1、oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第五节第五节 函数的极值与最值函数的极值与最值1设设函函数数)(xf在在0 x的的某某个个邻邻域域),(0 xU有有定定义义,且且当当),(0 xUx 时时,恒恒有有)()(0 xfxf,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极大大值值；如如果果当当),(0 xUx 时时,恒恒有有)()(0 xfxf,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极小小值值.定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极
2、值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大.oxy0 xoxy0 x2定理定理1 1(极值的必要条件极值的必要条件)由费马引理可知，由费马引理可知，设设)(xf在在点点0 x可可导导，所以对可导函数来讲所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。极值点必为驻点。但反之不然，驻点不一定是极值点但反之不然，驻点不一定是极值点.如如3xy 的的驻驻点点为为0 x,但但它它不不是是极极值值点点.x yO3xy 且且0 x是是)(xf的的极极值值点点，则则必必有有0)(0 xf。3如如|xy 在在0 x处处不不可可导导,但但却却是是极极小小值值点点.此
3、外此外,不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点,x yO|xy 函数的不可导点也不一定是极值点，函数的不可导点也不一定是极值点，x yO3xy 如如3xy 在在0 x处处不不可可导导,却却不不是是极极值值点点.4 这就是说这就是说,极值点要么是极值点要么是驻点驻点,要么是要么是不可导点不可导点,两者必居其一两者必居其一.我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点极值可疑点.下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点用来判别这些极值可疑点是否为极值点是否为极值点.5定理定理2(2(极值的第一充分条件极值的第一充分条件)xyoxyo0 x
4、0 x 设设函函数数)(xf在在0 x处处连连续续,在在0 x的的某某去去心心邻邻域域),(0 xU内内可可导导.(1)(1)若若),(00 xxx 时时,0)(xf,),(00 xxx时时,0)(xf,则则0 x为极大值点；为极大值点；(2 2)若若),(00 xxx 时时,0)(xf,),(00 xxx时时,0)(xf,则则0 x为极为极小小值点；值点；(3 3)如如果果在在上上述述两两个个区区间间内内)(xf 同同号号,则则 0 x不不是是极极值值点点.xyoxyo0 x0 x 一阶导数一阶导数变号法变号法6定理定理3(3(极值的第二充分判别法极值的第二充分判别法)设设函函数数)(xf在
5、在它它的的驻驻点点0 x处处二二阶阶可可导导,则则(1 1)如如果果0)(0 xf,则则 0 x为为极极小小值值点点；(2 2)如如果果0)(0 xf,则则 0 x为为极极大大值值点点；(3 3)如如果果0)(0 xf,则则无无法法判判断断.称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆:几何直观；几何直观；(3)(3)当当0)(0 xf时时,失效失效,如如:43,xx在在0 x处处.xyo0 x xyo0 x 说明：说明：(2)(2)此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点；7(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；求极值的步骤求极值的步骤
6、:);(2)xf 求导数求导数(3)求定义域内部的极值可疑点求定义域内部的极值可疑点(即驻点或即驻点或 一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点)；(4)考虑这些点的左右邻域内考虑这些点的左右邻域内()fx 的符号，从而判定的符号，从而判定这些点是否是极值点，这些点是否是极值点，(5)求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.或则利用第二充分条件（只能判别驻点）或则利用第二充分条件（只能判别驻点）.8例例1 1解法一解法一.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨
