1、化工系统工程第三章 数学模型求解方法授课教师：杜可杰授课教师：杜可杰化学化工学院化学化工学院 3.4 3.4 非线性代数方程组迭代解法非线性代数方程组迭代解法*（不要求，成熟软件不要求，成熟软件）)(1kkXX3.4.13.4.1 直接迭代法（直接迭代法（direct substitution,direct iterationdirect substitution,direct iteration）)(1kkkkXXXX3.4.23.4.2 部分迭代法部分迭代法(partial substitution)(partial substitution)(1kkkkXXXX3.4.33.4.3 牛顿
2、（牛顿（NewtonNewton）算法）算法 )()(11kkkkkkXFXJXXXXF(x)=0道理相似，理论相通，计算复杂！kkXXnnnnnnXXkxfxfxfxfxfxfxfxfxfXFXJ212221212111)()()(kkkXFXXJ),1,0()()(1kXFXXJXXXkkkkkk牛顿法也可写成牛顿法也可写成改进：改进：Broyden法；修正的牛顿法等等法；修正的牛顿法等等 p77-78)()(11kkkkkkXFXJXXXXQuasi-Newton Methods避免了牛顿避免了牛顿每轮迭代需要求导数每轮迭代需要求导数和求逆的复杂运算和求逆的复杂运算3.5 3.5 迭代加
3、速技术迭代加速技术*(p78,(p78,不要求不要求)3.5.1 DEM3.5.1 DEM（Dominant Eigenvalue MethodDominant Eigenvalue Method）加速法加速法 )(1111kkkkDEMkXXXX)()(1kkkXFXF11)()(kkkkkXXXX3.5.2 3.5.2 王德人加速法王德人加速法(略略,p79),p79)思想与策略思想与策略:步长和方向的步长和方向的选择选择-考虑相邻两次迭代考虑相邻两次迭代的误差向量的任意一种范的误差向量的任意一种范数比数比;只利用变量及相邻两只利用变量及相邻两次误差计算范数信息次误差计算范数信息.OR适用
4、范围适用范围:单调收敛单调收敛的过程的过程其他：多维其他：多维wegstein法本质上法本质上F(x)=0代表了迭代收敛与代表了迭代收敛与改进的定量信息！改进的定量信息！3.6 3.6 方程组求解的切割技术方程组求解的切割技术简介简介 ，背景背景 化工流程模拟是一项非常复杂的任务，往往涉及到化工流程模拟是一项非常复杂的任务，往往涉及到成千上成千上万个非线性方程万个非线性方程，而且这些方程涉及的，而且这些方程涉及的函数定义域狭窄、间断函数定义域狭窄、间断点多、连续性和可微性很差，各变量之间交互作用很强点多、连续性和可微性很差，各变量之间交互作用很强，因此，因此如简单地套用现成的算法往往导致求解效
5、率低下，甚至根本无如简单地套用现成的算法往往导致求解效率低下，甚至根本无法求解。法求解。在化工流程模拟实践中，总是需要先对数学模型进行一定在化工流程模拟实践中，总是需要先对数学模型进行一定的处理，将复杂问题分解为一系列较简单的问题，然后再根据的处理，将复杂问题分解为一系列较简单的问题，然后再根据具体情况，调用适当的算法进行求解。切割技术就是其中最重具体情况，调用适当的算法进行求解。切割技术就是其中最重要的一种。要的一种。(基于化工系统工程那部分内容基于化工系统工程那部分内容?)?)案例案例1 1，0),(0),(0),(0),(4214432134322321xxxfxxxxfxxxfxxf0
6、3*3xx03x02x04x01x*3x03*3xx13xf1f3f2f4x2x4x1x3X3*信息流图信息流图 案例案例2 2 ，0),(0),(0),(0),(43214432134321243211xxxxfxxxxfxxxxfxxxxff1，f2，f3为关于为关于x x2 2，x x3 3，x x4 4的线性方程组，迭代策略？的线性方程组，迭代策略？f1f2f3f4X1*信息流图信息流图01x03x02x04xRemarksRemarks：关于方程组切割技术关于方程组切割技术 (p80(p80，p82)p82)，1 1.选取部分变量作为选取部分变量作为“切割变量切割变量”,则整个迭代过
