1、 三元一次方程组的解法 课时1二元一次方程组人教版-数学-七年级-下册知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升知识回顾含有两个未知数，并且含有未知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是数的项的次数都是 1 的方程叫做的方程叫做二元一次方程二元一次方程.二元二元一次方程的一次方程的概念是什么？概念是什么？代入法和加减法代入法和加减法.实质是：消元实质是：消元.解二元一次方程组的基本方法有哪解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？几种？它们的实质是什么？学习目标1.了解三元一次方程组的概念了解三元一次方程组的概念.2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进能
2、解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会一步体会“消元消元”思想思想课堂导入前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.新知探究知识点1：三元一次方程组的概念小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4倍求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张.例题中有哪些未知量？例题中有哪些未知量？未知量有未知量有1 元、元、2 元和元和 5 元的纸币数量元的纸币数量.新知探
3、究1 元张数元张数+2 元张数元张数+5 元张数元张数=12(张张)所有纸币面值之和所有纸币面值之和=22(元元)1 元张数元张数=42 元张数元张数小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4倍求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张.例题中有哪些等量关系？例题中有哪些等量关系？新知探究122522,4xyzxyzxy，可设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张1 元张数+2 元张数+5 元张数=12(张)所有纸币面值之和=22(元)1 元张数=42 元张数如何用三元一次方程组表示上
4、面的三个等量关系？新知探究方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程只要保证方程组一共有三个未知数即可组一共有三个未知数即可.跟踪训练下列方程组中，是三元一次方程组的是()四个未知数四个未知数 不是整式方程不是整式方程次数为次数为2A本题源于教材帮新知探究知识点2：解三元一次方程组1225224xyzxyzxy，如何解这个三元一次方程组呢？解三元一次方程组的基
5、本思路：三元一次方程组消元消元二元一次方程组消元消元一元一次方程新知探究1225224.xyzxyzxy，41242522yyzyyz，解：将代入，得即5126522yzyz，解这个方程组，得22yz，新知探究1225224.xyzxyzxy，把 y=2 代入，得 x=8.因此，这个三元一次方程组的解为822xyz，答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张还有其他方法还有其他方法吗？吗？新知探究1225224.xyzxyzxy，解：5-，得 4x+3y=38.与组成方程组44338xyxy，解这个方程组，得82xy，即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.将求得的两个未知数的
6、值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程(1)当发送方发出一组密码为 2，3，5 时，则接收方收到的密码是多少？列：依据题中的等量关系列出方程组；因此，这个三元一次方程组的解为列：依据题中的等量关系列出方程组；2+，得 6a+3c=3，即 2a+c=1.宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有()5+，得 30a+6c=60，即 5a+c=10.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.人教版-数学-七年级-下册解三元一次方程组的基本思路：等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植
7、蔬菜的面积=51(公顷)；解：2+，得 5x+8y=7.可设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张会用三元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系，并用加减消元法解决实际问题可以消去其他未知数吗？对于这个方程组，消哪个元比较方便？方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.解：根据题意，得三元一次方程组新知探究1225224.xyzxyzxy，把 x=8，y=2 代入，得 8+2+z=12，解得 z=2.因此，这个三元一次方程组的解为822xyz，答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张
8、新知探究解三元一次方程组的一般步骤：(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；新知探究(5)写解：将求得的三个未知数的值用“”写在一起.解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加
9、减消元法将未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元三元”化为化为“二元二元”.(4)求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；新知探究3472395978xzxyzxyz，例1 解三元一次方程组 对于这个方程组，消哪个元比较方便？对于这个方程组，消哪个元比较方便？方程只含方程只含 x、z，因此，可以由，因此，可以由消去消去 y，得到的方程可与组成一个，得到的方程可与组成一个二元一次方程组二元一次方程组.新知探究解：3+，得 11x+10z=35.与组成方程组347111035xzxz，解这个方程组，得52xz，把 x=5，z=-2 代入，得 25+3y-2=9，所以13y.因此，
10、这个三元一次方程组的解为5132xyz，你还有其他解法吗？你还有其他解法吗？试一试，并与这种试一试，并与这种解法进行比较解法进行比较.1 元张数=42 元张数5+，得 30a+6c=60，即 5a+c=10.(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和是8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数.等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面