7、论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10,)3)(1(3 xx9例例1 1解法二解法二.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点,)3)(1(3 xx,66)(xxf )1(f,012 ；是极大值是极大值故故10)1(f )3(f,012 .22)3(是极小值是极小值故故 f10例例2 2解解324()(1)31xfxxx 223()(1)fxx 求函数求函数的极值的极值函数的定义域为函数的定义域为(,)1()0,0.f
8、xx 令令得得1x 时函数的导数不存在时函数的导数不存在.11x)1,(1,)(1,0)1)(xf )(xf 00(0,1)1不不存存在在不不存存在在极极小小值值极极小小值值极极大大值值 因此，函数的极小值为因此，函数的极小值为f(-1)=0,f(1)=0;极大值为极大值为f(0)=1.12例例3 3解解.23)(32的的极极值值求求函函数数xxxf 列表讨论列表讨论x)0,(),1()1,0(01)(xf )(xf 无无0极大值极大值极小值极小值.21)1(f极小值极小值，极极大大值值0)0(f311)(xxf不不可可导导点点01 x,驻驻点点12 x,，311x 13例例4 4解解.ln1
9、)(2的的极极值值求求函函数数xxxf xxxf12)(，令令0)(xf.22 x得得驻驻点点.22ln23)22(是极小值是极小值故故 f,122xx 注意定义域！注意定义域！导数左负右正，导数左负右正，14oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在上上连连续续，则则在在若若函函数数baxfbaxf二、函数的最值二、函数的最值极值是局部性的极值是局部性的,而最值是全局性的而最值是全局性的.15具体求法：具体求法：(3 3)最最大大值值 )(),(),(,),(maxmax1,bfafxfxfkbax 最最小小值值 )(),(),(,),(mi
10、nmax1,bfafxfxfkbax .16例例5 5解解13131()()1.19222f 12331()(1)(1)(1)3fxxxx 而而(1)0f(2)3f 13(2)31.44f 11()0;2fx 令令，得得x x232(21),13(1)xxx 21x 当当时，导数不存在时，导数不存在.17设设函函数数)(xf在在区区间间 I(开开或或闭闭，可可无无限限)上上连连续续，且且在在I内内部部(即即去去掉掉端端点点)只只有有一一个个驻驻点点或或不不可可导导点点0 x，则则 在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：方法：若若)(0 xf是
11、是极极小小值值，即即为为最最小小值值；若若)(0 xf是是极极大大值值，即即为为最最大大值值。18例例6 6解解254()2fxxx 3.x ()0,fx 令令得到得到()f x在区间在区间(,0)内唯一驻点内唯一驻点:(3)60.f 从而从而3108()2,fxx 又又19设设 ppxxxf)1()(,则则 比比较较得得)(xf在在 1,0上上的的最最大大值值为为 1 1,最最小小值值为为121 p,例例7 7解解11)1()(ppxppxxf，令令0.21 x,1)1()0(ff,21)21(1 pf，故故1)(211 xfp.1)1(211 pppxx即即利用最值证明不等式利用最值证明不
12、等式设设10 x,1 p,证证明明不不等等式式:1)1(211 pppxx20经济应用举例经济应用举例1.1.平均成本平均成本(AC)AC)最低问题最低问题 例例8 8设成本函数为设成本函数为,200800)(2xxC ()800(),200C xxC xxx 28001()200C xx则平均成本为则平均成本为得驻点得驻点,0令令,400 x又，31600()0Cxx所以当所以当400 x时时,平均成本最低平均成本最低.800400(400)4,400200C最小平均成本为最小平均成本为21设设某某产产品品的的需需求求函函数数为为510QP ,成成本本函函数数为为QC250 ,求求产产量量为
13、为多多少少时时利利润润最最大大？2.2.最大利润问题最大利润问题 例例9 9利润函数为利润函数为 解解CPQQL )(,50582 QQ)250()510(QQQ QL4.08 得驻点得驻点,0令令.20 Q，而而0 L故故当当20 Q时时,利利润润最最大大.22一般一般,利润函数为利润函数为，)()()(QCQRQL 其中其中Q为产量为产量,即即则则当当，0)()()(QCQRQL)()(00QMCQMR 时时,利润最大利润最大,其中其中MR和和MC分别表示分别表示边际收益边际收益和和边际成本边际成本(Marginal revenue,Marginal cost),“生产商为获得最大利润生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平收益等于边际成本的水平”.”.这是微观经济学的这是微观经济学的一个重要结论一个重要结论.23
