1、河南省新乡市河南省新乡市 20202020 届高三数学上学期调研考试试题届高三数学上学期调研考试试题 理（含解析）理（含解析） 第第卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题。每小题小题。每小题 5 5 分。共分。共 6060 分在每小题给出的四个选项中。只有一分在每小题给出的四个选项中。只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.设集合 2 |2|13AxxBx x ， ，则AB （ ） A. xx 3 B. x3 x 1 2 C. x3x 1 2 D. x3x 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出解出集合 A，B，利用交集的运算即可求出。 【详解】 1 ,33 2
2、 Ax xBxx ， 1 3 2 ABxx ，故选 B。 【点睛】本题主要考查交集的运算。 2.设 i 为虚数单位，则复数 2 2 i z i 的共轭复数z （ ） A. 34 55 i B. 34 55 i C. 34 55 i D. 34 55 i 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)，得出 34 i 55 z ，再利用共轭复数的定义即 可得出。 【详解】解： 2 2i(2i)34 i 2i(2i)(2i)55 z ， 34 55 zi 故选：A 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若 1 azbi， 2 zcdi， 12 a+cdab
3、 dzzbiic（）（）=（）+( + )i， 12 ac-+ad)z zbdbc i（）（，在进行 复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。 3.已知m0，则“m=3”是“椭圆 22 2 5 xy m =1 的焦距为 4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过讨论焦点的位置，得到关于 m 的方程，求出对应的 m 的值，根据充分必要条件的定义判 断即可 【详解】解：2c=4，c=2， 若焦点在 x 轴上，则 c 2=m2-5=4，又 m0，m=3， 若焦点在 y 轴上，则 c 2=5-m
4、2=4，m0，m=1， 故“m=3”是“椭圆 22 2 1 5 xy m 的焦距为 4”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题 4.记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 5 3a ， 13 91S，则 11 S（ ） A. 36 B. 72 C. 55 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列前 n 项和性质得 7 a，再根据等差数列性质求 11 S. 【详解】因为 113 137 13 1391 2 aa Sa ，所以 7 7a ， 因为 5 3a ，所以 57 10aa， 因为 11157 10aaaa， 所以 1
5、11 11 11 55 2 aa S .选 C. 【点睛】本题考查等差数列前 n 项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基 础题. 5.执行如图所示的程序框图，若输入的4n ，则输出的 j=（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值 【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i1，j1,j=2i-j=1,满足 i4， 第二次运行i2，j=2i-j3；满足 i4， 第三次运行i3，j=2i-j3；满足 i4， 第四次运行i4，j=2i-j5；不满足 i4， 程序运行终止，输出j5 故选：
6、C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题 的常用方法 6.设a 2 log 3，b 4 log 6，c lg2 10 ，则（ ） A. cab B. abc C. cba D. abc 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用对数的运算性质将, ,a b c化成以 2 为底的对数， 再利用对数的单调性即可得出, ,a b c的 大小。 【详解】 22242 2log 4,log 3log 42,log 6log62cab， 且 22 36,log 3log6cab ，故选 A。 【点睛】本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用。 7.某校学
7、生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽 查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表 1 至表 3，根据表中数据可知该校学生语 文、数学、英语这三门学科中（ ） A. 语文成绩与性别有关联性可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 B. 数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 C. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 D. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目所给的22列联表，计算 2 K 的观测值k，得出