7、程从大局看则整个迭代过程从大局看变为仅对切割变量的迭代过程，使待求解问题的维数降低。变为仅对切割变量的迭代过程，使待求解问题的维数降低。2 2.运用切割法可将难解的多个变量联立求解的问题分解转化为运用切割法可将难解的多个变量联立求解的问题分解转化为一系列易解的较少变量联立求解的问题。一系列易解的较少变量联立求解的问题。3 3.切割法的作用是将原迭代问题切割法的作用是将原迭代问题转化转化为另一类迭代问题，其为另一类迭代问题，其本本身并非迭代求根算法身并非迭代求根算法。因此，使用了切割法后，仍需使用方程。因此，使用了切割法后，仍需使用方程(组组)迭代求根算法。迭代求根算法。(简化简化)4 4.若将
8、切割变量计算值直接用于下一轮对切割变量的迭代，则若将切割变量计算值直接用于下一轮对切割变量的迭代，则实际上对切割变量是在使用直接迭代法。实际上对切割变量是在使用直接迭代法。，5.5.使用切割技术，将使用切割技术，将n n个未知数的联立求解问题转化为对少个未知数的联立求解问题转化为对少数数m m个切割变量的求解问题，将复杂的问题分解为一系列简个切割变量的求解问题，将复杂的问题分解为一系列简单的问题。单的问题。关键关键在于：适当或巧妙地选取切割变量与中间变在于：适当或巧妙地选取切割变量与中间变量，并将原方程组适当地分解为中间变量方程组和切割变量量，并将原方程组适当地分解为中间变量方程组和切割变量方
9、程组；所选切割变量（组）最宜是那些物理意义明确、易方程组；所选切割变量（组）最宜是那些物理意义明确、易给初值并密切相关的一组变量。给初值并密切相关的一组变量。（关于切割技术将在第四章结合化工过程模拟系统（序贯模块法）进（关于切割技术将在第四章结合化工过程模拟系统（序贯模块法）进行介绍。行介绍。方程组切割技术方程组切割技术，对切割技术运用得当，可从以下许多方面改善计算效率。对切割技术运用得当，可从以下许多方面改善计算效率。容易选取初始值，扩大收敛域。往往选取了切割变量的初值后，中间变容易选取初始值，扩大收敛域。往往选取了切割变量的初值后，中间变量的初值就变得非常容易选取，甚或可直接计算出来。量的
10、初值就变得非常容易选取，甚或可直接计算出来。提高数值稳定性。如中间变量方程组的形式适当，比如是线性方程组，提高数值稳定性。如中间变量方程组的形式适当，比如是线性方程组，就极为利于求解，不易发生误差传递和放大的现象。就极为利于求解，不易发生误差传递和放大的现象。减少内存占用。由于切割后回避了大规模方程组的联立求解，故通常许减少内存占用。由于切割后回避了大规模方程组的联立求解，故通常许多大型矩阵和向量的工作单元都省去了。多大型矩阵和向量的工作单元都省去了。最易被忽视而最重要的是，提高求解过程的适定性。化工过程数学模型最易被忽视而最重要的是，提高求解过程的适定性。化工过程数学模型的定义域往往非常狭窄
11、、苛刻，各变量之间取值关系受到物理规律的严格的定义域往往非常狭窄、苛刻，各变量之间取值关系受到物理规律的严格约束。所有变量同时迭代极其容易使得迭代中间结果远超出定义域，违背约束。所有变量同时迭代极其容易使得迭代中间结果远超出定义域，违背物理规律，因而导致迭代混乱。正确选取切割变量后就能保证后续的计算物理规律，因而导致迭代混乱。正确选取切割变量后就能保证后续的计算在数学模型的定义域内进行，迭代中间结果也能保持物理意义，避免迭代在数学模型的定义域内进行，迭代中间结果也能保持物理意义，避免迭代失败。失败。方程组切割技术方程组切割技术，提高了算法的收敛性。经过切割后，复杂问题被分解为若干基本简单问提高
12、了算法的收敛性。经过切割后，复杂问题被分解为若干基本简单问题，有利于选取收敛性好的迭代算法，加快计算速度。并且，使用收敛性题，有利于选取收敛性好的迭代算法，加快计算速度。并且，使用收敛性高的算法，比较容易设置安全而合理的收敛判据和容差。高的算法，比较容易设置安全而合理的收敛判据和容差。使用切割技术后，整体上或从外层看是仅对切割变量进行迭代，减少了使用切割技术后，整体上或从外层看是仅对切割变量进行迭代，减少了问题的维数，但在求解中间变量方程组时也常常需要迭代。故此时形成外问题的维数，但在求解中间变量方程组时也常常需要迭代。故此时形成外层迭代中嵌套着内层迭代的情况，似乎比较复杂。其实不然。切割法一
13、般层迭代中嵌套着内层迭代的情况，似乎比较复杂。其实不然。切割法一般都是针对具有明确物理意义的大型复杂问题，巧妙分解原方程组，使得内都是针对具有明确物理意义的大型复杂问题，巧妙分解原方程组，使得内层迭代适定性好、求解极其顺利，因而效率很高。如此时采用经典的联立层迭代适定性好、求解极其顺利，因而效率很高。如此时采用经典的联立求解，是难于解决上面论述的稳定性、收敛域、适定性、收敛速度等几方求解，是难于解决上面论述的稳定性、收敛域、适定性、收敛速度等几方面问题的。面问题的。切割技术是适用于大规模复杂问题的求解技术，绝不是用来求解一般问切割技术是适用于大规模复杂问题的求解技术，绝不是用来求解一般问题甚或
