1、第16章 简单线性规划16.216.2线性规划线性规划16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品是，每两种配件生产甲、乙两种产品是，每生产一件产品使用生产一件产品使用4 4个个A A配件、耗时配件、耗时1h1h，每生产一件，每生产一件乙产品使用乙产品使用4 4个个B B配件、耗时配件、耗时2h.2h.该厂每天最多可从该厂每天最多可从配件厂获得配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工作配件，按每天工作8h8h计算，该厂所有可能的日生产安排有哪些？计算，该厂所有可能的日生产安排有哪些？设甲、乙两种产品分别
2、生产设甲、乙两种产品分别生产x，y件，由已知条件可件，由已知条件可得二元一次不等式组：得二元一次不等式组：28,416,412,0,0.xyxyxy16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2 2万元，生产一件乙产品万元，生产一件乙产品获利获利3 3万元，采用哪种生产安排利润最大？万元，采用哪种生产安排利润最大？z设生产甲产品设生产甲产品x件，乙产品件，乙产品y件时，工厂获得的利润为件时，工厂获得的利润为 ,则则 .23zxyz当当x,y满足以上不等式组并且非负整数时，的最大值是多少？满足以上不等式组并且非负整数时，的最大值是多少？把把 变形为变形
3、为 在平面直角坐标系中表示斜率为在平面直角坐标系中表示斜率为 ，在，在y轴上的截距为轴上的截距为 的直线的直线.23zxy233zyx 233z16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题直线直线 与不等式组确定的平面区域有公共点时，与不等式组确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点在区域内找一个点P P，使直线经过点，使直线经过点P P时截距时截距 最大最大.233zyx 3z当直线当直线 经过直线经过直线 与直线与直线的交点的交点 时，截距时，截距 的值最大，最大值为的值最大，最大值为 .233zyx 4x 280 xy(4,2)M3z1432314xy这时这时 .所以，每天生产甲产
4、品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，工厂可获最大利润件时，工厂可获最大利润1414万元万元.16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题在上述问题中，不等式组是一组对变量在上述问题中，不等式组是一组对变量x x、y y的约束条件，这组约束条件都是关于的约束条件，这组约束条件都是关于x x、y y的的一次不等式，所以又称为线性约束条件一次不等式，所以又称为线性约束条件.23zxy23zxy我们把要求最大值的函数我们把要求最大值的函数 称为目称为目标函数，又因这里的标函数，又因这里的 是关于变量是关于变量x,yx,y的一次解析式，所以又称为线性目标函数的一次解析式，所以
5、又称为线性目标函数.一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)(x,y)叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域，叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域，其中，是目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问其中，是目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解题的最优解(4,2)(4,2)为最优解为最优解.16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题综上所述，利用图解法解二元一次线性规划问题的步骤是：综上所述
6、，利用图解法解二元一次线性规划问题的步骤是：(1)(1)确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数；确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数；(2)(2)由线性约束条件，列出线性约束条件与目标函数；由线性约束条件，列出线性约束条件与目标函数；(3)(3)过原点作出目标函数值等于过原点作出目标函数值等于0 0的直线，即目标函数的的直线，即目标函数的0 0等等直线直线(此直线上的髠函数值都为此直线上的髠函数值都为0)0)；(4)(4)将将0 0等直线上、下平行移动，观察确定可行域内最大解得等直线上、下平行移动，观察确定可行域内最大解得位置，一般最优解在可行域的顶点处取得；位置，一般最优解在可行域的顶
7、点处取得；(5)(5)将最优解代入目标函数求最值将最优解代入目标函数求最值.16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题例例1 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少？解解 设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么约束条件为0.10
8、50.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.xyxyxyxy目标函数为目标函数为2821.zxy16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题所以当所以当 时，时，.14,77xymin282116zxy2821zxy21z当直线当直线 经过可行域上的点经过可行域上的点M时，截距时，截距 最小，即最小，即z最小最小.775,1476,xyxy解方程组解方程组14,.77xy得得M的坐标为的坐标为16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题例例2 2 在习题16.1的第五题中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的