8、统计结论。 【详解】因为 222 10014 34 16 3610010 3020 4010025 455 25 30 70 50 5030 70 50 5030 70 50 50 ，所以英语 成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小.故选 C。 【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想及其应用，意在考查学生的数据分析和处理能 力。 8.已知P（ 1 4 ，1） ，Q（ 5 4 ，1）分别是函数 cosf xx0, 2 的图象 上相邻的最高点和最低点，则 （ ） A. 5 4 B. 5 4 C. 3 4 D. 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由点 P,Q 两点
9、可以求出函数的周期，进而求出，再将点 P 或点 Q 的坐标代入，求得，即 求出 。 【详解】因为 512 2 44 ，所以 ，把 1 ,1 4 P 的坐标代入方程cosyx， 得 2 4 kkZ ，因为 2 ，所以 5 , 44 ，故选 B。 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。 9.已知数列 n a中， 1 2a ， 1 1 1 n n a a 3，若 n a1000，则n的最大取值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列的定义求出 1 31 n n a ，解不等式，即可求出。 【详解】 1 1 3 1 n n a a ，数
10、列1 n a 是公比3q ，首项为1的等比数列， 1 31 n n a ， 由1000 n a ，得7,nn的最大值为7.故选 D。 【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用。 10.已知 ( )f x为偶函数，对任意xR，( )(2)f xfx 恒成立，且当01x时， 2 ( )22f xx.设函数 3 ( )( )logg xf xx，则( )g x零点的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 由 f x为偶函数，对任意xR， 2f xfx恒成立，知 2f xfxfx， 所以函数的周期2T ,又 2f xfx知11fxfx，所以函数关于1x 对 称，当0
11、1x时， 2 22f xx做出其图象.并做关于1x 的对称图象，得到函数在一 个周期上的图象，其值域为0,2，令 3 log2x ，得 9x ，在同一直角坐标系内作函数 3 ,logyf xyx在0,9x上的图象，由图象可知共有 8 个交点，所以函数 g x的零 点的个数为 8 个. 点睛：涉及函数的周期性及对称性问题，一般要关注条件中的 1 ()(),(=( ),() ( ) f axf axf xTf xf xT f x ） 以及函数的奇偶性，通过变形处理 都可以转化为函数的对称性及周期性问题，结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像 交点个数问题. 11.设0m ，双曲线:M 2 4
12、x 2 y1与圆 2 2 :5N xym相切，A（5，0） ，B （5， 0） ，若圆N上存在一点P满足4PAPB，则点P到x轴的距离为（ ） A. 10 10 B. 5 5 C. 10 5 D. 5 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去x，可得y的一元二次方程， 由判别式为 0，求出m的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。 【详解】联立 2 2 1 4 x y与 2 2 1xym，消去x得 22 5210ymym 22 42010mm ，又 5 0, 2 mm 易知点,A B分别为双曲线M的左、右焦点，又4PAPB，故由双曲
13、线的定义可知P在 双曲线M上，且P为右切点，由韦达定理得 255 2, 5510 pp m yy 点P到x轴的距离为 5 10 ，故选 D。 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学 生的数学运算能力。 12.已知在ABC中，AB 6，AC 3，BC 7，若O为ABC的外心且满足 AOxAByAC，则6x y（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由余弦定理可得， 2 cos 6 BAC，再根据数量积的定义可求出AO AB， AC AB，然 后依据AOxAByAC，利用数量积运算性质计算AO AB ，即可求出。 【
