1、第三章第三章 线性控制系统的能控性与能观测性分析线性控制系统的能控性与能观测性分析 3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性3.2 线性连续系统的能观测性线性连续系统的能观测性 3.3 对偶原理对偶原理3.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解3.6 线性连续系统的实现线性连续系统的实现3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系传递函数与能控性及能观测性之间的关系3.4 线性离散系统的能控性和能观测性线性离散系统的能控性和能观测性系统系统nxxx,21状态状态1u2unu1y1yny每一个状态变量每一个状态变量 运动都可由运动都可由输入输入u(t)来来影响和控制，而由任意的始点达到
2、原点影响和控制，而由任意的始点达到原点状态能控状态能控。12,nx xx对能控性和能观测性的直观讨论对能控性和能观测性的直观讨论状态状态 的任意形式的运动均可由的任意形式的运动均可由输出完全反映输出完全反映状态能观测。状态能观测。12,nx xx 能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在
3、观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。3.1.1 概述概述3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。uxxxx21500421212160 xxy例例 3.1 给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，有：uxx114uxx252226xy分析：X1、X2受控于U Y与X1无关 Y与 X2有关例例3.2：判断下列电路的能控和能观测性)(tuRRRRCxyCCRR)(tu1x2
4、x左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。右上图：输入u（t），状态x1（t），x2（t）。1RLy1RL2R0)(tui1x2x左图：输入u（t），状态x1（t），x2（t），输出y（t）。3.1.2 能控性的定义能控性的定义 UtBXtAX)()(线性时变系统的状态空间描述：:),DCBA（)1.3)()()(（UtDXtCtYJt 00)(XtX其中：X 为 n 维状态向量；U 为 m 维输入向量；J 为时间 t 的定义区间；A为 n*n 的元为 t 的连续函数的矩阵；B 为 n*m的元为 t 的连续函数的矩阵。定义定义1 1：对线性时变系统 ，如果对取定初始时刻 的一个非零初
5、始状态 ，存在一个时刻 ，和一个无约束的的容许控制 ，使状态由 转移到 时 ，则称此 在时刻 是能控的。Jt 0Jt 101tt)(tU10,ttt1t0)(1tX0X0t),DCBA（0X0X定义定义2 2：对线性时变系统 ，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 在时刻t0是能控的。),DCBA（),DCBA（定义定义3 3：对上述线性时变系统 ，取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的，则称系统在时刻 是不完全能控的。Jt 00t0t),DCBA（定义的几点解释：(1)对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；(2)容许控制的
6、分量幅值不加限制，且在 上平方可积；J0t(3)线性定常系统的能控性与 无关；(4)如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状 态，则称为系统的能达性。(5)系统不完全能控为一种“奇异”情况。3.1.3 3.1.3 定常系统状态能控性判据定常系统状态能控性判据)()()(tBUtAXtX考虑线性连续时间系统 (A,B,C,D)：(3.2）mnnnmnRBRARtURtX,)(,)(其中10ttt0tt 如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述的系统在 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能
7、控的。)0()(0XtXt且初始条件为 。1.1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据01t1T0T1,0ttAAtcdteBBetW定理定理1 1：格拉姆矩阵判据线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是，存在 ，使如下定义的格拉姆矩阵 (3.3)非奇异。证明证明：充分性：已知 非奇异，欲证系统完全能控。采用构造法证明，构造的控制量为,01tWc,0,0)(1011TTttXtWeBtUctA在 作用下容易解得：)(tU1T110011T0,0tctAAtAtAtXtdtWeBBeeXe0,0,00111011XtWtWeXeccAtAt1110)(01)()(tttAAtdttBUeXetX
