1、弯曲变形弯曲变形弯曲变形按叠加原理求梁的挠度与转角按叠加原理求梁的挠度与转角梁的挠曲线近似微分方程及其积梁的挠曲线近似微分方程及其积分分求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法梁的刚度校核梁的刚度校核 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能简单超静定梁的求解方法简单超静定梁的求解方法 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能2研究范围：研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。3概述概述31.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。
2、用挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。表示。与与 f 同向为正，反之为负。同向为正，反之为负。转角：当纵轴向下时，横截面绕转角：当纵轴向下时，横截面绕其中性轴转动的角度。用其中性轴转动的角度。用 表表示，顺时针转动为正，示，顺时针转动为正，反之为反之为负。负。当纵轴向上时，横截面绕其中性当纵轴向上时，横截面绕其中性轴转动的角度。用轴转动的角度。用 表示，逆表示，逆时针转动为正，时针转动为正，反之为负。反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x)三、转角与挠曲线的关系：dfdwtg=f (1)dxdx小变形小变形PxwC C1f4概述概
3、述4zzEIxM)(1一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程zzEIxMxf)()(式（式（2 2）就是挠曲线近似微分方程。）就是挠曲线近似微分方程。EIxMxf)()(（2）)()1()(1232xffxf 小变形小变形fxM00)(xffxM00)(xf5梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分5)()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线）)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1
4、.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD6梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分6讨论：适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：支点位移条件：连续条件：连续条件：光滑条件：光滑条件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或写成CC右左或写成CCff7梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分7例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。求下列各等
5、截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出写出微分方程的积分并积分微分方程的积分并积分应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数)()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161;21PLCPLC解：解：PLxf8概述概述8写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xfPL9梁的挠曲线近似微
6、分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分9例例2 2 解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程)(0)0()()(LxaaxaxPxM写出写出微分方程的积分并积分微分方程的积分并积分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf)(0)0()(LxaaxxaPfEIxfPLa10梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分10应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161;21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLax
7、f21213)(61DxDCxCxaPEIf11梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分112)(21DCxaPfEI11写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线)(a 36)0(3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角PLaxf1212一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()(
8、221121nnnPPPPPP )()()()(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：13按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角13例3 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA42EI24qa5f4qCEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa1414EIPafPC63EIPaPA42EI24qa5f4qCEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加叠加qAP