14、详解】如图所示，取AB的中点D，连接OD，则由外心性质可知，OD垂直平分AB.设 OAD，从而cosAO ABAOAB 2 1 3 2 AD AOABAB AO 由余弦定理，知 222 6372 cos 26263 ABACBC BAC AB AC 则 2 cos361 6 AC ABACABBAC 因为AOxAByAC，所以 2 AO ABx AByAC AB，即63xy，故选 B。 【点睛】本题主要考查余弦定理、向量数量积的定义以及运算性质的应用。 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在答题卡中的横
15、线上分把答案填在答题卡中的横线上 13.（ 2 2x 1 xy ）6的展开式中不含x的项的系数为_ （用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】 依据二项展开式的通项公式知， 26 16 1 (2)() rrr r TCx xy ， 若展开式中不含x， 则2 ( 6)rr， 即4r ，再代入即可求得。 【详解】因为 26 16 1 (2)() rrr r TCx xy ，若展开式中不含x，则2(6) rr，即4r ，所以 6 2 1 2x xy 的展开式中不含x的项为 4 2 42 6 4 160 2Cx xyy 。项系数为 60 【点睛】本题主要考查二项式定理应用。 14.某电视台夏日水
16、上闯关节目中的前三关的过关率分别为0807 06 ， ， ，只有通过前一关才能 进入下一关，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 _ 【答案】0.224 【解析】 【分析】 依据题意可知，该选手过了前两关，没过第三关，利用相互独立事件概率乘法公式即可求出。 【详解】该选手只闯过前两关的概率为0.8 0.71 0.60.224 【点睛】本题主要考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率。 15.设正三棱锥PABC的高为H， 且此棱锥的内切球的半径R 1 7 H， 则 2 2 H PA _ 【答案】 35 39 【解析】 【分析】 取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射
17、影为O，连接,CD PD。设出底面边长ABa=和 斜高PDma， 计算出正三棱锥的表面积和体积， 利用等积法计算出此棱锥的内切球的半径， 由此得到m的值，故可求出H和PA，以及 2 2 H PA 的值。 【详解】取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接,CD PD（图略） ，设 ,ABa则 313 236 ODaa，设PDma，则正三棱锥PABC的表面积为 22 1363 3 244 m Samaaa ，又正三棱锥PABC的体积 2 13 34 VaH，则 2 2 3 31 4 763 4 a H V RH Sm a 22 35 3, 12 mHPDODa，又 2 2 1335 ,
18、 239 H PAa PA 【点睛】本题主要通过正三棱锥结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。 16.若曲线 32 yxax 存在平行于直线31yx 的切线，则a的取值范围为_ 【答案】, 33, 【解析】 【分析】 首先根据题意， 知切点位置不确定， 故需根据切点位置进行讨论。 当切点不在直线31yx 上时，利用导数的几何意义，设出切点，求得切线斜率，建立等式， 由判别式大于等于零， 求得a的取值范围；当切点在直线31yx 上时，由切点既在直线上又在曲线上，列出方 程可以求出切点坐标，再检验是否符合题意，综上即可求出a的取值范围。 【详解】 （1）设平行于直线31yx 的切线的切点为
19、 32 ,m mam， 222 32,323,4360yxaxmama ，解得, 33,a ； （2）若切点 32 ,m mam在直线31yx 上，则 32 31mamm ，又 2 323mam ，从而 2 3 32120mmmm，解得1m或2m. 当1m时，3a ，此时方程 2 3630mm有两个相等的实根，曲线 32 yxax不存在 平行于直线31yx 的切线； 当2m时， 15 4 a ， 此时方程 2 2520mm有两个不等的实根， 曲线 32 yxax仅 存在一条平行于直线31yx 的切线. 综上，a的取值范围为, 33, 。 【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解和切线方程有关
20、的问题以及分类讨论思想的 应用。 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17172121 题为必考题。题为必考题。 每道试题考生都必须作答第每道试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题。考生根据要求作答题为选考题。考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17.在ABC中，3sin 2sin ,tan35ABC . （1）求cos2C； （2）若1ACBC，求ABC的周长. 【答案】 （1） 17 18 ； （2）5 11 . 【解析】 【分析】 （1）先求 1 cos