14、习题的。许多方法都有类似的特点，适用于复杂问题的解法与适用题甚或习题的。许多方法都有类似的特点，适用于复杂问题的解法与适用于简单问题的解法是截然不同的。假如对极其简单的问题也采用切割技术，于简单问题的解法是截然不同的。假如对极其简单的问题也采用切割技术，反而是生搬硬套，事倍功半。反而是生搬硬套，事倍功半。方程组切割技术方程组切割技术，巧妙运用切割技术的关键在于适当选取切割变量（组）和对应的切割巧妙运用切割技术的关键在于适当选取切割变量（组）和对应的切割变量方程（组）。当方程组不太复杂时，变量数和方程数都较少，往往容变量方程（组）。当方程组不太复杂时，变量数和方程数都较少，往往容易直接观察出较佳
15、的切割方案。但对于维数稍多的问题，由于易直接观察出较佳的切割方案。但对于维数稍多的问题，由于“组合爆炸组合爆炸”的缘故，基本上无法直接观察出合理的切割变量及其对应的方程。即使不的缘故，基本上无法直接观察出合理的切割变量及其对应的方程。即使不考虑问题的物理意义，仅从纯数学的角度，实际上是能够给出选择切割变考虑问题的物理意义，仅从纯数学的角度，实际上是能够给出选择切割变量及其对应方程的算法的，只不过对此类问题，数学上的合理解往往不是量及其对应方程的算法的，只不过对此类问题，数学上的合理解往往不是唯一的，也难于从数学角度判定何种方案是最佳的。唯一的，也难于从数学角度判定何种方案是最佳的。方程组分解就
16、是将大型复杂方程组转化为若干简单方程组求解的方法。方程组分解就是将大型复杂方程组转化为若干简单方程组求解的方法。方程组分解的内容大致包括方程组分解的内容大致包括“分块分块”和和“切割切割”两部分，目的就是解决切两部分，目的就是解决切割变量选择及对应的方程选择问题。通俗地讲就是要解决由哪些子方程组割变量选择及对应的方程选择问题。通俗地讲就是要解决由哪些子方程组去求解哪些未知数以及求解的可行次序。去求解哪些未知数以及求解的可行次序。3.7 3.7 双层法双层法(不要求，闪蒸，精馏不要求，闪蒸，精馏）严格模型严格模型 简化模型简化模型 VZRTdVTPTPHHV)1()(03.8 常微分方程组初值问
17、题与动态模拟（简介）常微分方程组初值问题与动态模拟（简介）引入(概念)欧拉法 龙格库塔法 案例案例1:1:连续流动加热水槽动态模拟连续流动加热水槽动态模拟 符号说明：符号说明：F,T 流量流量(kg/hr)与温度与温度(K)，T0 环境温度环境温度(K)，C,物性，物性，比热比热(kJ/kg.K)与密度与密度(kg/m3)，K,A 传热系数传热系数(kJ/h K m3)与传热面积与传热面积(底面底面积积)(m2)，L,V 液位液位(m)与持液体积与持液体积(m3)，t 时间时间(h)建模简化建模简化假设：假设：K，C，为常数，理想搅拌（集中参数体系），为常数，理想搅拌（集中参数体系），流体不可
18、压缩，忽略设备热容与传递滞后，焓衡算用显热衡算代流体不可压缩，忽略设备热容与传递滞后，焓衡算用显热衡算代替。替。-液位与温度随时间的动态变化关系液位与温度随时间的动态变化关系3.8.1引入引入(定义定义)（p92）连续流动加热水槽动态模型连续流动加热水槽动态模型 首先考虑首先考虑质量衡算质量衡算：，即，即 (1)热量衡算热量衡算(显热衡算显热衡算)：即即:(2)利用利用(2-12)，代入上式，消去，代入上式，消去 ,整理得：整理得：(3)式式(1)与式与式(3即构成了所需的数学模型（机理模型）。此即构成了所需的数学模型（机理模型）。此模型描模型描述了液位与温度随时间的动态变化关系述了液位与温度
19、随时间的动态变化关系。如给定适当初始条件，。如给定适当初始条件，即可算出液位与温度随时间的变化曲线即可算出液位与温度随时间的变化曲线(初值问题初值问题)。dtFFAdLdV)(1FFdtdLA1dtTTKAdtFCTdtCTFLTdACALCTdVCTd)()()()(011)()(011TTKAFCTCTFdtdLTdtdTLACdtdL)()(011TTKATTCFdtdTACL列列出出数数学学表表达达式式数学推演案例案例2:2:物料冷却的数学模型物料冷却的数学模型 它是含有自变量t时间)、位置函数T（随时间变化的物料温度）、To（环境温度）、k(降温速率）以及温度的一阶导数 ，是一个常微