9、AA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC6245341515例例4 4 结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf1616例5 车床主轴简化为等截面外伸梁，求B点转角和C点挠度解：设想沿截面B将外伸梁分为两部分，AB为简支梁，除原有的集中载荷外，在B点作用有剪力和弯矩，如图所示，BC为悬臂梁 简支梁B点剪力作用下，没有发生变形，在原来集中载荷作用下，B点转角为：EI16lF22FB2这里假设纵坐标方向向上，也就是挠度向上为正，转角逆时针为正
10、，简支梁在B点弯矩作用下，B点转角为：EI3alFEI3Ml1MB17简支梁在原来集中力和弯矩共同作用下，简支梁在原来集中力和弯矩共同作用下，B B点转角为：点转角为：EI16lFEI3alF221B由这一转角引起的由这一转角引起的C C点挠度为点挠度为 EI16alFEI3laFaw2221BC1BCBC悬臂梁在集中载荷作用下的挠度为：悬臂梁在集中载荷作用下的挠度为：EI3aFw31C2C C点实际挠度为：点实际挠度为：EI16alFEI3alaFEI3aFEI16alFEI3laFwww2221312221C2C1按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角18m a xfff11
11、 LLL2 5 01 0 0 0 max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中其中 称为许用转角；称为许用转角；f/L 称为许用挠跨比。通常称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种依此条件进行如下三种刚度计算：刚度计算：、校核刚度：校核刚度：、设计截面尺寸；设计截面尺寸；、设计载荷。设计载荷。LfLfmax max19梁的刚度校核梁的刚度校核19PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例6 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1k
12、NABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM2020P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：解：结构变换，查表求简结构变换，查表求简单单 载荷变形。载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf2121P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPE
13、IaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414.3 )(64dDI2222m1019.533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423.0)320016400(18802104.03164221弧度EILaPEILPB 001.010423.04maxLfLfmaxm10m1019.556maxff校核刚度校核刚度23梁的刚度校核梁的刚度校核23dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：一、弯曲应变能的计算：EIxM)(1d)(21ddxMWU
14、xEIxMUd2)(d2LxEIxMUd2)(2xdd 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去ddMdM(x)P1MxfP2dxd 24梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能24例7 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW21解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)(2)0(;2)(axxPxM在应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？Paaqxf25梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能251 1、处理方法：变形协调方程、物理、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合
15、，求全部未方程与平衡方程相结合，求全部未知力。知力。解：解：建立静定基建立静定基 确定超静定次数，用反力确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构代替多余约束所得到的结构静定基。静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf26简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法26几何方程变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、求解其它问题（反力、应力、变形等）变形等）27简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法27几何
16、方程几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：建立静定基建立静定基BCBRBqBLfffB=例例8 结构如图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB28简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法28=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、求解其它问题（反力、应力、变形等）变形等）EILRfEIqLfBBRBqB3;834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC2929强度：正应力：剪应力：maxzWM
17、zzbIQS*zEIXMf)(刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。30如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力30一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b =)1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时,3 ;,2bhbhRbh31如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力31EIPLy3max021.0EIPLy3max014.0EIPLy3max0073.0二、合理布置外力（包括支座），使二、合理布置