21、C 6 ，由二倍角公式即可求cos2C；（2）由题得3a2b，解得 a,b 值，再由 余弦定理求 c 边即可求解. 【详解】 （1）tanC35， 1 cosC 6 ， 2 117 cos2C21 618 . （2）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 3sinA2sinB，3a2b， ACBCba1，a2，b3. 由余弦定理可得 222 cab2abcosC13211， 则c 11 ，ABC的周长为5 11 . 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算 c 边是关键，是基础题. 18.已知点6, 2 6P是抛物线 2 :C ymx上一点，直线
22、20yk xk与抛物线C 交于,A B两点 （1）求P到抛物线C焦点的距离； （2）若M的坐标为0,1，且MAMB，求k的值 【答案】 （1）7； （2） 4 3 k . 【解析】 【分析】 （1）根据点在抛物线上，求解出m，得到抛物线方程，再利用抛物线定义即可求出； （2）利用直线与抛物线的位置关系，联立方程，消去x得到y的一元二次方程，由韦达定理 求出 1212 4 ,8yyy y k ，再结合向量垂直的坐标表示列出方程，即可求解。 【详解】 1将6, 2 6P的坐标代入 2 ymx，得246m，则4m， 则抛物线C的焦点为1,0，P到抛物线C焦点的距离6 17d 2设 1122 ,A x
23、 yB x y， 联立 2 2 4 yk x yx ，得 2 4 80yy k 则 1212 4 ,8yyy y k ， 22 12 12 4 16 y y x x 1212 ,11MAMBMA MBx xyy 121212 4 130x xy yyy k 解得 4 3 k 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质，向量垂直的坐标表示以及直线与抛物线的位 置关系应用。 19.某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出 现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修每台机器出现故障的概率为 1 2 已知 1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故
24、障或出现故障时有工人维修，就能 使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的 工资 （1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若 该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人 （）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望； （）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 【答案】 （1） 1 2 ； （2） （） 1395 32 ； （）不应该. 【解析】 【分析】 （1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过2台的概率即可； （2） （i
25、）求出X的可能取值及其对应的概率，得出X的分布列和数学期望； （）求出有5名维修工人时的工厂利润，得出结论 【详解】解： （1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机 器出现故障 该工厂正常运行的概率为： 514223 55 111111 ( )C( )C( )( ) 222222 （2） （i）X的可能取值有31，44， 5 11 (31)( ) 232 P X ， 131 (44)1 3232 P X X的分布列为： X 31 44 P 1 32 31 32 1311395 3144 323232 EX （）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行， 工厂
26、所获利润为5 101.5542.5万元， 因为 1395 42.5 32 ， 该厂不应该再招聘1名维修工人 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算， 属于中档题 20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60ABC，PBPC，E为 线段BC的中点，F为线段PA上的一点. （1）证明：平面PAE 平面BCP. （2）若 2 2 PAABPB ，二面角ABDF的余弦值为 3 5 ，求PD与平面BDF所成角 的正弦值. 【答案】 （1）见解析； （2） 2 10 【解析】 【分析】 （1）由PEBCBCAE，得BC 平面 PAE，进而可得证； （2
27、）先证得PA 平面ABCD，设ACBDO，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正 方向，建立空间直角坐标系Oxyz，分别计算平面BDF的法向量为n和PD，设PD与平 面BDF所成角为，则sin n PD n PD ，代入计算即可得解. 【详解】 （1）证明：连接AC，因为PBPC，E为线段BC的中点， 所以PEBC. 又ABBC，60ABC，所以ABC为等边三角形，BCAE. 因为AEPEE，所以BC 平面PAE， 又BC 平面BCP，所以平面PAE 平面BCP. （2）解：设ABPAa，则 2PBaPC ，因为 222 PAABPB ，所以PAAB， 同理可证PAAC，所以PA 平面ABCD.
