1、工程弹塑性力学工程弹塑性力学浙江大学浙江大学 建筑工程学院建筑工程学院7.0 绪论塑性本构关系塑性本构关系：从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。反映材料进入塑性以后的力学特性。两类塑性本构关系两类塑性本构关系:全量理论全量理论/形变理论形变理论增量理论增量理论/流动理论流动理论建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。描述材料在塑性状态时描述材料在塑性状态时应力与应变速度应力与应变速度或或应变增量之间应变增量之间关系的理论关系的
2、理论均与均与DruckerDrucker公公设有密切关系设有密切关系1(),yzxxyzyzEG(7.1)弹性模量弹性模量7.1 弹性本构关系1(),zxyyzxzxEG 1(),xyzzxyxyEG-广义虎克定律广义虎克定律泊松比泊松比/2(1)GE13()(),21yzxxyzyzxxEGEG13()()1,2yzxyxzzxyyEGEG 13()21)(,xyzzxyxyzzEGEG(7.2)7.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律13(1)(),2yzxxxxyzyzEGEG 13(1)(),2yzxyyxyzzxEGEG 13(1)(),2xyzzzxyzxyEGEG (7.2
3、)32ijijijGE(7.3)用张量表示：用张量表示：3 3个正应变相加：个正应变相加：12iiiiE3,/3(12)KKE(7.4)或或对于不可压缩对于不可压缩固体，固体，=1/2=1/27.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律2()2()2()xyxyyzyzzxzxGGG(7.5)(7.2)方程互减：方程互减：2xyyzzxxyyzzxG(7.6)1212232331312()2()2()GGG(7.7)以主应力形式表示以主应力形式表示:应力应力MohrMohr圆和应变圆和应变MohrMohr圆相似，应力圆相似，应力和应变主轴重合。和应变主轴重合。7.1 弹性本构关系12ijij
4、esG(7.8)用应力应变偏量表示：用应力应变偏量表示：(7.9)(7.7)(7.7)代入代入应力偏量分量和应应力偏量分量和应变偏量分量成正比。变偏量分量成正比。形状改变只是由应形状改变只是由应力偏量引起的。力偏量引起的。2221223311()()()6T2221223312()()()3 TG等效剪应力等效剪应力等效剪应变等效剪应变同理：同理：3G等效正应力等效正应力,式式(1.41)(1.41)等效正应变等效正应变,式式(1.54)(1.54)2(1)ijijijTsee(7.10)7.1 弹性本构关系加载加载卸载卸载(7.11)应力应变增量间满足广义虎克定律应力应变增量间满足广义虎克定
5、律2ijijdsGde3dKd(1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的；(2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例；(3)、应力偏量分量与应变偏量分量成比例；(4)、等效正应力与等效正应变成比例。7.1 弹性本构关系弹性应变比能弹性应变比能(7.12)单位体积内的弹性应变能单位体积内的弹性应变能1131()()2222eijijijijijijijijses e 体积变形比能体积变形比能形状改变弹性比能形状改变弹性比能22221111(1)22224(1)eGTJGGG 3/2/2e/2eijijs e成正比成正比Mises屈服条件屈服条件也可称为也可称为最大弹性形变能条件最大弹性
6、形变能条件7.2 塑性全量理论全量理论的假定：全量理论的假定：(7.14)应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。平均应力与平均应变成比例。平均应力与平均应变成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等。E和塑性变形程度有关7.2 塑性全量理论(7.15)2ijijsGeG与材料性质和
7、塑性变形程度有关与材料性质和塑性变形程度有关2222yxyyzxzxzxyzxyyzzxG(7.16)应力偏量分量和应变偏量分量成正比应力偏量分量和应变偏量分量成正比2(),222(),222(),22xyxxxyyzyyxyzxzzxyGGGGGG(7.17)7.2 塑性全量理论2/2/2/2xyyzxyyzzxzxxyyzzxxyyzzxG(7.18)(7.20)2331121223312G(7.19)由式由式(7.17)得得:设物体的体积是不可压缩的，即设物体的体积是不可压缩的，即=1/20,2(1)3EEG1212()()332xxxxyzxyzG(7.21)7.2 塑性全量理论由式由