18、外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/103232EIqLy4max013.0EIqLy43max107875.0EIqLy43max10326.0Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxqL/2L/2322qL Mx512/92qL33如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力33三、选用高强度材料，提高许用应力值三、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“jx”相差较大相差较大，故故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳
19、定性换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=100GPa），），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的定性的目的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生也会随之发生很大的改变！很大的改变！34如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力3435作业作业刘鸿文材料力学第四版刘鸿文材料力学第四版 P197习题：习题：6.1;6.3a,c;6.4a,c;6.10a;6.41第第1111章章 弯曲变形弯曲变形3536第第1111章章 弯曲变形弯
20、曲变形 总结和习题总结和习题1.梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程下面三个方程是等价下面三个方程是等价在这种方程体系中，在这种方程体系中，向上的挠度为正、逆向上的挠度为正、逆时针转角为正时针转角为正 34EIy=M xEIy=Q xEIy=q x在这种方程体系中，在这种方程体系中，向下的挠度为正、顺向下的挠度为正、顺时针转角为正时针转角为正 34EIy=-M xEIy=-Q xEIy=-q x2.梁的刚度条件梁的刚度条件 maxmaxmaxff ff LLLf或者这里 是梁的跨度，是梁的挠度3637第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.1a写出图示梁的边界条件写出图示梁
21、的边界条件 x=a,w=0 x=a+l w=0 x=a,w=0 x=a+l w=0或者或者lx=a,w=0 x=a+w=02如果竖杆不可拉伸如果竖杆不可拉伸x=0,w=0 x=l w=0如果竖杆可拉伸，题目中往往给如果竖杆可拉伸，题目中往往给出竖杆的拉伸刚度出竖杆的拉伸刚度EA 11qllNl2x=0,w=0 x=l w=-=-EAEA3738第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题写出图示梁的边界条件写出图示梁的边界条件,支座支座B的弹簧刚度为的弹簧刚度为k Nqlx=0,w=0 x=l w=-=-k2k3839第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.3a
22、用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角，载荷如图所示，角，载荷如图所示，EI为常数为常数 34EIy=M xEIy=Q xEIy=q x解：按照第一种坐标系计算解：按照第一种坐标系计算 4000 xxEIy=q x=-1-q=-q+qll2001qEIy=-q x+x+C2l230012q1EIy=-q x+x+C x+C26l34200123q11EIy=-q x+x+C x+C x+C624l24532001234q111EIy=-q x+x+C x+C x+C x+C24120l623940第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总
23、结和习题总结和习题下面用边界条件确定积分常数下面用边界条件确定积分常数4 x=0 y=0 C=0当时，得到3 x=0 y=0 C=0当时，得到QRA02011 x=0 F=F=q l C=q l 22当时，得到2200101111 x=0 M=-q ll=q l C=q l 2366当时，得到4532200005423320432230432230q111EIy=-q x+x+q lx-q l x24120l1212qy=x-5lx+10l x-10l x120EIlqy=5x-20lx+30l x-20l x120EIlq =x-4lx+6l x-4l x24EIl自由端的挠度自由端的挠度
24、40Bx=lq lf=y x=-30EI自由端的转角自由端的转角 24EIlqxy30lxB（顺时针转动）（顺时针转动）4041第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题解法二解法二 30011236qxEIy=M xqxxxll4024qEIyxCl 50120qEIyxCxDl430002424qq x=ly=0 EIylCCll 当时，50444000012001202430q x=ly=0 EIylClDlqqqllDDl当时，3450001202430ql ql qEIyxxl自由端的挠度自由端的挠度 40Bx=0q lf=y x=-30EI自由端的转角自由端的转角 3
25、0Bx 0q lyx24EI（顺时针转动）（顺时针转动）4142第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.3c用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角，载用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角，载荷如图所示，荷如图所示，EI为常数为常数解解:A点反力点反力2yAAqlql33qlF=,M=-l=-2248 221l-qx 0 x22EIw=M x=qllqlxqll-x-=-+xl242824243第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题 221l-qx 0 x22EIw=M x=qllqlxqll-x-=-+xl242823221l-q