9、利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解解 设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为 ，可行域如图所示.0.5zxy直线 经过可行域上的点M时，截距2z最大，即y最大.22yxz 所以当 时，2,2xymax0.53.zxy181566,410 xyxy解方程组得M的坐标为（2,2）16.2.1简单的线性规划问题简单的线性规划问题1.解下列线性规划问题：(1)求 的最大值，使x,y满足约束条件(2)求 的最大值和最小值，是x,y满足约束条件2zxy1,1;xyy 35zxy5315,1,53.xyyxxy2.在16.1.2的例3
10、欧诺个，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且所使用的钢板张数最少？3.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，没见销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲产品设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙产品设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h、500h，如何安排生产可使收入最大？16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题 求解线性规划问题是求解线性规划问题是Office 2003Office 2003提供的一个加提供的一个加载宏如果在安装载宏如果在安装Offic
11、e 2003Office 2003时，没有选择加载宏，时，没有选择加载宏，那么使用之前必须要进行安装方法如下：那么使用之前必须要进行安装方法如下：打开打开ExcelExcel文件文件点击点击“工具工具”“”“加载宏加载宏”点击点击“规划求解规划求解”“”“确定确定”就完成了就完成了“规划求解规划求解”宏的安装如果不能安装，插入宏的安装如果不能安装，插入Office 2003Office 2003的安装光盘，的安装光盘，重新按照上面步骤操作，可以完成安装重新按照上面步骤操作，可以完成安装16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题例例 炼钢厂生产某种钢材，以甲、乙两种型号的
12、废钢为原料，要求元素、含量分别不少于10个单位和9个单位，已知甲、乙两种型号的废钢每吨价格分别为400元和500元，且每吨废钢中元素、的含量如表所示考虑在保证钢的质量的条件下，需要甲、乙两种型号的废钢各多少吨时才能使费用最省?试写出线性约束条件和目标函数元素废钢型号最低含量甲乙个单位个单位10个单位个单位个单位9个单位每吨价格（元）400500 16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题解解 设需要甲、乙两种型号的废钢分别为x吨、y吨.则x吨甲型废钢含元素A为2x个单位，y吨乙型废钢含元素A为2y个单位.由于钢材中元素A的含量不少于10个单位，故2210.xyx吨甲型废
13、钢含元素B为x个单位，y吨乙型废钢含元素B为3y个单位.由于钢材中元素B的元素不少于9个单位，故39.xy0,y0.x 于是得到线性约束条件为2210,39,0,0.xyxyxy并且设材料的总费用为z,则400500,zxy求目标函数的最小值.16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题（1）如图所示，将以上问题中的数据输入到Excel表格中工作表中的数据是进行“规划求解”所提供的固定值单元格B8、B9为可变单元格，用来存放“规划求解”推测出的甲、乙两种产品数量，即决策变量D6为目标单元格，用来保存“规划求解”的返回值即目标函数的最值，它必须是一个计算公式本例计算总费用的
14、公式为:“=B8*B6+B9*C6”16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题（3）如图所示，在“规划求解参数”对话框中“设置目标单元格”为“$D$6”，在“等于”项目中选择“最小值”，可变单元格为“$B$8:$B$9”.（2）点击“工具”“规划求解”16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题（4）添加4个约束条件“$D$2=$B$8*$B$2+$B$9*$C$2”,“$D$3=$B$8*$B$3+$B$9*$C$3”,“$D$4=$B$8*$B$4+$B$9*$C$4”,“$D$5=$B$8*$B$5+$B$9*$C$5”若输入后发现有错，可单
15、击“更改”按钮修改(5)单击“求解”按钮，则Excel自动进行运算并将结果显示在可变单元格和目标单元格内如图16.2.24所示，在B8单元格内显示3，在B9单元格内显示2，在D6单元格内显示2 200于是可以得出结论，取甲种型号废钢3吨，乙种型号废钢2吨时，费用最省，其值为2200元16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题16.2.2利用利用Excel软件解线性规划问题软件解线性规划问题利用Excel软件求解下列线性规划问题：(1)求 的最大值，使x,y满足约束条件(2)求 的最小值，使x,y满足约束条件23zxy8,416,412,0,0;xyxyxy0.250.2zxy70000,14000,50000,0,0.xyxyxy