20、分方程。)(ToTkdtdTdtdT3.8.1定义（p92）o 一阶常微分方程：（aX b）(X为纯量为纯量;y为纯量或向量为纯量或向量)数值解法就是寻求方程数值解法就是寻求方程(1)、（、（2）的近似解）的近似解,即求区间（即求区间（a，b）上各个分点序列上各个分点序列Xn，n=1，2，m的数值解的数值解yn)2()(1),(00yxyyxfy）（化工计算中，只有一些特殊形式的化工计算中，只有一些特殊形式的F(x,y)才能计算它们的解析解。才能计算它们的解析解。大多数情况下只能计算数值解。如大多数情况下只能计算数值解。如果果x为时间，则表示动态过程。其为时间，则表示动态过程。其求解过程即动态
21、模拟求解过程即动态模拟。数学上成为数学上成为”初值初值”问题问题 3.8.2欧拉法欧拉法（Euler）),(1iiiiyxhfyy)2(),(),(2)1(),(1111iiiiiiiiiiyxfyxfhyyyxhfyy欧拉欧拉:18世纪科世纪科学界的代表人物学界的代表人物，是那个时代的，是那个时代的巨人。他是历来巨人。他是历来最有才华、最博最有才华、最博学的人物之一，学的人物之一，也是历史上最多也是历史上最多产的一位数学家产的一位数学家x0 x1 x2 y(x)y2y1y0斜率斜率向前欧拉法向前欧拉法改进欧拉法（预测校正法精度较高）改进欧拉法（预测校正法精度较高）yx基本思想基本思想：在求解
22、区间上作等：在求解区间上作等距分割，步长为距分割，步长为h，用差商代替，用差商代替导数计算常微分方程。导数计算常微分方程。作作f(x)在在xi处的处的1阶向前差商：阶向前差商：dy/dxy(x(i+1)）-y(xi)/hdy/dx=f(x,y)f(xi,yi）向后欧拉法向后欧拉法y(i+1)=y(i)+hf（x(i+1),y(i+1)（p96）预报值预报值y=f(x,y)向前欧拉公式向前欧拉公式 应用实例应用实例o 例例1：假定某物体的温度w因自热而产生的热量可以使物体在每秒钟内以4%的速度增长，同时该物体由于散热可使其温度在每秒种内下降100k，则物体温度随时间变化的微分方程：（t以秒为单位
23、)分别以初始温x(0)=1500k，y(0)=2500k，z(0)=3500k用欧拉公式预测24秒后的物体温度趋势。10004.0wdtdw向前欧拉公式向前欧拉公式 应用实例应用实例o 解：w0分别以x0=1500，y0=2500，z0=3500代入。计算结果见如表所示。1,10004.1)10004.0(1hwwhwwnnnnn xn yn zn n xn yn zn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1460 1418.4 1375.14 1330.14 1283.35 1234.68 1184.07 1131.43 1076.69 1019.76 960.546 89
24、8.968 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 3540 3581.6 3624.86 3669.86 3716.65 3765.32 3815.93 3868.57 3923.31 3980.24 4039.45 4101.03 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 834.926 768.324 699.056 627.019 552.1 474.183 393.151 308.877 221.232 130.081 35.2845-63.3042 2500 2500 25
25、00 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 4165.07 4231.68 4300.94 4372.98 4447.9 4525.82 4606.85 4691.12 4778.77 4869.92 4964.72 5063.3 05101520250500100015002000250030003500400045005000wt图4-3 三种初始值的温度变化曲线 表4-1),(1iiiiyxhfyyNote：表与图的使用：表与图的使用4.2.1 向前欧拉公式向前欧拉公式 实例实例o 当自热引起物体温度升高的速度小于散热引起温度下降的速度