8、充分性得证。必要性：已知系统为完全能控，欲证 非奇异。,01tWc反证法。反设 为奇异，也即反设存在某个非零 ，使成立cWnRX 00,001T0XtWXcdtXeBBeXXtWXtAAttc0T0T001T0T1,00dtXeBttA1T020T要使上式成立，应有,01tt 00TTXeBtA另一方面，因系统完全能控，对非零 又成立0X由此进而有111001)()(0tAtAtAtdttBUeeXetX由此得出100)(tAtdttBUeX0T002010)(XdttBUeXXXtAtT100TT0)(ttAdtXeBtUT这表明，的假设是和系统完全能控相矛盾。因此，反设不成立，即 为非奇异
9、。必要性得证。00X,01tWc,01tt 00TTXeBtA又。所以 00X定理定理2 2：代数判据线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件为 (3.3)其中，n 为矩阵A 的维数。(3.4)称为系统的能控性判别阵。nBAABBrankn11BAABBQnc2.2.代数判据代数判据nrankQc 证明证明:充分性：已知 ，欲证系统为完全能控。1T0T1,0ttAAtcdteBBetW反证法。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵奇异。这意味着存在某个非零向量 使成立 1T0TT1T,00ttAAtcdteBBetW1T0TTTttAAtdtBeBe由此可得 ，0TBeAt,01tt现将上式求
10、导直至 次，再在所得结果中令 ，那么可得到：)1(n0t,0TB0TAB02 TBA01 TBAn进而，表上式为 0T1TcnQBAABB必要性：已知系统完全能控，欲证.nrankQc反证法。反设 ,这意味着 行线性相关，因此必存在一个非零 维常向量 ，使成立 nrankQccQn01TTBAABBQnc考虑到问题的一般性，由上式进一步得到,0TBAi1,1ni再据凯莱哈密顿定理，,均可表示为I，A，A2,An-1 的线性组合，由此得到,1nnAA,2,10TiBAi由于 ，所以上式意味着 为行线性相关。当 为行线性无关时系统为完全能控。充分性得证 0cQcQBtAtAAtI!31!21332
11、2T,TBeAt,01tt这样 dteBBedteBBettAAtttAAt1T1T0TT0TT）（0,01TtW表明 为奇异，系统不完全能控，与已知条件矛盾，反设不成立。于是 ,必要性得证。,01tWnrankQc 例例3.23.2 考虑由下式确定的系统：uxxxx101011212111110detdetABBQC即 QC 为非奇异，因此系统是状态能控的。例例3.33.3 考虑由下式确定的系统：uxxxx1012112121即QC为非奇异，因此系统是状态能控的。3 PBH 3 PBH 判据判据(由由PopovPopov和和BelevitchBelevitch提出提出,Hautus,Haut
12、us指出其广泛可指出其广泛可应用性。因此以他们姓氏首字母而得名应用性。因此以他们姓氏首字母而得名)5.3(,2,1,ninBAIranki01110detdetABBQC 解解 对于该系统，),1(nii 定理定理3 3(3.2)系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A 的所有特征值 均成立（1 1）秩判据）秩判据或等价地 )6.3(,CsnBAsIrank也即 和 是左互质的)(AsI B 证明证明：必要性：已知系统能控，欲证(3.5)成立。反证法。反设对某个 ，有 ，i nBAIranki,则意味着，存在一非零向量 ，使成立 0,TBAIi 考虑到一般性，上式得到 TT iA 0TB 进而，0
13、TB 0,01TTTBABABni 0,T1TcnQBAABB 由 的任意性，得到 nrankQc这表明系统为不完全能控，与已知条件矛盾。反设不成立。充分性：略。例例3.33.3 设线性定常系统的状态方程为 4,021001100500100001000010nUXX可直接导出02500101000101010001,BAI求出 的特征值为：，A021 53 54 当 时，021 s5101500100010001|AI0)5(224020500101000010100100010,0rankBAsIranks当 时，54,3 4,BAsIrank02550010150001015010001
14、5,5rankBAsIranks由此可知，系统能控。同样可得4,5sBAsIrank42500050011500015rank（2 2）特征向量判据（主要应用于理论分析）特征向量判据（主要应用于理论分析）定理定理44(3.2)系统为完全能控的充要条件是，矩阵 不能有与 的所有相正交的非零左特征向量。也即对 的任一特征值 ，使同时满足 ABAi TTiA)7.3(0TB的特征向量.0 证明证明：必要性：反设存在一个向量 ，使成立0,TT iA 0TB 则有 0TB 0,01TTTBABABni 这样，0,T1TcnQBAABB nrankQc所以 ，系统不能控,与假设矛盾。充分性：略。3.1.4