11、积=51(公顷)；方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.解：2+，得 5x+8y=7.解三元一次方程组的一般步骤：列三元一次方程组解决实际问题的方法三元一次方程组的解法 课时1解三元一次方程组的基本思路：1 元张数+2 元张数+5 元张数=12(张)可以消去其他未知数吗？解三元一次方程组的步骤：可设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张解：2+，得 5x+8y=7.解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值下列方程组中，是三元一次方程组的是()列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一次方程组
12、解决实际问题的方法类似，根据题意寻找等量关系是解题的关键.如何解这个三元一次方程组呢？跟踪训练解：2+，得 5x+8y=7.与组成方程组27587xyxy，解这个方程组，得31xy，把 x=3，y=-1 代入，得 3+3(-1)+2z=2，解得 z=1.因此，这个三元一次方程组的解为311xyz，本题源于教材帮随堂练习本题源于教材帮加减消元法加减消元法B随堂练习解析：3 个方程左右两边分别相加，得 3x+3y+3z=24，所以 x+y+z=8.A本题源于教材帮解：+，得 5x+y=7.与组成方程组5742xyxy，解这个方程组，得12xy，把 x=1，y=2 代入，得 1+2+z=6，解得 z
13、=3.因此，这个三元一次方程组的解为123xyz，+，得 4x-y=2.随堂练习本题源于教材帮课堂小结解三元一次方程组的步骤：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.消元解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值求解将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程回代解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值求解将求得的三个未知数的值用“”写在一起写解拓展提升解：由+，得 2x+2y+2z=8，即 x+y+z=4.因此，这个三元一次方程组的解为123xyz，-，得 z=
14、3.-，得 x=-1.-，得 y=2.本题源于教材帮拓展提升解：由，得 x:y:z=3:2:5.因此，这个三元一次方程组的解为6410 xyz，设 x=3k，y=2k，z=5k(k0)，所以 x=3k=6，y=2k=4，z=5k=10.代入，得 5k+3k+2k=20，解得 k=2.本题源于教材帮拓展提升3.为确保信息安全，在传输时往往需加密，当发送方发出一组密码 a，b，c 时，则接收方对应收到的密码为 A，B，C.双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如发出 1，2，3 时，则收到 0，4，5.(1)当发送方发出一组密码为 2，3，5 时，则接收方收到的密码是多少？本题源于教材帮
15、拓展提升3.为确保信息安全，在传输时往往需加密，当发送方发出一组密码 a，b，c 时，则接收方对应收到的密码为 A，B，C.双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如发出 1，2，3 时，则收到 0，4，5.(2)当接收方收到一组密码为 2，8，11 时，则发送方发出的密码是多少？本题源于教材帮课后作业请完成课本后习题第1、2题.二元一次方程组人教版-数学-七年级-下册知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升 三元一次方程组的解法 课时2知识回顾解三元一次方程组的步骤：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数
16、，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.消元解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值求解将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程回代解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值求解将求得的三个未知数的值用“”写在一起写解学习目标1.能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会进一步体会“消元消元”思想思想2.会用三元一次方程组表示简单实际问题中的数会用三元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系，并用加减消元法解决实际问题量关系，并用加减消元法解决实际问题课堂导入上节课我们学习了三元一次方程组，由此我们能够解决哪些实
17、际问题呢？本节课我们将学习较复杂的三元一次方程组以及三元一次方程组在实际生活中的简单应用.新知探究例2 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60，求 a，b，c 的值.042325560abcabcabc，知识点：三元一次方程组的应用分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.新知探究解：根据题意，得三元一次方程组-，得 a+b=1.-，得 4a+b=10.与组成二元一次方程组1410abab，042325560abcabcabc，新知探究解这个方程组，得32ab，因
18、此325abc ，即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.可以消去其可以消去其他未知数吗？他未知数吗？把 代入，得 c=-5.32ab，新知探究解：根据题意，得三元一次方程组-4，得 6b-3c=3，即 2b-c=1.-25，得 30b-24c=60，即5b-4c=10.与组成二元一次方程组215410bcbc，042325560abcabcabc，消去 a新知探究解这个方程组，得25bc ，因此325abc ，即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.把 代入，得 a=3.25bc ，新知探究解：根据题意，得三元一次方程组2+，得 6a+3c=3，即 2a+c=1.5+，得 30a+6