26、，物体的温度随时间而逐渐降低；当自热引起物体温度升高的速度与散热引起温度下降的速度平衡时，物体的温度保持不变；当自热引起物体温度升高的速度大于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而升高。在图中L1，L2，L3分别表示初始值3500k，2500k和1500k的三条温度变化趋势曲线。Remarks方方 法法 显式欧拉显式欧拉隐式欧拉隐式欧拉改进欧拉法改进欧拉法简单简单精度低精度低稳定性最好稳定性最好精度低精度低,计算量大计算量大精度提高精度提高计算量大计算量大3.8.3龙格库塔法(补充内容)思想：由改进的欧拉法可以得到一个启示：即选择不同点的近似斜率的近似值的平均值。效果会更好。龙格库塔法把欧
27、拉法进一步发展了，下面以四阶龙格库塔法为例。o 方法1：求解一阶常微分方程的数值解)2()(1),(00yxyyxfy）（基本原理：基本原理：龙格龙格-库塔库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的欧拉公式有：。对于一阶精度的欧拉公式有：yi+1=yi+h*K1 K1=f(xi,yi)当用点当用点xi处的斜
28、率近似值处的斜率近似值K1与右端点与右端点xi+1处的斜率处的斜率K2的算术平的算术平均值作为平均斜率均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：拉公式：yi+1=yi+h*(K1+K2)/2 K1=f(xi,yi)K2=f(xi+h,yi+h*K1)龙格库塔法算法龙格库塔法算法如果在区间如果在区间xi,xi+1内多预估几个点上的斜率值内多预估几个点上的斜率值K1、K2、Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求显然能构造出具有
29、很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格库塔公式，也就是在工程中应用广泛解，可以得出四阶龙格库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格库塔算法：的经典龙格库塔算法：yi+1=yi+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6 K1=f(xi,yi)K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)K4=f(xi+h,yi+h*K3)关于：龙格库塔法龙格龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点，但仍需计算过程中可以改变步长，不需要计算高
30、阶导数等优点，但仍需计算算 在一些点上的值，如四阶龙格在一些点上的值，如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四库塔法每计算一步需要计算四次次 的值，这给实际计算带来一定的复杂性。的值，这给实际计算带来一定的复杂性。龙格库塔法小程序#include#include#define f(x,y)(-1*(x)*(y)*(y)void main(void)double a,b,x0,y0,k1,k2,k3,k4,h;int n,i;printf(input a,b,x0,y0,n:);scanf(%lf%lf%lf%lf%d,&a,&b,&x0,&y0,&n);printf(x0ty0tk1tk2tk3
31、tk4n);for(h=(b-a)/n,i=0;i!=n;i+)k1=f(x0,y0);k2=f(x0+h/2,y0+k1*h/2);k3=f(x0+h/2,y0+k2*h/2);k4=f(x0+h,y0+h*k3);printf(%lft%lft,x0,y0);printf(%lft%lft,k1,k2);printf(%lft%lfn,k3,k4);y0+=h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;x0+=h;printf(xn=%lftyn=%lfn,x0,y0);运行结果 input a,b,x0,y0,n:0 5 0 2 20 x0 y0 k1 k2 k3 k4 0.000000
