1、 圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨翟在其所著翟在其所著墨经墨经一书中就曾明确指出：一书中就曾明确指出：“圜，一中同长也圜，一中同长也。”毕达哥拉斯曾经说毕达哥拉斯曾经说过：过：“一切立体图形中，最美的是一切立体图形中，最美的是球形球形；一切平面图形中最美的是一切平面图形中最美的是圆形圆形。”那么，那么，圆到底美在哪里？圆到底美在哪里？九年级数学九年级数学(下下)第三章圆第三章圆3.2 3.2 圆的对称性圆的对称性(1)(1)-垂径定理垂径定理 3.2 圆的对称性复习提问：复习提问：1 1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪、什么是轴对称图形？我们在直
2、线形中学过哪些轴对称图形？些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形正方形 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的?圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线,它它
3、有无数条对称轴有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.3.2 圆的对称性OACBNMD圆是轴对称图形圆是轴对称图形，经过经过圆心圆心的的每一条每一条直线直线都是它的对称轴。OACBNMD或或：任意一条任意一条直直径所在的直线径所在的直线都是都是圆的对称轴圆的对称轴。任意一条直径任意一条直径都是都是圆的对称轴（圆的对称轴（）看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都每一部分都 叫做半圆叫做半圆(如弧如弧AB
4、C).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AMBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCMD同心圆同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫圆心相同、半径不相等的两个圆叫做做同心圆。同心圆。弓形弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形.ABA
5、Br1r2O等圆、等弧等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做能够互相重合的弧叫做等弧等弧.rOrOAM=BM,垂径定理 AB是是 O的一条弦的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论垂径定理 如图如图,小亮的理由是小亮的
6、理由是:连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧
7、（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧垂径定理三种语言 定理定理:垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.杨老师提示杨老师提示:垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B在下
8、列图形中，找出能利用在下列图形中，找出能利用垂径定理垂径定理的图形的图形例例1、如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3厘厘米，求米，求 O的半径。的半径。E.ABO解：连结解：连结OA.过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米厘米例题精讲例题精讲方法总结：利用垂径定理解题，方法总结：利用垂径定理解题，需要利用三角形需要利用三角形AOE,如果有，如果有，直接用；如果没有，就需要
9、作直接用；如果没有，就需要作出相应三角形。请大家要牢记出相应三角形。请大家要牢记这一点！这一点！九年级数学九年级数学(下下)第三章圆第三章圆3.2 3.2 圆的对称性圆的对称性(2)(2)-垂径定理的推论垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.CDAB,垂径定理的逆定理（推论）垂径定理的逆定理（推论）AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On左图是轴对称图形吗左图是
10、轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小亮发现图中有小亮发现图中有:CDn由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MABOABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。垂径定理逆定理：垂径定理逆定理：平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的的直径垂直于弦，并且平分弦直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。CDn你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的
11、相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论命命 题题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平
12、分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.（1）：平分弦
13、（不是直径）的直径垂直于）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧条弧已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求，求证：证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBC（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直
14、径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD（ACBC）求证：）求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB.OAEBDC以上都是垂径定以上都是垂径定理的推论（理的推论（1）判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()（5）圆内两条非直径的弦不
15、能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）按图填空：在 O中，（1）若MNAB，MN为直径，则_，_，_；（2）若ACBC，MN为直径，AB不是直径，则则_，_，_；（3）若MNAB，ACBC，则_，_，_；（4）若 ACBC，MN为直径，则_，_，_练习练习2挑战自我挑战自我垂径定理的推论（垂径定理的推论（2）如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?老师提示老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径
16、定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知：已知：O中弦中弦ABCD.求证：求证：ACBD.MCDABON讲解讲解证明：作直径证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则则AMBM，CMDM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCM BM DMACBD 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等例例2 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则
17、AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO讲解讲解例例3 已知：已知：O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON讲解讲解小结小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO垂径定理垂
18、径定理三角形三角形在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意两中，已知其中任意两个量个量,可以求出其它两个量可以求出其它两个量.想一想想一想 P补补EOABDCd+h=rd+h=r222)2(adr已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若半径若半径R=2，AB=,求求OE、DE 的长的长.若半径若半径R=2，OE=1，求，求AB、DE 的长的长.由由、两题的启发，你还能编出什么其他问题？、两题的启发，你还能编出什么其他问题？32CDABE例：例：已知：弧已知：弧AB作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E
19、就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧AB的中点的中点挑战自我挑战自我画一画一画画CDABEFG变式一变式一：求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。mnCABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnOCDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGH你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平分及它们的垂直平分线线m mn n，交于，交于O O点；以点；以O O为圆
20、心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。作图依据：九年级数学九年级数学(下下)第三章圆第三章圆3.2 3.2 圆的对称性圆的对称性(3)(3)-垂径定理的应用垂径定理的应用垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧MOACBN垂径定理垂径定理