8、式(7.17)，(7.20)得得:111(),2xxyzyzyzEG(7.22)111(),2yyzxzxzxEG111(),2zzxyxyxyEG与广义虎克定律与广义虎克定律形式上非常相似形式上非常相似;1/2EEGG解决具体问题比弹性力学复杂很多解决具体问题比弹性力学复杂很多7.2 塑性全量理论 acbO图图7.1 单向拉伸曲线单向拉伸曲线EE()()Etg s时:(7.25)在弹性极限内在弹性极限内复杂应力状态复杂应力状态下下:E(7.26)()()E (7.28)E(7.27)3G在在单向拉伸单向拉伸状态下状态下:(7.9)形式上非形式上非常相似常相似根据单一曲线假定根据单一曲线假定:
9、7.2 塑性全量理论()()E (7.28)=1/2由右图几何条件可得由右图几何条件可得:1()E(7.29)acbOE()E()acab 3 1()G (7.30)空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题7.2 塑性全量理论2(),22zxzzxyGG(7.17)22,2,21112,2,2222ijijxxyyzzxyxyyzyzzxzxsG esG esG esG eGGG2(),22xyxxxyGG2(),22yzyyxyGG(7.31)33333322222,2,2212121,2232ijijxxyyzzxyxyyzyzzxzxses
10、esese(7.32)3G 7.2 塑性全量理论(7.33),epepxxxxyxyxy,epepyyyyzyzyz,epepzzzzxzxzx总应变总应变=弹性应变弹性应变+塑性应变塑性应变111()()332111()()3232pexxxxyzxyzxyzGGGGGG由式由式(7.33)(7.22)1GG7.2 塑性全量理论(7.34)1(),32ppxxyzxyxyGG1(),32ppyyxzyzyzGG1(),32ppzzxyzxzxGG1GG3131(),()22ppxxxyxysGG3131(),()22ppyyyzyzsGG3131(),()22ppzzzxzxsGG(7.34
11、)31()22pijijeSG2pijijeSG或或:7.2 塑性全量理论理想弹塑性材料理想弹塑性材料E 的表达式的表达式 OAss(a)理想弹塑性材料理想弹塑性材料图图 7.2 理想塑性模型理想塑性模型 E在弹性区域内在弹性区域内(OA)E在塑性区域内在塑性区域内(AE)SSE,不存在一一对应关系7.2 塑性全量理论线性强化弹塑性材料线性强化弹塑性材料E 的表达式的表达式11111()()(1)(1)SSSSSStgtgEEEEEEEEE在塑性区域内在塑性区域内(AE)Ossabdc(b)理想弹塑性强化材料理想弹塑性强化材料图图 7.2 理想塑性模型理想塑性模型 1;tgE tgE11(1)
12、SEEEE(7.36)这些物理关系对于塑性体或者是这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体对于物理关系是非线性的弹性体在在主动变形时主动变形时都是适用的。都是适用的。7.3 Drucker 公设应力应变曲线形式应力应变曲线形式OOO000 0 0 0(a)(b)(c)图图 7.3 应力应变曲线形式应力应变曲线形式0,稳定材料0,不稳定材料应力增加应变减应力增加应变减少少,不可能现象不可能现象7.3 Drucker 公设公设的叙述：公设的叙述：考虑某应力循环，开始应力考虑某应力循环，开始应力 0ij在加载面内，然后达到在加载面内，然后达到 ij，刚好在加载面上，刚好在加载面上，再
13、继续在加载面上加载到再继续在加载面上加载到 ij+d ij，在这一阶段，将产生塑性应变，在这一阶段，将产生塑性应变d pij。最。最后将应力又卸回到后将应力又卸回到 0ij。若在整个应力循环过程中，附加应力。若在整个应力循环过程中，附加应力 ij-d ij所做的所做的塑性功不小于零，则这种材料就是稳定的。塑性功不小于零，则这种材料就是稳定的。ijij0ijijdijij图图 7.4 应力循环路径应力循环路径00ijijijdsse(7.37)应力循环过程中外载所做的功：应力循环过程中外载所做的功：7.3 Drucker 公设00()0ijijijijdssse-(7.38)判断材料稳定性的条件