32、2.000000-0.000000-0.500000-0.469238-0.886131 0.250000 1.882308-0.885771-1.176945-1.129082-1.280060 0.500000 1.599896-1.279834-1.295851-1.292250-1.222728 0.750000 1.279948-1.228700-1.110102-1.139515-0.990162 1.000000 1.000027-1.000054-0.861368-0.895837-0.752852 1.250000 0.780556-0.761584-0.645858-0.6
33、73410-0.562189 1.500000 0.615459-0.568185-0.481668-0.500993-0.420537 1.750000 0.492374-0.424257-0.361915-0.374868-0.317855 2.000000 0.400054-0.320087-0.275466-0.284067-0.243598 2.250000 0.329940-0.244935-0.212786-0.218538-0.189482 2.500000 0.275895-0.190295-0.166841-0.170744-0.149563 2.750000 0.2336
34、02-0.150068-0.132704-0.135399-0.119703 3.000000 0.200020-0.120024-0.106973-0.108868-0.097048 3.250000 0.172989-0.097256-0.087300-0.088657-0.079618 3.500000 0.150956-0.079757-0.072054-0.073042-0.066030 3.750000 0.132790-0.066124-0.060087-0.060818-0.055305 4.000000 0.117655-0.055371-0.050580-0.051129-
35、0.046743 4.250000 0.104924-0.046789-0.042945-0.043363-0.039833 4.500000 0.094123-0.039866-0.036750-0.037072-0.034202 4.750000 0.084885-0.034226-0.031675-0.031926-0.029571 xn=5.000000 yn=0.0769273.9 化工装置动态仿真（第四章介绍）化工装置动态仿真（第四章介绍）Review of chapter 3 牛顿法（切线法）牛顿法（切线法）:计算速度较快计算速度较快,二阶收敛二阶收敛;但是对于难以但是对于难以用
36、数学表达的过程用数学表达的过程,无能为力无能为力,对初值要求较严格对初值要求较严格;弦解法（割线法）弦解法（割线法）:可以解决上述问题可以解决上述问题;同样存在初值要求同样存在初值要求严格的问题严格的问题;二分法二分法:二分法是一种既简单又方便的算法，即使是对非解二分法是一种既简单又方便的算法，即使是对非解析函数和超越函数也仍然有效析函数和超越函数也仍然有效;收敛速度略显缓慢收敛速度略显缓慢;直接迭代法直接迭代法:简单简单,可靠可靠,但速度较慢但速度较慢;有时收敛不稳定有时收敛不稳定;部分迭代法部分迭代法:可以解决直接迭代法的问题可以解决直接迭代法的问题,但是松弛引子的但是松弛引子的选择有一定
37、困难选择有一定困难;wegstein法：两步迭代法。让松弛因子的选择法：两步迭代法。让松弛因子的选择“有据可有据可依依”，有道理，有道理-应用最广泛的迭代方法。应用最广泛的迭代方法。计算步骤计算步骤:方程转化；迭代序列构建；计算，判断。方程转化；迭代序列构建；计算，判断。求解常微分方程组求解常微分方程组(动态模拟）动态模拟）:欧拉法欧拉法;龙格库塔法龙格库塔法f(x)=0X=f(x)数值计算方法数值计算方法采用某个公式采用某个公式反复校正根的近似值，使之逐反复校正根的近似值，使之逐步精确化。步精确化。数学模型求解方法数学模型求解方法，Quotation：算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复：算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果。更大的优点是它可以让计算机来实现算出结果。更大的优点是它可以让计算机来实现,事半功倍。事半功倍。