26、x+a 0 x62EIw=qlxql xl-+c xl48243221l-qx+ax+b 0 x242EIw=qlxql xl-+cx+d xl121624344第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题43221l-qx+ax+b 0 x242EIw=qlxql xl-+cx+d xl12162由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数当当x=l时时 w=w=022333qlxql xlEIw=-+c xl482qlqlqlEIw=-+c=0c=x=l4883224444qlxql xlEIw=-+cx+d xl12162qlqlql5qlEIw=-+d=0d=-x=l121
27、68484445第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题当当x=l/2时，位移和转角保持连续性时，位移和转角保持连续性322223333331l-qx+a 0 x62EIw=qlxql xl-+c xl4821qlxql xl-qx+a=-+c x=64821qlqlql7qll-ql+a=-+a=x=48161684824546第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题4322322444444441l-qx+ax+b 0 x242EIw=qlxql xl-+cx+d xl121621qlxql xl-qx+ax+b=-+cx+d x=241216217qlql
28、ql5qll-ql+ql+b=-+-x=3849696641648241b=-ql x=384l24647第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题自由端自由端37qlEIw=a=w=x=0EI48顺时针旋转顺时针旋转 44141EIw=-qx+ax+bw=-qlx=024EI3844748第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.4a用积分法求简支梁的挠曲线方程以及用积分法求简支梁的挠曲线方程以及A、B端的转角端的转角,跨度跨度中点的挠度和最大挠度中点的挠度和最大挠度,载荷如图所示载荷如图所示,EI为常数为常数解：先求支座反力解：先求支座反力 eAeRBRBe
29、yRARBRAMM=0M+F l=0F=-lMF=0F+F=0F=l则弯矩方程为则弯矩方程为 eMM x=xl挠曲线方程挠曲线方程e2e3eMEIy=xlMEIy=x+C2lMEIy=x+Cx+D6l由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数 e x=0 y=0D=0M l x=l y=0C=-6当时当时332eee22eM xM lxMy=-=x-l x6EIl6EI6EIlMy=3x-l6EIl4849第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题332eee22eM xM lxMy=-=x-l x6EIl6EI6EIlMy=3x-l6EIlA、B的转角的转角22eeAx=02
30、2eeBx=lMM l=3x-l=-6EIl6EIMM l=3x-l=6EIl3EI跨度中点的挠度跨度中点的挠度232ee11x=lx=l22MM ly=x-l x=-6EIl16EI为了求挠度最大值，先求转角为零的点为了求挠度最大值，先求转角为零的点22eMly=3x-l=0 x=6EIl3挠度最大值挠度最大值232eelmaxx=3MM ly=x-l x=-6EIl9 3EI4950第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.4c用积分法求简支梁的挠曲线方程以及用积分法求简支梁的挠曲线方程以及A、B端的转角端的转角,跨度中点跨度中点的挠度和最大挠度的挠度和最大挠度,载荷如图
31、所示载荷如图所示,EI为常数为常数解：建立坐标系，支座反力：解：建立坐标系，支座反力：0000yAyBq lq lq lq l12F=;F=236233 3001123600q1x1EIw=M xq lx-qxx-x+q lx6ll6402420q1EIw-xq lx+Cl12 0530q1EIw-xq lx+Cx+D120l360 x=0w=0 EIwD当时，5051第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题当当x=l时时 003530q7q l1w=0 EIw-lq ll+Cl+D=0C=-120l3636040242300q17EIw-xq lx-q ll12360 053
32、300q17EIw-xq lx-q l x120l36360A点转角点转角3A07=-q l360（顺时针转动）（顺时针转动）B点转角点转角3B01=q l45（逆时针转动）（逆时针转动）中点挠度中点挠度04lx=25q lw-768EI转角为转角为0时时40242300q17-xq lx-q l=0l1236004max5.04q lw-768EI5152第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.5a用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角用积分法求悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角,载载荷如图所示，荷如图所示，EI为常数为常数解：先求支座反力解：先求支座反
33、力RAAF=F M=-Fa；弯矩方程弯矩方程 AeM x=M=-M 0 xa挠曲线方程挠曲线方程ee2eEIy=-MEIy=-M x+C1EIy=-M x+Cx+D2由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数 x=0 y=0D=0 x=0 y=0C=0当时当时2eeM xy=-2EIM xy=-EIC点的挠度和转角22eeCx=aeeCCx=aM xM ay=-=-2EI2EIM xM a=y=-=-EIEICB为直线段，为直线段，B点转角和点转角和C点转角相等点转角相等2eeeBCCM aM aM aFay=y+l-a=-l-a=-a+2l-2a=-2l-a2EIEI2EI2EI5253第