19、c=60，即 5a+c=10.与组成二元一次方程组21510acac，042325560abcabcabc，消去 b新知探究解这个方程组，得35ac，因此325abc ，即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.把 代入，得 b=-2.35ac，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想例题中有哪些等量关系？组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值把 x=5，z=-2 代入，得 25+3y-2=9，5+，得 30a+6c=6
20、0，即 5a+c=10.种植水稻投入的总资金+种植棉花投入的总资金+种植蔬菜投入的总资金=67(万元).能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想可设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想2+，得 6a+3c=3，即 2a+c=1.因此，这个三元一次方程组的解为因此，这个三元一次方程组的解为因此，这个三元一次方程组的解为解：(2)由(1)知 a=-1，b=2，c=3，2+，得 6a+3c=3，即 2a+c=1.依据等量关系列出方程组当 x=2 时，y=3；因此，这个三元一次方程组的解为新知探
21、究某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：已知该农场计划投入 67 万元，应该怎样安排三种农作物的种植面积，才能使所有的职工都有工作，而且投入的资金正好够用？农作物品种农作物品种每公顷需劳动力每公顷需劳动力每公顷需投入资金每公顷需投入资金水稻水稻4 人1 万元万元棉花棉花8 人1 万元万元蔬菜蔬菜5 人2 万元万元新知探究等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面积=51(公顷)；种植水稻的人数+种植棉花的人数+种植蔬菜的人数=300(人)；种植水稻投入的总资金+种植棉花投入的总资金+种植蔬菜投入
22、的总资金=67(万元).新知探究新知探究列三元一次方程组解决实际问题的方法列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找等量关系是解题的关键等量关系是解题的关键.列三元一次方程组解决实列三元一次方程组解决实际问题时，需设三个未知数并找出三个等量关系际问题时，需设三个未知数并找出三个等量关系.新知探究1.审：审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；之间的等量关系；2.设：设：恰当地设未知数；恰当地
23、设未知数；3.列：列：依据题中的等量关系列出方程组；依据题中的等量关系列出方程组；4.解：解：解方程组，求出未知数的值；解方程组，求出未知数的值；5.验：验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；6.答答：写出答：写出答.列三元一次方程组解应用题的一般步骤：跟踪训练在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=1 时，y=4；当 x=2 时，y=3；当 x=-1 时，y=0.(1)求 a，b，c 的值；本题源于教材帮(2)求当 x=-3 时，y 的值.解：(2)由(1)知 a=-1，b=2，c=3，所以 y=-x2+2x+3.所以当 x=-3
24、时，y=-(-3)2+2(-3)+3=-12.本题源于教材帮跟踪训练1.为迎接“艺术节”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三只飞镖，在同一圆环内得分相同.如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是 29 分、43 分和 33 分，则小华的成绩是()A.31分B.33分C.36分D.38分随堂练习xzy2y+z=292x+z=433y=33本题源于教材帮随堂练习本题源于教材帮随堂练习2.有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和是8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数.本题源于教材帮随堂
25、练习本题源于教材帮随堂练习3.某车间共有职工 63 人，加工一件产品需要三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工 300 件，在第二道工序里能加工 500 件，在第三道工序里能加工 600 件，为使每天能生产出最多的产品，应如何安排各工序的人数？本题源于教材帮随堂练习利用三元一次方程组解决实际问题的步骤：认真审题，明确等量关系审恰当地设未知数设依据等量关系列出方程组列检验是否符合题意和实际意义验写出答答课堂小结例题中有哪些等量关系？因此，这个三元一次方程组的解为已知-ax+y-zb5cx+z-y 与 a11by+z-xc 是同类项，则 x=_，y=_，z=_.将求得的两个未知数的值代入原方程
26、组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；解：由+，得 2x+2y+2z=8，即 x+y+z=4.解三元一次方程组的步骤：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程2+，得 6a+3c=3，即 2a+c=1.组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.解：(2)由(1)知 a=-1，b=2，c=3，
27、方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.(1)当发送方发出一组密码为 2，3，5 时，则接收方收到的密码是多少？审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如发出 1，2，3 时，则收到 0，4，5.代入，得 5k+3k+2k=20，解得 k=2.三元一次方程组的解法 课时1解三元一次方程组的基本思路：二元一次方程的概念是什么？拓展提升1.已知-ax+y-zb5cx+z-y 与 a11by+z-xc 是同类项，则 x=_，y=_，z=_.683相同字母
28、指数相同相同字母指数相同本题源于教材帮拓展提升2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由 15 朵红花、24 朵黄花和 25 朵紫花搭配而成，乙种盆景由 10 朵红花、12 朵黄花搭配而成，丙种盆景由 10 朵红花、18 朵黄花和 25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了 2900 朵红花，3750 朵紫花，则黄花一共用了多少朵？本题源于教材帮拓展提升本题源于教材帮拓展提升3.宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有()xzy2x+3y+4z=20 x+y+z=7本题源于教材帮拓展提升本题源于教材帮拓展提升本题源于教材帮课后作业请完成课本后习题第3题.
