AD DC BD，即 x 1 6 x21， 解得 x 2，故 AB 2，BD 3，BC3. 由于 AB平面 ADC，AC平面 ADC， 所以 ABAC，又 E 为 BC 的中点， 所以由平面几何知识得 AEBC 2 3 2， 因为 BDDC，E 为 BC 的中点，所以 DEBC 2 3 2， 所以 SADE1 21 3 2 2 1 2 2 2 2 . 因为 DC平面 ABD， 所以 VABCDVCABD1 3CD SABD 3 3 . 设点 B 到平面 ADE 的距离为 d. 则由1 3d SADEVBADEVABDE 1 2VABCD 3 6 ， 得 d 6 2 ， 即点 B 到平面 ADE 的距离为 6 2 .
