1、5.2平面向量基本定理及坐标表示基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab ，a ，|a|.1.平面向量基本定理平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数1、2，使a .其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .知识梳理不共线有且只有1e12e2基底(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点
2、坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，|.3.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共线 .(x2x1，y2y1)x1y2x2y101.若a与b不共线，ab0，则0.2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，则 .知识拓展知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(4)若a(x1
3、，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成 .()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()思考辨析思考辨析 1.设e1，e2是平面内一组基底，那么A.若实数1，2使1e12e20，则120B.空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C.对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D.对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对考点自测 答案 2.(教材改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为A.(4,3)B.(4，3)C.(3，4)D.(3,4)a1a2an1an(3，4).答案 解析 A.(7，4)B.
4、(7,4)C.(1,4)D.(1,4)答案 解析4.已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则 _.由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1).manb与a2b共线，答案 解析5.(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_.答案 解析(1,5)题型分类深度剖析题型分类深度剖析 例例1在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.题型一平面向量基本定理的应用题型一平面向量基本定理的应用 答案 解析平面向量基本定理应用的实
5、质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.思维升华跟踪训练跟踪训练1 答案 解析 例例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于题型二平面向量的坐标运算题型二平面向量的坐标运算由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4).答案 解析 (2)已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，则2ab等于A.(4,0)B.(0,4)C.(4，8)D.(4,8)因为向量a(1，2)，b(m,
6、4)，且ab，所以142m0，即m2，所以2ab2(1，2)(2,4)(4，8).答案 解析向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.思维升华跟踪训练跟踪训练2(1)(2016北京东城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，答案 解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，4cab，(1，3)(1,1)(6,2)，答案 解析命题点命题点1利用向量共线求向量或点的坐标利用向
7、量共线求向量或点的坐标例例3已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.题型三向量共线的坐标表示题型三向量共线的坐标表示 答案 解析(3,3)所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3).命题点命题点2利用向量共线求参数利用向量共线求参数例例4(2017郑州月考)已知向量a(1sin，1)，b(，1sin)，若ab，则锐角_.又为锐角，45.答案 解析45平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x
8、2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量.思维升华跟踪训练跟踪训练3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，答案 解析故点D的坐标为(2,4).(2,4)所以(a2，2)(b2，4)，(当且仅当b a时，等号成立).答案 解析2典例典例 解析法(坐标法)在向量中的应用思想与方法系列思想与方法系列11建立平面直角坐标系，将向量坐
9、标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征.思想方法指导规范解答建立平面直角坐标系，如图所示，课时作业课时作业故选C.12345678910111213 答案 解析2.已知点A(1,5)和向量a(2,3)，若 3a，则点B的坐标为A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)12345678910111213 答案 解析3.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).若为实数，(ab)c，则等于ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，12345678910111213 答案 解析4.已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于设cab，(1,2)(1
10、,1)(1，1)，答案 解析12345678910111213 答案 解析12345678910111213A.2 B.C.3 D.4 答案 解析以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系(图略)，12345678910111213(3，5)12345678910111213 答案 解析8.设0 ，向量a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若ab，则tan _.ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，cos 0，2sin cos，.12345678910111213 答案 解析9.在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点.其中，R，则_.答案 解析123456
11、78910111213*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，(1,0)mk，nk(1)，mnk，从而mn(1,0).12345678910111213 答案 解析11.已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b).(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.12345678910111213 解答点C的坐标为(5，3).12345678910111213 解答由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).12345678910111213(1)求3ab3c；解答(2)求满足ambnc的实数m，n；12345678910111213mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解答 解答12345678910111213*13.如图所示，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线.12345678910111213 解答证明12345678910111213本课结束