15、 3.1.4 状态能控性条件的标准形判据状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。)8.3(BUAXX考虑如下的线性系统mnnnrnRBRARtURtX,)(,)(式中，如果 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵 ，使得 APndiagAPP ,211 注意注意：如果 A 的特征值相异，那么 A 的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例如，具有重特征值的 nn 维实对称矩阵也有可能有 n 个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵 P 的每一列是与 (i=1,2,，n)有联系的 A
16、 的一个特征向量。i)9.3(PZX 设将式(3.9)代入式(3.8)，可得 )10.3(11BUPAPZPZ定义)(1ijfBP则可将式（3.10）重写为：rrufufufzz1212111111 rrufufufzz2222121222 rnrnnnnnufufufzz2211 如果式（3.8）中的矩阵 A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将 A 化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别1,1,1,1,1,6,6，,n,并且有 n 4 个互异的特征向量，那么 A 的 Jordan 标准形为 如果 nr 维矩阵 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不
17、能由任一 来控制。对于A的特征值为两两互异时，当且仅当输入矩阵 没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。如果有相同根时则还要满足相同根相对应的输入矩阵 的所有行是行线性无关的。(注意后一种情况书中没有作说明)在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（3.10）的矩阵 转换成对角线形式。iuBP1 APP1BP1 nJ010100100016611111其中，在主对角线上的 55 和 22 子矩阵称为Jordan块。对于 所包含的33和 22 子矩阵称为Jordan子块1假设能找到一个变换矩阵，使得JASS1如果利用)11.3(SZX 定义一个新的状态向量 ，将式（3.9）代入
18、式（3.6）中，可得到Z)12.3(11UJZBUSASZSZ下面用秩判据导出能控的充要条件326316221211131121111111001,bsbsbsbsbsbsbsBJsI选择 得到 1 s326131612221131211110100100010,bbbbbbbBJI其中 ，对以上矩阵进行线性变换为 610010010001000010,616122131bbBJI也即 为满秩的充要条件为，和 线性无关。BAIi,13b22b 从而系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当(1)当矩阵特征值两两相异时，对应于不同特征值的 的每一行的元素不全为零时；BS1BS1(2)矩阵J 中不含J
19、ordan子块的每一Jordan块的最后一行对应的 行向量不全为零；BS1(3)矩阵J 中同一Jordan块中所有Jordan子块最后一行相对应的 行向量线性无关，则系统是状态能控的。例例3.43.4 判断下列系统状态是否是能控的：uxxxx5220012121uxxxxxx3402000100113213212154321543211200030010500152001200012uuxxxxxxxxxx下列系统是状态不完全能控的：uxxxx0220012121 21321321030024200010011uuxxxxxxuxxxxxxxxxx03124500152001200012543
20、21543213.1.5 3.1.5 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件用传递函数矩阵表达的状态能控性条件 状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。例例3.53.5 考虑下列传递函数：)1)(5.2(115.2)()(ssssUsX 定理定理5 5 状态能控性的充要条件是在输入状态传递函数或传递函数矩阵 中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。BAsIsUsX1/在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为 uxxxx15.25.115.2021
21、21115.25.2ABBQc能控性矩阵的秩 rank(Qc)=1，所以可得到状态不能控的同样结论。3.1.6 3.1.6 输出能控性输出能控性 在实际的控制系统设计中，也许我们需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统)14.3()13.3(DUCXYBUAXX式中，,rnnnmrnRBRARYRURXrmnmRDRC,)(tU)(1tY10ttt)(0tY 定义定义44 如果能找到一个无约束的控制向量 ，在有限的时间间隔 内，使任一给定的初始输出 转移到任一最终输出
