1、第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式(全国卷5年4考)【知识梳理知识梳理】1.1.两个实两个实数比较大小的依据数比较大小的依据(1)a-b0(1)a-b0a_b.a_b.(2)a-b=0(2)a-b=0a_b.a_b.(3)a-b0(3)a-b=b:ab_.(2)_.(2)传递性传递性:ab,bc:ab,bc_._.(3)(3)可加性可加性:ab:aba+cb+c.a+cb+c.(4)(4)可乘性可乘性:ab,c0:ab,c0_;ab,cb,cb,cd:ab,cd_._.babcacacbcacbcacbcacb+da+cb+d(6)(6)乘法法则乘法法则:ab0,cd0:ab0,c
2、d0_._.(7)(7)乘方法则乘方法则:ab0:ab0_(nN,n1)._(nN,n1).(8)(8)开方法则开方法则:ab0:ab0_(nN,n2)._(nN,n2).nnabacbdacbda an nbbn n3.3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系的关系判别式判别式=b=b2 2-4ac4ac00=0=000)(a0)的图象的图象 判别式判别式=b=b2 2-4ac4ac00=0=00+bx+c=0(a0)0)的根的根_ _ 没有实没有实数根数根axax2 2+bx+c0+bx+c0(a0)(a0)的解集的解集_R R有两
3、个相有两个相异实根异实根x x1 1,x x2 2(x(x1 1xx2 2)有两个相等有两个相等实根实根x x1 1=x=x2 2=x|xxx|xxxx2 2 x|xxx|xx1 1 b2a判别式判别式=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000axax2 2+bx+c0)+bx+c0)的解集的解集_ _x|xx|x1 1xxx0,ab0,则则abab 2.2.糖水不等式糖水不等式:若若ab0,m0,ab0,m0,则则 11.abbbm.aam3.3.分式不等式的符号分式不等式的符号:(1)0(0(0(0(0+bx+c0对任意实对任意实数数x x恒成立恒成立 不等式不等式axax2 2+bx
4、+c0+bx+cb(1)abacac2 2bcbc2 2()(2)(2)若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0+bx+c0的解集为的解集为R.R.()(3)(3)不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a0abcbc2 2ab;ab;反之反之,c=0,c=0时时,ab ac,ab ac2 2bcbc2 2.(2)(2).若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0+bx+c0的解集为的解集为 .(3)(3).当当a=b=0,c0a=b=0,c0时时,不等式不等式axax2 2+bx+c0+
5、bx+c0也在也在R R上恒上恒成立成立.2.2.若不等式若不等式axax2 2-bx+c0-bx+c0的解集是的解集是(-2,3),(-2,3),则不等式则不等式bxbx2 2+ax+c0+ax+c0的解集是的解集是_._.【解析解析】因为不等式因为不等式axax2 2-bx+c0-bx+c0,a0,且对应方程且对应方程axax2 2-bx+c=0-bx+c=0的实数根是的实数根是-2-2和和3,3,由根与由根与系数的关系系数的关系,得得 即即 c2 3,ab23,acb61aa，所以所以b0,b0,且且所以不等式所以不等式bxbx2 2+ax+c0+ax+c0可化为可化为x x2 2+x-
6、60,+x-60,解得解得-3x2,-3xb,cb,cb-d;a-cb-d;ab0,cdb0,cdbd;acbd;ab0ab0 ab0ab0 A.A.B.B.C.C.D.D.33ab；2211.ab【解析解析】选选D.D.利用不等式的性质易知正确利用不等式的性质易知正确.2.(20162.(2016全国卷全国卷)若若ab1,0cb1,0c1,则则()(源于必修源于必修5P745P74练习练习3)3)A.aA.ac cbbc cB.abB.abc cbabac cC.alogC.alogb bcblogcbloga ac c D.logD.loga aclogclogb bc c【解析解析】选选
7、C.C.对对A:A:由于由于0c1,0cb1ab1a ac cbbc c,A,A错误错误.对对B:B:由于由于-1c-10,-1c-1b1ab1a ac-1c-1bbc-1c-1babac cab1),f(x)=xln x(x1),则则f(x)=ln x+110,f(x)f(x)=ln x+110,f(x)在在(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增,aln cln bbln cln a，ln cbln bln caln a，因此因此f(a)f(b)0f(a)f(b)0aln abln b0aln abln b0 又由又由0c10c1得得ln c0,ln calogcalogb bc,Cc,C