14、判断材料稳定性的条件:O0ddp图图 7.5 一维的应力循环一维的应力循环因弹性应变在应力循环中可逆因弹性应变在应力循环中可逆00()0eijijijijdssse-=00()0pijijijijdswwsse=-0()0ppijijijijddwssse=+-()0ppddwssse=+-(7.39)(7.40)对于稳定材料对于稳定材料阴影面积一定阴影面积一定不会小于零不会小于零7.3 Drucker 公设0()0ijijijdsse-两个矢量的夹角是锐角。两个矢量的夹角是锐角。O,ijij0A0Adpij图图 7.60ijij0()0ppijijijijddwssse=+-(7.39)0,
15、ijijijd并且是无穷小量(7.41):;:;:;:ooppijijijijijOAOAdddd 0opA A d (7.43)加载面外凸才有可能。加载面外凸才有可能。0pijijddse0,ijijijd并且是无穷小量(7.42)7.3 Drucker 公设塑性应变增量各分量之间的塑性应变增量各分量之间的比例可由比例可由 ij在加载面在加载面 上的上的位置决定，与位置决定，与d ij无关。无关。,ijij AoAndp90图图 7.7Tpijijdd0d 为一比例系数(7.44)0pijijddse(7.42)0dns壮uu r(7.45)pdn与 重合只有当应力增量指向加载面只有当应力增
16、量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。的外部时才能产生塑性变形。加载准则加载准则7.4 加载和卸载准则()0,ijfs(7.46)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载()0,ijfs=()()0,ijijijijijfdffdfdsssss=+-=()0,0ijijijffdfdsss=加载面和屈服面一样加载面和屈服面一样加卸载准则的数学形式加卸载准则的数学形式:弹性状态弹性状态加载加载卸载卸载7.4 加载和卸载准则0,0,fdns=(7.47)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载在应力空间中的形式在应力空间中的形式:加载加载卸载卸载ijdd加载加载图图 7.8卸载卸载
17、0f n由于屈服面不能扩大，由于屈服面不能扩大，d 不能指向屈服面外不能指向屈服面外0,0,fdns=7.4 加载和卸载准则00,lmdfdf=或(7.48)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载光滑面交界处的加卸载准则光滑面交界处的加卸载准则:加载加载卸载卸载加载加载0mf卸载卸载加载加载mnLn0Lf 图图 7.900,lmdfdf及00,lmdndnss=或(7.49)加载加载卸载卸载00,lmdndnss (7.50)加载加载卸载卸载中性变载中性变载：相当于应力点沿加：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩载面切向变化，加载面并未扩大的情形。大的情形。卸载卸载dd加载加载
18、nd中性变载中性变载ij加载曲面加载曲面图图 7.100,dns=0,dns中性变载中性变载0,0,ijijdd(7.51)加载加载卸载卸载中性变载中性变载0,0,d0,0,d数学表达数学表达7.5 理想塑性材料的增量关系epijijijddd(7.52)进入塑性状态的应变增量表达式进入塑性状态的应变增量表达式流动法则流动法则应力应变增量关系应力应变增量关系与屈服条件相联系与屈服条件相联系3122ijeeijijijijdvddddsGEG或pijijdd(7.44)7.5 理想塑性材料的增量关系(7.53)一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则2pijijij
19、ijJfdddd s(7.54)220sfJ12ijijijdedsd sG12kkkkvddE222222220,00,0sssJJdJdJdJ当或加上弹性应变增量Prandtl-Reuss关系关系pijijd只与s 成正比ijijdd s(7.55)Levy-Mises关系关系略去弹性应变略去弹性应变7.5 理想塑性材料的增量关系一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则22211/()22ppijijijijsJs sddd pijd给定:(7.56)12ppijijsddd2pijijsppijijdsddppppppyxyyzxzxzxyzxyyzzxdd