22、，那么称由式（3.13）和（3.14）所描述的系统为输出能控的。定理定理6 6 系统输出能控的充要条件为：当且仅当 m(n+1)r 维输出能控性矩阵12DBCABCACABCBQn的秩为 m 时，由式（3.13）和（3.14）所描述的系统为输出能控的。注意注意：在式（3.14）中存在 DU 项，对确定输出能控性是有帮助的。3.2 3.2 线性连续系统的能观测性线性连续系统的能观测性 3.2.1 3.2.1 能观测性的定义能观测性的定义(3.1)的状态方程可以表示为：）（15.3)()(),(),()(000ttdUBtXtttX则系统输出）（16.3)()()()(),()(),()()(00
23、0tUtDdUBttCXtttCtYtt若定义 )17.3()()()()(),()()()(0tUtDdUBttCtYtYtt)18.3(),()(00XtttCY这样(3.1)系统的能观测性研究等价于下列系统 XtAX)(:),CA（JtXtX000)()193()(XtCY几种定义：定义定义5 5：如果系统(3.6)的状态 X(t0)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t0()是能观测的。Jt 0定义定义6 6：对(3.6)所示系统，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态X0，存在一个有限时刻 ，使对所有 ,有Y(t)=0，则称此初始状态X0在时刻t0是不能观测的。1
24、0,tttJt 0011,ttJt定义定义7 7：对(3.6)所示系统，如果对取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态 X0 在时刻t0是不能观测的，则称该系统在时刻t0是不能观测的。Jt 0对于线性定常系统，考虑零输入时的状态空间表达式：)21.3()20.3(CXYAXX式中，nmnnmnRCRARYRX,如果每一个状态X(t0)都可通过在有限时间间隔t0tt1内由输出Y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t0=0。能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，
25、必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。讨论：在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3.20）和（3.21）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式DUCXYBUAXXtotAAtdBUeXetX)()0()()(DUdBUeCXCetYtotAAt)()0()()(由于矩阵 A、B、C 和 D 均为已知，U(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值Y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3.20）和(3.21)所描述的零输入系统就可以了。3.2.2 3
26、.2.2 定常系统状态能观测性的代数判据定常系统状态能观测性的代数判据考虑由式（3.20）和(3.21)所描述的线性定常系统。CXYAXX易知，其输出向量为)0()(XCetYAt将 写为 A 的有限项的形式，即Ate10)(nkkkAtAte）（则有：22.3)0()()(10XCAttYknkk)0()()0()()0()()(1110XCAtCAXtCXttYnn)0()()()(1110XCAtCAtCtnn)0()()()(1110XCACACtttnn显然，如果系统是能观测的，那么在 0 t t1 时间间隔内，给定输出Y(t)，就可由式（3.22）唯一地确定出 X(0)。可以证明，
27、这就要求 nmn 维能观测性矩阵 1nOCACACQ的秩为 n 代数判据：代数判据：由式（3.20）和（3.21）所描述的线性定常系统，当且仅当 nnm 维能观测性矩阵1TnTTTTTOCACACQ）（nrankQTO的秩为 n，即 时，该系统才是能观测的。例例3.5 试判断由式uxxxx10121121212101xxy所描述的系统是否为能控和能观测的。1110ABBQC解解 由于能控性矩阵的秩为2，即，故该系统是状态能控的。nrankQC 2为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于 1011TTTTOCACQ 的秩为2，故此系统是能观测的。nrankQTO 2APBHPBH秩
28、判据秩判据 线性定常系统完全能观测的充要条件是，的所有特征值 均成立i),1(ni或等价地表为：nAsICrankCs也即 和 是右互质的(不存在右公因子)。)(AsI CnAICrankini,2,1(3.23)ACPBHPBH特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全能观测的充要条件是，没有与 的所有行相正交的非零右特征向量。也即对 的任一特征值 ，使同时满足：，(3.24)的特征向量 iA0C。0i),1(niAuxxxx101211:2121对系统分析2101xxy0112112AIjj21得特征根01211)(21iiiiiiAI01211)(1211jjAjIi01211)(222