28、如图，设ACBDO，以O为坐标原点，OB方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz. 易知FOA为二面角ABDF的平面角，所以 3 cos 5 FOA，从而 4 tan 3 FOA. 由 4 3 2 AF a ，得 2 3 AFa. 又由 2 0, 23 aa F ， 3 ,0,0 2 Ba ，知 32 , 223 aaa BF ， 2 0, 23 aa OF . 设平面BDF的法向量为, ,nx y z， 由n BF ，n OF ，得 32 0 223 2 0 23 aaa xyz aa yz ，不妨设3z ，得0,4,3n . 又0, 2 a Pa ， 3 ,0,0 2 Da ，所以
29、3 , 22 a a PDa . 设PD与平面BDF所成角为，则 222 232 sin 1031 5 44 n PD aa n PD aaa . 所以PD与平面BDF所成角的正弦值为 2 10 . 【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的 空间直角坐标系； 第二， 破“求坐标关”， 准确求解相关点的坐标； 第三， 破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 21.已知函数 2 1 ln 1, ( ) 2 f xmxg xxmx （1）当1m时，求函数 F xf xx的最大值； （2）当01m时，判断函数 G xf xg x的零点个数
30、 【答案】 （1）0； （2）2. 【解析】 【分析】 （1）利用导数，求得函数的单调性，进而求得最值； （2）先通过导数研究函数的单调性，求 出极值，再根据零点存在性定理，即可求出零点个数。 【详解】 1 11 11 x Fx xx 当0,x时， 0Fx 当1,0x 时， 0Fx 所以 max 00F xF 2根据题意 1 1 , 1 mx xm m Gxx mxm 令 0G x ，解得 1 0x ，或 2 1 xm m 因为01m，所以 1 0m m ，且 11 m mm 所以当 11 ,0,xm mm 时， 0Gx 当 1 ,0xm m 时， 0Gx 所以 G x在 11 , 0,m m
31、m 上单调递增，在 1 ,0m m 上单调递减 因为 00G，所以 G x在 1 ,m m 上有且只有1个零点 又 G x在 1 ,0m m 上单调递减，所以 1 00G mG m 当 11 ,xm mm 时， 1 x m ，ln(1)mx，所以( )G x ， 又函数 G x在 11 ,m mm 上单调递增 所以 00 11 ,0xmG x mm 故当01m时，函数 G xf xg x有2个零点 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，同时考查函数的零点个 数判断方法，意在考查学生分类讨论思想意识和数学运算能力。 （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分请考生在第分
32、请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） ，直线l的参数方程 为 5 2 5 2 5 2 5 xt yt ， （t为参数） （1）求C与l的直角坐标方程； （2）过曲线C上任意一点P作与l垂直的直线，交l于点A，求PA的最大值 【答案】 （1） 曲线C的直角坐标方程为 22 1 49 xy ， 直线l的直角坐标方程为2 60xy； （2）11 5 5 . 【解析】 【分析】 （1）运用同角三角函数的平方关系，消去，即得C的
33、直角坐标方程，利用加减法消元，可 求得l的直角坐标方程； （2）设出曲线C上任意一点2cos3sinP, ,，运用点到直线的距 离公式和辅助角公式，以及正弦函数的值域，即可求出。 【详解】 1曲线C的直角坐标方程为 22 1 49 xy ，直线l的直角坐标方程为2 60xy 2设曲线C上任意一点2cos3sinP, , 点P到l的距离为 5 4cos3sin6 5 d 则 5 5sin6 5 PAd 其中为锐角，且 4 tan 3 当sin1 时，PA取得最大值，最大值为11 5 5 【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式和辅助角公式， 以及正弦函数的值域的应用。
34、 23.已知 12f xxx （1）已知关于x的不等式 f xa有实数解，求a的取值范围； （2）求不等式 2 2f xxx的解集 【答案】 （1）3a ； （2）1,23 . 【解析】 【分析】 （1）依据能成立问题知， minf xa，然后利用绝对值三角不等式求出 ( )f x的最小值，即 求得a的取值范围； （2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。 【详解】 1因为不等式 f xa有实数解，所以 minf xa 因为 12123f xxxxx，所以 min3f x 故3a 。 21,2 23, 12 21,1 xx f xx xx 当2x 时， 2 212xxx ，所以2323x，故223x 当12x 时， 2 32xx ，所以13x ，故12x 当1x时， 2 212xxx ，所以11x ，故1x 综上，原不等式的解集为1,23 。 【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意 在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。