34、第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.5b用积分法求悬臂梁自由端的挠度和转角，载荷和几何尺寸如用积分法求悬臂梁自由端的挠度和转角，载荷和几何尺寸如图所示，图所示，EI为常数为常数解：先求支座反力解：先求支座反力RAAeF=0 M=-M0 xa；弯矩方程弯矩方程 AeM x=M=-M 0 xa挠曲线方程挠曲线方程ee2eEIy=-MEIy=-M x+C1EIy=-M x+Cx+D2由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数 x=0 y=0D=0 x=0 y=0C=0当时当时2eeM xM xy=-y=-2EIEI；5354第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和
35、习题C点的挠度和转角点的挠度和转角22eeCx=aeeCCx=aM xM ay=-=-2EI2EIM xM a=y=-=-EIEICB为直线段，为直线段，B点转角和点转角和C点转角相等点转角相等eBCM a=-EIB点的挠度点的挠度2eeeBCCM aM aM aFay=y+l-a=-l-a=-a+2l-2a=-2l-a2EIEI2EI2EI5455第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.10a用叠加法求梁截面用叠加法求梁截面A点的挠度和截面点的挠度和截面B点的转角，点的转角，EI为常数为常数解：查表，集中力偶作用下解：查表，集中力偶作用下2232eeBlA x=2M xM
36、 lFlxFlFlw=-=-,w=-,=-=-2EI2EI8EIEIEI在集中载荷作用下在集中载荷作用下232BA x=0.5lFxFlFlw=-1.5l-x,w=-,=-6EI24EI8EI叠加叠加333222BlA x=2FlFlFlFlFl9Flw=-=-,=-=-8EI24EI6EI8EIEI8EI5556第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.36求均布载荷作用下的三跨梁的支座反力和求均布载荷作用下的三跨梁的支座反力和AC中点截面的弯矩中点截面的弯矩解：这是一次超静定问题，解除解：这是一次超静定问题，解除C点的点的约束，代替以支反力约束，代替以支反力FRC由叠加原
37、理得到由叠加原理得到 43RCCRC5q 2lF2l5y=-+=0F=ql384EI48EI4由于对称性由于对称性 RARB3F=F=ql8AC中点截面的弯矩中点截面的弯矩2223111311M=qll-qll=ql-ql=ql8224168165657第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题6.37用积分法分析图示超静定梁，求用积分法分析图示超静定梁，求A点转角和中点挠度点转角和中点挠度解：这是一次超静定问题，任意截面上的解：这是一次超静定问题，任意截面上的弯矩为弯矩为 2RA1M x=F x-qx2挠曲线方程为挠曲线方程为 2RA1EIy=M x=F x-qx2积分得到积分
38、得到32RA43RA11EIy=-qx+F x+C6211EIy=-qx+F x+Cx+D246边界条件如下边界条件如下43RA32RA x=0 y=0D=011 x=l y=0-ql+F l+Cl=024611 x=l y=0-ql+F l+C=062当时当时当时解之得解之得3RA3qlqlF=C=848；5758第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题挠曲线方程挠曲线方程433433131EIy=-qx+qlx-ql x244848qy=-2x-3lx+l x24EI转角方程转角方程323q=y=-8x-9lx+l24EIA点的转角点的转角3323Ax=0qql=-8x-9
39、lx+l=-24EI24EI中点的挠度中点的挠度4433llx=x=22qqly=-2x-3lx+l x=-24EI96EI5859第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题41图示悬臂梁的抗弯刚度图示悬臂梁的抗弯刚度EI=30103Nm2，弹簧的刚度为，弹簧的刚度为175103N/m,梁与弹簧之间的空隙为梁与弹簧之间的空隙为1.25mm,当集中力当集中力F450N作用于梁的自由端时，弹簧将分担多大力？作用于梁的自由端时，弹簧将分担多大力？解：建立坐标系如下图所示解：建立坐标系如下图所示 M xk yFlx假设弹簧变形量为假设弹簧变形量为 ，则距原，则距原点为点为x点的内力矩为：
40、点的内力矩为：y挠曲线微分方程挠曲线微分方程 EIyM xk yFlx 21EIykyFlxxc2 23l1EIykyFxxcxd265960第第1111章章 弯曲变形弯曲变形 总结和习题总结和习题当当x=0时时23l1EIykyFxxcxd26yy0因此因此cd023l1EIykyFxx26在集中力作用点在集中力作用点32332330.75130 10y175000 y4500.750.75260.75130 10y0.00125175000 y4500.750.752630 10y0.00125175000 y4500.14062530000 y37.524609.375 y63.2812
41、554609.375 y25.78125y0.47 245mm弹簧分担的力弹簧分担的力3kF175000 0.47245 1082.69N60616162匀布荷载（方向向下）作用下的简支梁弯矩图匀布荷载（方向向下）作用下的简支梁弯矩图匀布荷载（方向向下）作用下的悬臂梁弯矩图匀布荷载（方向向下）作用下的悬臂梁弯矩图中间有集中荷载（方向向下）作用下的简支梁弯矩图中间有集中荷载（方向向下）作用下的简支梁弯矩图自由端集中荷载（方向向下）作用下的悬臂梁弯矩图自由端集中荷载（方向向下）作用下的悬臂梁弯矩图匀布荷载（方向向下）作用下的简支梁剪力图匀布荷载（方向向下）作用下的简支梁剪力图匀布荷载（方向向下）作用下的悬臂梁剪力图匀布荷载（方向向下）作用下的悬臂梁剪力图中间有集中荷载（方向向下）作用下的简支梁剪力图中间有集中荷载（方向向下）作用下的简支梁剪力图自由端集中荷载（方向向下）作用下的悬臂梁剪力图自由端集中荷载（方向向下）作用下的悬臂梁剪力图62剪力图剪力图轴力图轴力图 弯矩图弯矩图 63剪力图剪力图轴力图轴力图 弯矩图弯矩图 64剪力图剪力图轴力图轴力图 弯矩图弯矩图 65