29、1jjAjIi111211j112221j11011211jC11012221jC结论：系统是状态能观测的3.2.4 3.2.4 用传递函数矩阵表达的能观测性条件用传递函数矩阵表达的能观测性条件 例例3.63.6 证明下列系统是不能观测的。CxyBuAxx式中154,100,6116100010,321CBAxxxx 解解 由于能观测性矩阵111575664)(2TTTTTToCACACQ类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：输出初始状态传递函数矩阵 中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。10/AsICXsY注意到32)(,0
30、111575664nQrankTo故该系统是不能观测的。事实上，在该系统的 中存在相约因子。由于1 AsIC )3)(2)(1(1411851144 611666161166116154222231ssssssssssssAsIC显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态X(0)不能由Y(t)的量测值确定。注释注释:当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。3.2.5 3.2.5 状态能观测性条件的标准形判据状态能观测性条件的标准形判据 考虑由式（3.13）
31、和（3.14）所描述的线性定常系统，将其重写为:)26.3()25.3(CxyAxx设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，APP1式中，为对角线矩阵。定义式（3.25）和(3.26)可写为如下对角线标准形ndiag,21 Pzx CPzyzAPzPz 1因此)0()(zCPetyt 或)0()0()0()0(00)(212121nttttttzezezeCPzeeeCPtynn对于两两互异根情形，如果 mn 维矩阵 CP 的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。这是因为，如果 CP 的第 i 列含全为零的元素，则在输出方程中将不出现状态变量 ，因而不能由 Y 确定。对于含有相同
32、特征根的则还要满足相同特征根对应的CP 的所有列是列线性无关的。)0(iz 上述判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式（3.16）和(3.17)化为对角线标准形的情况。如果不能将式（3.16）和(3.17)变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵S，将其中的系统矩阵A 变换为Jordan标准形。JASS 1式中，J 为 Jordan 标准形矩阵。则式（3.16）和(3.17)可写为如下Jordan标准形JzASzSz1CSzy Szx 定义)0()(zCSetyJt因此系统能观测的充要条件为：（1）与相异特征值对应的矩阵CS 列中，没有一列包含的元素全为零。（2）与每个不含Jord
33、an 子块的Jordan 块的第一列相对应的矩阵CS 列中，没有一列元素全为零；（3）矩阵CS中与每个Jordan块的 Jordan子 块的第一列相对应的列线性无关；为了说明条件(2），在例3.7中，对应于每个Jordan 块的第一列的CS 列之元素用下划线表示。例例3.73.7 下列系统是能观测的：21212131,2001xxyxxxx32121321321004003,200120012xxxyyxxxxxx543212154321543210111000111,300132001200012xxxxxyyxxxxxxxxxx下列系统是不完全能观测的：212121 10,2001xxyx
34、xxx32121321321420310,200120012xxxyyxxxxxx54321210011000111,30013200120001254321xxxxxyyxxxxx3.3 3.3 对偶原理对偶原理 下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。1.对偶系统的定义：对偶系统的定义：考虑由下述状态空间表达式描述的系统1：11111CXYBUAXXnmrnnnmrnRCRBRARYRURX,111式中，。以及由下述状态空间表达式定义1的对偶系统2：22222XBYUCXAXTTTnrTmnTnnTrmn
35、RBRCRARYRURX,222式中，简单地说，对偶性系统有如下关系：TTTBCCBAA*,+U1(t)X1(t)Y1(t)(1tX B A Cdt+U2(t)X2(t)Y2(t)(2tX BT AT CTdt对偶系统结构图（b）对偶系统结构图（a）对偶系统图(a)、图(b)：输入端和输出端互换；信号传递方向相反；信号引出点和综合点互换；各矩阵转值。图(a)表示用U1（t）来控制Y1（t）；图(b)表示用输出量Y2（t）去求得输入量U2（t）；前者是控制问题，后者是估计问题。对偶原理揭示了最优控制和最优估计之间的内在联系。2.对偶系统的相互关系：对偶系统的相互关系：1)对偶系统传递函数矩阵互为
