1、二次函数的图象与性质易错清单1. 二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.【例1】(2014山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: 4a+b=0; 9a+c3b; 8a+7b+2c0; 当x-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c0,即9a+c3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-1
2、0a=-30a.再根据抛物线开口向下得a0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x2时,y随x的增大而减小.【答案】抛物线的对称轴为直线x=2,b=-4a,即4a+b=0,所以正确.当x=-3时,y0,9a-3b+c0,即9a+c3b.所以错误.抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),a-b+c=0.而b=-4a,a+4a+c=0,即c=-5a.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.抛物线开口向下,a0.所以正确.对称轴为直线x=2,当-1x2时,y随x的增大而减小.所以错误.故选B.【误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a0),二
3、次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点.2. 二次函数和最值问题【例2】(2014浙江舟山)当-2x1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为().【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m,m-2时,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m-2矛盾,故m值不存在.当
4、-2m1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.名师点拨1. 掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.2. 能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.3. 会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.4. 能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.提分策略1. 二次函数的图象与性质的应用.(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:配方法;顶点公式法,顶点坐标为.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即开口方向;对称轴;顶点;与y轴交点;与x轴交点.【例1】(1
5、)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1 x2y2.(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根.2. 二次函数的解析式的求法.二次函数的关系式有三种:(1)一般式y=ax2+bx+c;(2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标;(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;
6、已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.【例2】已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.【解析】根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.3. 二次函数的图象特征与系数的关系的应用.二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由的符号确定.【例3】(2014天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象
7、如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:b2-4ac0;abc2.其中,正确结论的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断;先根据抛物线的开口向下可知a0,故正确.抛物线的开口向下,a0.对称轴,ab0.a0.abc2,故正确.故选D.4. 二次函数的图象的平移规律的应用.(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.(2)平移的变化规律可为:上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k
8、向上平移m(m0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.【例4】(2014甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为().A. y=-2(x+1)2+2B. y=-2(x+1)2-2C.
9、 y=-2(x-1)2+2D. y=-2(x-1)2-2【解析】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.” 【答案】把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.专项训练一、 选择题1. (2014江苏句容一模)若抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点,则m的值为().A. 0B. 1C. 2D. 32. (2014辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m0)的图象可能是().3. (2014安徽安庆正月21校联考)抛物线y=ax2+
10、bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为().A. 3B. 9C. 15D. -154. (2013山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:abc0;a+b+c=2;b1.其中正确的结论是().A. B. C. D. (第4题)(第5题)5. (2013山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为().6. (2013浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是().二、 填空题7. (2014安徽安庆正月21校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的
11、表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.(第7题)8. (2014甘肃天水模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分 .其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:(1)abcy2.其中说法正确的是.(填序号)(第8题)9. (2014辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1y2的自变量x的取值范围是.(第9题)10. (2014山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x
12、=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c0的解集是.(第10题)11. (2013江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是.12. (2013北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2x11,则y1与y2的大小关系是y1y2.(用“”“”或“=”填空)13. (2013河北一模)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bxkx的解集为.(第13题)三、 解答题14. (
13、2014北京平谷区模拟)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;(2)关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C1经过(k-1,k2-6k+8)和(-k+5,k2-6k+8)两点.求这个二次函数的解析式;把中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移8个单位得到抛物线.设抛物线C2交x轴于M,N两点(点M在点N的左侧),点P(a,b)为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.当MPN45时,直接写出a的取值范围.(第14题)15. (2014安徽安庆二模)如图,在等腰直角ABC中,ABC=90,AB=BC=4,P为AC中
14、点,E为边AB上一动点,F为边BC上一点,且满足条件EPF=45, 记四边形PEBF的面积为S1.(1)求证:APE=CFP;(2)记CPF的面积为S2,CF=x.求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.(第15题)16. (2013山东德州一模)如图,RtABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的
15、,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.(第16题)参考答案与解析1. C解析将(0,0)代入函数关系式即可.2. D解析假设函数在D选项中正确,则m0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标.所以D正确,别的选项这种假设均不成立.3. C解析将点(2,4)代入抛物线方程,得4a+2b-3=4,4a+2b=7.8a+4b+1=27+1=15.4. D解析抛物线的开口向上,a0.与y轴的交点为
16、在y轴的负半轴上,c0.abc1,.故本结论错误.当x=-1时,函数值0,即a-b+c0(1),又a+b+c=2,将a+c=2-b代入(1)式,得2-2b1. 故本结论正确.综上所述,其中正确的结论是.5. D解析由题意,知a2-2=0,且a0.6. C解析当a0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A,D不正确;由B,C中二次函数的图象可知,对称轴,且a0,则b0,b0,排除B.7. 36解析10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是18秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需182=36秒.8. (1)(2)(4)解析其对称轴为x=-1,且过点
17、(-3,0),则另一个交点是(1,0).当x=2时,函数值大于零,即4a+2b+c0,(3)错误,其余的均正确.9. 2x3或-1x0解析把(3,2)代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y =-1时,x=-1或x=2,观察可知:使-1 y 2的自变量x的取值范围是2x3或-1x0.10. x3解析观察可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0),所以不等式ax2+bx+c0的解集是x3.11. y=x2-2x-3解析用待定系数法求二次函数解析式.12. 1时,y随x的增大而增大.13. 0x3解析利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式.14. (1)在x2-mx+m-1=0中,=
18、m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2.当m取任何值时,(m-2)20,无论m取任何实数时,方程总有实数根.(2)抛物线y1=x2-mx+m-1过点(k-1,k2-6k+8)和点(-k+5,k2-6k+8),15. (1) EPF=45, APE+ FPC=180-45=135.在等腰直角ABC中, PCF=45,则 CFP+ FPC=180-45=135, APE= CFP.(2) APE= CFP,且 FCP= PAE=45,在等腰直角ABC中,AC=AB=4,又P为AC的中点,则AP=CP=2,如图(1),过点P作PH AB于点H,PG BC于点G,(第15题(1)E在AB上运动,F在BC上运动,且 EPF=45,2x4.如图(2)所示:(第15题(2)图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,此时EB=BF,即AE=FC, (2)在RtABO中,OA=3,OB=4,四边形ABCD是菱形,BC=CD=DA=AB=5.C,D两点的坐标分别是(5,4),(2,0).点C和点D在所求抛物线上.第 - 16 - 页 共 16 页