20、dddddsssssspijijsd主轴与主轴一致0,piid只有两个独立(7.57)ppijijijdd按比例增大时,s 不变,它是的零齐次函数变换变换7.5 理想塑性材料的增量关系一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则3tan,piipdd平面上,s的和的相等(7.58)Odpdpxy321图图 7.113tanppdd213132ppppppdddddd213132ssssspd7.5 理想塑性材料的增量关系二、与二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则1232310,0ssff(7.59)主应力空间的屈服面主应力空间的屈服面31
21、24230,0ssff 5316120,0ssff 当应力点处在当应力点处在f1=0面上时面上时:11110pfdd12112pfddd13113pfddd(7.60)当应力点处在当应力点处在f2=0面上时面上时:21221pfddd22220pfdd23223pfddd(7.61)7.5 理想塑性材料的增量关系二、与二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则当应力点处在当应力点处在f1=0及及 f2=0交点交点上时上时:1232112:()1:1pppddddddd 12301ddd(7.62)f1=0f2=0n1n2f1=0f2=0图图 7.127.12(a)(b)
22、7.6 强化材料的增量关系假设假设:dhd(7.63)强化模量强化模量pijklijijkldhdhd(7.64)Mises等向强化模型等向强化模型依赖于加载面的变化规律依赖于加载面的变化规律()0pd()0ppDddddd(7.65)ijij(7.66)ppijijijdhdhd(7.67)7.6 强化材料的增量关系ppijijijdhdhd(7.67)2222,33ijijijJJs 注意到则32ijijs(7.68)32ppijijddhs(7.69)23()2pppijijddd左式22223323()()()2232pppijijddhs shhd右式自乘自乘自乘自乘7.6 强化材料
23、的增量关系(7.70)23()2pppijijddd左式22223323()()()2232pppijijddhs shhd右式1h3322ppijijijdddss(7.71)可由简单拉伸的曲线来确定可由简单拉伸的曲线来确定pdd 线性强化时线性强化时:.const(7.72)7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载,ppijijddd s如果应力的加载路径已知如果应力的加载路径已知,可以通过对增量应可以通过对增量应力应变的积分力应变的积分,得到应力和应变的全量关系得到应力和应变的全量关系(7.73)O.constdptxy321d图图 7.13 简单加载简单加载主方向不变主方向不变12
24、ijijijdedss dG12kkkkvddE由由(7.63)(7.63)确定确定与理想塑性的与理想塑性的Prandtl-Reuss关系形式一样关系形式一样7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载00,ijijijijt ss t(7.74)000012tttijijijdedsstdGl=+蝌01ttdtlF=应力按比例增加应力按比例增加:1()2ijijesG=+F12kkkkvEes-=令令:12HG=+FijijeHs=2;ijijijije eH s s=32ijijijije eHs ses=(7.75)7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载23,32ijijijije
25、 es s3()2ijijes 应用应用:(7.76)2()3ijijse(7.77)曲线是否单一?单一曲线假定单一曲线假定:按不同应力组合所得的曲线,基本上和简单拉伸的-曲线一样7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载3()2ijijes 全量关系表达式全量关系表达式:(7.78)2()2 1()3ijijijseGe (7.79)或者或者:12kkkkvE12kkkkEv()0 时为广义虎克定律7.7 简单加载定律二、简单加载定理二、简单加载定理依留辛条件依留辛条件:1 1、小变形；、小变形；2 2、=1/2=1/2；3 3、外载按比例单调增长；如有位移边界条件，、外载按比例单调增长；如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；只能是零位移边界条件；4 4、材料的、材料的 曲线具有曲线具有 形式。形式。nA基本的必要条件基本的必要条件