36、转置。对偶系统传递函数矩阵互为转置。对系统 1 有：G1（s）=C（SIA）-1 B对系统 2 有：G2（s）=BT（SIAT）-1 CT G2T（s）=BT（SIAT）-1 CT T=C（SIA）-1 B2)对偶系统的特征方程是相同的。对偶系统的特征方程是相同的。SIA=SIAT3 3.对偶原理：对偶原理：当且仅当系统 2 状态能观测（状态能控）时，系统 1 才是状态能控（状态能观测）的。为了验证这个原理，下面写出系统1和2的状态能控和能观测的充要条件。对于系统1：1.状态能控充要条件是nnr 维能控性矩阵 QC1 的秩为n。nQRankBAABBQCnC）（1112.状态能观测充要条件是n
37、nm 维能观测性矩阵 QO1 的秩为n。nQRankCACACQOTnTTTTO）（111)(对于系统2:1.状态能控的充要条件是nnm 维能控性矩阵 QC 的秩为n。nQRankCACACQCTnTTTTC）（212)(2.状态能观测的充要条件是nnr维能观测性矩阵 QO 的秩为n。nQRankBAABBQOnO）（212对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的状态能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检验和判断。同样，一个给定系统的状态能控性可用其对偶系统的状态能观测性来检验和判断。3.4 3.4 线性定常离散系统的能控性与能观测性线性定常离散系统的能控性与
38、能观测性1 1 线性定常离散系统的能控性线性定常离散系统的能控性设离散系统的状态方程为)()()()()()1(kDUkCXkYkHUkGXkX其中：X(k)为 n 维状态向量；U(k)为 m 维输入向量；G为 n*n 的系统矩阵；H 为 n*m的输入矩阵。定义定义8 如果存在输入信号序列U(k),U(k+1),U(-1),使得系统从第k步的状态X(k)开始，能在第步上达到零状态(平衡状态)。即X()0，其中为大于k的某一个有限正整数，那么就称此系统在第k步上是能控的，X(k)称为第k步上的能控状态。如果每一个第k步上的状态X(k)都是能控状态，那么就称系统在第k步上的状态是完全能控的。如果对
39、于每一个k，系统的状态X(k)都是完全能控的状态，那么就称系统是状态完全能控的。定理定理7 7：线性定常离散系统（G，H）为完全能控的充分必要条件为 (3.27)其中，n 为矩阵G 的维数。(3.28)称为离散系统的能控性判别阵。nHGGHHrankn11HGGHHMnC 证明证明:根据离散系统状态方程的解 101)()0()(kjjkkjHUGXGkX若系统是能控的，则在 k=n 时，由上式可以解出U(0),U(1),U(n-1),使得x(k)在第 n 个采样时刻为零，即x(n)=0。)0()(101XGjHUGkkjjk从而有：)0()1()1()0(21XGnHUHUGHUGnnn)0(
40、)1()1()0(21XGnUUUHGHHGHGnnn上式有解的充要条件是nHGHHGHGranknn21nHGHGGHHranknn12或例例3.8 设线性定常离散系统状态方程)(100001)(010201121)1(kUkXkX试判断系统的能控性。解解 因为能控性矩阵的秩2HGGHHrankrankMCnrank3210010112100531101所以，系统是状态完全可控的。注意：GHHrankrankMCnrank30010210011012 2 线性定常离散系统的能观测性线性定常离散系统的能观测性设离散系统的状态方程为)()()()()1(kCXkYkHUkGXkX其中：X(k)为
41、 n 维状态向量；U(k)为 m 维输入向量；G为 n*n 的系统矩阵；H 为 n*m的输入矩阵；Y(k)为 p 输出向量；C为 p*n 的输出矩阵。定义定义9 如果根据第 i 步及以后的观测值Y(i),Y(i+1),Y(),能唯一的确定出第 i 步的状态X(i)，则称此系统在第 i 步是能观测的，若系统在任何一步上都是能观测的，则称系统是完全能观测的。定理定理8 8：线性定常离散系统（G，C）为完全能观测的充分必要条件是 np*n 矩阵 (3.29)的秩为 n。其中，n 为矩阵G 的维数。1nOCGCGCMnCGCGCrankrankMTTnTTTO)(1即MO 称为离散系统的能观测性判别阵
42、。证明证明:对于线性定常离散系统，假设观测是从第0步开始，并认为 u(k)=0,此时系统表示 )()()()1(kCXkYkGXkX利用递推方法可得：)0()0(CXY)0()1()1(CGXCXY)0()1()1(1XCGnCXnYn)0()1()1()0(1XCGCGCnYYYn写成向量矩阵形式：由此可知，当知道Y(0),Y(1),Y(n-1)时,就能确定出X(0)。也就是说，X(0)有唯一解的充要条件是。的秩为nCGCGCMnO1nCGCGCrankrankMTTnTTTO)(1即例例3.9 设线性定常离散系统状态方程)(001100)()(112)(203120101)1(kXkYkukXkX试判断系统的能观测性。解解 因为能观测性矩阵的秩2CGCGCrankrankMo32302109101203001100nrank系统状态不是完全可观测的。