21、AM=MBAN=NBMOACBNAM=MBAN=NB垂径定理垂径定理推论推论1推论推论1.(1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。直于弦，并且平分弦所对的两条弧。MOACBN垂径定理垂径定理推论推论1AM=MBAN=NB(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧;MOACBN垂径定理垂径定理推论推论1AM=MBAN=NB(3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂垂直平分弦直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所
22、夹的弧相等。的弧相等。OABCDOABCDMM垂径定理垂径定理推论推论2 例例 1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点，点O是是 的圆心），其中的圆心），其中CD=600m，E为为 上一点，且上一点，且OECD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这求这段弯路的半径段弯路的半径.CDCDCD解：连接解：连接OC.设弯路的半径为设弯路的半径为Rm，则，则0F=（R-90）m.OECD，CF=1/2CD=1/2600=300（m）.根据勾股定理，得根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即即 R2=3002+（R-90）2解这个方程，得解这个方程，
23、得R=545.所以，这段弯路的半径为所以，这段弯路的半径为545m.RmF0CDE赵州石拱桥赵州石拱桥 例例2、1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的的桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱拱高高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的求桥拱的半径半径(精确到精确到0.1m).驶向胜利的彼岸n你是第一你是第一个告诉同个告诉同学们解题学们解题方法和结方法和结果的吗？果的吗？赵州石拱桥赵州石拱桥驶向胜利的彼岸解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱
24、，所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB,2.7,4.37CDABABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得解得（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2ODCBAM解：连接解：连接O
25、A在在 O中，直径中，直径CD弦弦AB AB=2AMOMA是直角三角形是直角三角形 CD=20 AO=CO=10 OM=OC CM=10 4=6在在Rt OMA中，中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：222AMOMAO86102222OMAOAM AB=2AM=2 x 8=16垂径定理垂径定理的应用的应用变式变式2、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为拱高为4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度AB的长。的长。ACBDO垂径定理垂径定理的应用的应用垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内
26、装入一些油后，截面如图所示面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最大深，求油的最大深度度.做一做做一做P补补驶向胜利的彼岸ED 600BAO垂径定理的逆应用垂径定理的逆应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最大深，求油的最大深度度.想一想想一想P补补驶向胜利的彼岸BAO600 650DC挑战自我挑战自我 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，
27、并用方程的思想来解决问题用方程的思想来解决问题.随堂练习随堂练习P补补驶向胜利的彼岸n3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：两个量，如图有：d+h=r222)2(adrhda2O学生练习学生练习1.已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDFM 2.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.AB
28、CD0EFGHMN课堂小结：课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。请说出本节所学习的主要内容。2.还有什么疑惑请提出来还有什么疑惑请提出来结束寄语形成天才的决定因素应该形成天才的决定因素应该是勤奋是勤奋.下课了!九年级数学九年级数学(下下)第三章圆第三章圆3.2 3.2 圆的对称性圆的对称性(4)(4)-弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角的关系圆的对称性及圆的对称性及特性特性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线心的直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.
29、n用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到:n一个圆绕着它的圆心旋转任意一一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度个角度,都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合.n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质:圆的圆的旋转不变性旋转不变性O请问圆是否是中心对称图形呢？请问圆是否是中心对称图形呢？想一想：想一想：什么叫圆心角？顶点在圆心的角叫做圆心角。在 O中有两个相等的圆心角，想一想这两个圆心角所对的两条弦是否相等？所对的两条弧是否相等？CDoAB如图：如图：AOB=CODCDoAB如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：
30、AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCD如图：如图：AOB=CODoABCDABCDo弦弦AB和弦和弦对应的弦心对应的弦心距什么关系？距什么关系？在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等。那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等。AOB=CODAB=CD AB=CD圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等，圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等，圆心角圆心角所对弦的弦心距
31、相等。所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中，如果如果两个圆心角两个圆心角、两条弧两条弧、两条弦两条弦或或两条弦的弦心距两条弦的弦心距中中的的一组量相等一组量相等，那么它们所对应，那么它们所对应的的其余各组量其余各组量都分别都分别相等相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中(前提前提)圆心角相等圆心角相等（条件）（条件）1.如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，OE、OF为为AB、CD的弦心距，的弦心距，如果如果ABCD，那么，那么 ，；如果如果OEOF，那么，那么 ，；如果弧如果弧AB弧弧CD，那，那么么 ，；如果如果AOBCOD，那，那么么 ，。2.下列说法正确吗？为什么？
32、下列说法正确吗？为什么？在在 O和和 O中，中，AOBAOBABAB 在在 O和和 O中，中，ABAB，弧弧AB弧弧AB注意前提：在同圆或等圆中OABECDF1 1、如图，在、如图，在O O中，弧中，弧ABAB弧弧ACAC，B B7070.求求C C 度数度数.(第 1 题)你会做吗？你会做吗？2 2、如图，、如图，ABAB是直径，是直径，BCBCCDCDDEDE，BOCBOC4040则则AOE=AOE=。（第 2 题）例例1.已知：如图，点已知：如图，点P在在 O上,点点O在在EPF的平分线上的平分线上，EPF的两边交的两边交 O于点于点A和和B。求证：求证：PA=PB.EFABPO例例2已
33、知：如图，点已知：如图，点O在在EPF的平分的平分线上线上，O和和 EPF的两边分别交于的两边分别交于点点A，B和和C，D。求证：求证：ABCDEFOPACBD例例3.已知：如图，已知：如图，O的弦的弦AB，CD相交于相交于点点P，DPO=BPO。求证：求证：ABCDOCDABP例例4.已知：如图，已知：如图，O的弦的弦AB，CD相相交于交于点点P，过P、O的直径为MN，APO=CPO。求证：求证：PBPDOCDABPNM例例5.已知：如图，已知：如图，AD=BC.求证：求证：ABCDOCBDAE例6.已知：在 O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。例例7.7.已知已知AB和和CD为为O的两条的两条直径，弦直径，弦EC/AB,弧弧EC的度数为的度数为40，求，求BOD的度数。的度数。OBADCEOCBDAP例8已知：如图，已知：如图，PBPD.求证：求证：AB=CD。OBACDFE例例9.已知：如图，已知：如图，O的两条半径的两条半径OAOB，C、D是弧是弧AB的三等分点的三等分点。求证：求证：CDAEBF。ABODCEF在同圆或等圆中在同圆或等圆中两个圆心角两个圆心角两条弧两条弧两条弦两条弦两条弦的弦两条弦的弦心距心距有一组量相等有一组量相等它们所对应的它们所对应的其余各组量都其余各组量都分别相等分别相等
