1、高考数学复习：点、直线、平面之间的位置关系高考数学复习：点、直线、平面之间的位置关系立体几何立体几何 知识整合1线面平行与垂直的判定与性质a ，a ，b，aba ，b aba，b，ab P，a ，ba ，a ，b，a，bab3三种平行关系的转化4三种垂直关系的转化 易错警示1忽略判定定理和性质定理中的条件应用线面平行判定定理时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件；应用线面垂直及面面平行的判定定理时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件；应用面面垂直的性质定理时，忽略“直线在平面内”“直线垂直于两平面的交线”的条件等2把平面几何中的相关结论推广到空间直接利用如平面内垂直于同一条直线
2、的两条直线相互平行，这个结论在空间中不成立3不能准确掌握判定定理和性质定理如线面平行的性质定理中是过与平面平行的直线的平面与该平面的交线与已知直线平行，而非作出的直线；面面平行的性质定理中平行的两条直线一定是第三个平面与两平行平面的交线等4折叠问题中面对应不一致致误在解决折叠问题、探究性问题时，因为里面的线面位置发生变换，做题时忽略哪些变、哪些不变导致解题错误1(2019全国卷，7)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面解析若，则内有无数条直线与平行，反之则不成立；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若
3、，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立因此B中条件是的充要条件故选B.B2(2019全国卷，8)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线B图 图 3(文)(2017全国卷，6)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱
4、的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB 平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A.(理)(2019浙江卷，8)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相
5、等，P是棱VA上的点(不含端点)记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则()A，B，C，D，B解析 方法1：如图，取BC的中点D，作VO平面ABC于点O，由题意知点O在AD上，且AO2OD.作PEAC，PE交VC于点E，作PFAD于点F，则PF平面ABC.取AC的中点M，连接BM，VM，VM交PE于点H，连接BH，易知BHPE.作PGAC于点G，连接FG.由三垂线定理可知FGAC，作FNBM于点N.由作图可知平面PGF平面VMB，PHFN，所以PHFN.4(2019北京卷，12)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.
6、以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.若m且l，则lm成立(或若lm，l，则m)解析如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.(理)(2019全国卷，16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图)半正多面体
7、是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.266(2019全国卷，19)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离解析(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAA
8、E.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.解析(1)证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BGPG，故GHPD.又因为GH 平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC.又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC.又PA平面PAC，所以DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.典 题 例 析线面位置关系的命题真假判断线面位置关系的命题真假判断(1)已知是一个
9、平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A垂直B相交C异面 D平行D例 1解析因为是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m，n，且Am，A，所以n在平面内，m与平面相交，且A是m和平面相交的点，所以m和n异面或相交，一定不平行(2)(文)已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m，mn，则n解析对于选项A，若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；对于选项B，若m，n，则mn，故B正确；对于选项C，若m，mn，则n或n，故C错；对于选项D，若m，mn，则n或n或
10、n，故D错B(理)如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A|BM|是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使MB平面A1DEC判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法1借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断2借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定3借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断 跟踪
11、训练1(文)设l，m，n为三条不同的直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当l时，l垂直于内的任意一条直线，由于m，n，故“lm且ln”成立，反之，因为缺少m，n相交的条件，故不一定能推出“l”，故选A.A(理)已知直线l平面，直线m平面，给出下面有四个命题：lm；lm；lm；lmm与不相交则其中正确的命题为()A BC D解析由，l得l，又m，lm，正确；由，l得l或l，故不能得到lm，错误；由l，lm得m，又m，正确；由lm，l得m或m，故m，不相交，正确故选D.D2已知，是两个不同的平面，m，n是两
12、条不同的直线，有下列命题：若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若m，n，则mn；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若n，mn，则m且m.其中真命题有_.(填写所有正确命题的编号)解析若m，n平行于同一平面，则m与n平行或相交或异面，故错误；若n，则n垂直于内的所有直线，又m，则mn，故正确；若，不平行，则，相交，设l，在内作直线al，则a，故错误；若n，mn，则m或m或m或m，故错误所以正确命题的序号是.典 题 例 析空间平行关系的证明空间平行关系的证明如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD和SC的中点求证：(1)直线EG平面BDD1
13、B1.(2)平面EFG平面BDD1B1.例 2解析(1)如图，连接SB，E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.立体几何中证明平行关系的常用方法1证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行(2)利用平行四边形进行转换(3)利用三角形中位线定理证明(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2证明
14、线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行3证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行 典 题 例 析空间垂直关系的证明空间垂直关系的证明例 3例 4解析(1)因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，又因为PAAB，所以PA平面ABCD，又CD平面ABCD，所以PACD.(2)取AD的中点为E，连接BE，由已知得，BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，又
15、CDAD，BCCD，所以四边形BCDE是正方形，连接CE，所以BDCE.又因为BCAE，BCAE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以CEAB，则BDAB.由(1)知PA平面ABCD，所以PABD，又因为PAABA，所以BD平面PAB，因为BD平面PBD，所以平面PBD平面PAB.立体几何中证明垂直关系的常用方法(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直利用勾股定理逆定理利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直利
16、用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决 跟踪训练(2019北京一模)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.解析(1)平面PAD底面AB
17、CD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形BEAD.又BE 平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD.PACD.PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF，CDEF.又BECD且EFBEE，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.典 题 例 析立体几何中的折叠问题、探索性问题立体几
18、何中的折叠问题、探索性问题(1)如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC的中点，沿AE将ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为_.ED平面ACD；CD平面BED；BD平面ACD；AD平面BED.例 5解析因为在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC的中点，所以在折起的过程中，D点在平面BCE上的投影如图因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故错误；只有D点投影位于O2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BECD，此时CD不垂直于平面AEBC，故CD与平面BED不垂直，故错误；BD与AC所成角不能成直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故错误；
19、因为ADED，并且在折起过程中，存在一个位置使ADBE，且DEBEE，所以在折起过程中存在AD平面BED的位置，故正确(2)如图(1)，等腰梯形BCDP中，BCPD，BAPD于点A，PD3BC，且ABBC1.沿AB把PAB折起到PAB的位置，如图(2)，使PAD90.求证：CD平面PAC；求三棱锥APBC的体积；线段PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由1求解平面图形折叠问题的方法(1)分清翻折前后位置关系和数量关系哪些改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，尤其是垂直关系，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后，经
20、过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决2探索性问题求解的途径和方法(1)对命题条件探索的三种途径：先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件(2)对命题结论的探索方法：从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论3警示：对折叠问题，应明确线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口 跟踪训练(文)如图1，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BC
21、PC2.作如图2折叠，折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF.(2)求三棱锥MCDE的体积 解析(1)因为PD平面ABCD，所以PDMD.在矩形ABCD中MDCD，又PDCDD.所以MD平面CDEF，所以MDCF.又因为MFCF，所以CF与相交直线MD和MF都垂直，故CF平面MDF.解析(1)由已知，M为BC中点，且ABAC，所以AMBC.又因为BB1AA1，且AA1底面ABC，所以BB1底面ABC.因为AM底面ABC，所以BB1AM，又BB1BCB，所以AM平面BB1C1C.又因为AM平面APM，所以平面APM平面BB1C1C.(2)取C1B1中点D，连接A1D，DN，DM，B1C.由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DMA1A，且DMA1A，则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1DAM.又A1D 平面APM，AM平面APM，所以A1D平面APM.由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DNB1C.又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MPB1C，则DNMP.又DN 平面APM，MP平面APM，所以DN平面APM.由于A1DDND，所以平面A1DN平面APM.由于A1N平面A1DN，所以A1N平面APM.