8、正确正确.对对D:D:要比较要比较logloga ac c和和loglogb bc,c,只需比较只需比较 和和 而函数而函数y=ln xy=ln x在在(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增,故故11.aln abln bln cln caln abln bln cln aln c,ln bab1ab1ln aln b0ln aln b0 又由又由0c10c1得得ln c0,ln clogclogb bc,Dc,D错误错误.11.ln aln bln cln cln aln b3.(3.(必修必修5P80A5P80A组组T3T3改编改编)若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2
9、 2-(m+1)x-m=0(m+1)x-m=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根,则则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意知由题意知=-(m+1)=-(m+1)2 2+4m0,+4m0,即即m m2 2+6m+10,+6m+10,解得解得m-3+2 m-3+2 或或m-3-2 .m-3-2 .答案答案:(-,-3-2 )(-3+2 ,+)(-,-3-2 )(-3+2 ,+)2222考点一比较大小与不等式的性质考点一比较大小与不等式的性质【题组练透题组练透】1.1.设设0ab1,0abbb3 3B.B.C.aC.ab b11D.lg(b-a)0D.lg(b-a)aA.c
10、baB.acbB.acbC.cbaC.cbaD.acbD.acb【解析解析】选选A.A.因为因为c-b=4-4a+ac-b=4-4a+a2 2=(a-2)=(a-2)2 20,0,所以所以cb.cb.又又b+c=6-4a+3ab+c=6-4a+3a2 2,所以所以2b=2+2a2b=2+2a2 2,所以所以b=ab=a2 2+1,+1,所以所以b-ab-a=a=a2 2-a+1=0,-a+1=0,所以所以ba,ba,所以所以cba.cba.213(a)243.3.若若ab0,ab0,且且ab=1,ab=1,则下列不等式成立的是则下列不等式成立的是()A.a+logA.a+log2 2(a+b)
11、(a+b)B.logB.log2 2(a+b)a+(a+b)a+C.a+logC.a+log2 2(a+b)(a+b)D.logD.log2 2(a+b)a+(a+b)a+b0,ab=1,ab0,ab=1,所以所以loglog2 2(a+b)log(a+b)log2 2(2 )=1.(2 )=1.因为因为 =a =a-1-12 2-a-a,令令f(a)=af(a)=a-1-12 2-a-a,又因为又因为b=,ab0,b=,ab0,所以所以a ,a ,解得解得a1.a1.所以所以f(a)=-af(a)=-a-2-22 2-a-a-a-a-1-12 2-a-aln 2ln 2abaa1ba221a
12、1a=-a=-a-2-22 2-a-a(1+aln 2)0,(1+aln 2)0,所以所以f(a)f(a)在在(1,+)(1,+)上单调递减上单调递减.所以所以f(a)f(1),f(a)f(1),即即 .a+bloga+=a+a=2aa+blog2 2(a+b),(a+b),所以所以 loglog2 2(a+b)a+.(a+b)b0,ab=1,ab0,ab=1,所以取所以取a=2,b=,a=2,b=,此时此时 log log2 2(a+b)=log(a+b)=log2 2 ,所以所以 loglog2 2(a+b)a+.(a+b)b1,f(x)=mR,ab1,f(x)=则则f(a)f(a)与与f
13、(b)f(b)的大小关的大小关系是系是()A.f(a)f(b)A.f(a)f(b)B.f(a)f(b)B.f(a)0,0,又又ab1,ab1,所以所以f(a)f(b).f(a)f(b).综上综上,f(a)f(b).,f(a)f(b).【规律方法规律方法】1.1.用同向不等式求差范围的技巧用同向不等式求差范围的技巧 a-dx-yb-c.a-dx-y0-x-30的的解集为解集为()33A.x|1x B.x|xx12233C.x|x1 D.x|x1x22 或或【解析解析】选选B.B.由由2x2x2 2-x-30,-x-30,得得(x+1)(2x-3)0,(x+1)(2x-3)0,解得解得x x 或或
14、x-1.x0-x-30的解集为的解集为 323x|xx1.2 或(2)(2)已知不等式已知不等式axax2 2-bx-10-bx-10的解集是的解集是 则不等式则不等式x x2 2-bx-a0-bx-a0的解集是的解集是_._.11x|x23，【解析解析】由题意由题意,知知 是方程是方程axax2 2-bx-1=0-bx-1=0的两个的两个根根,且且a0,a0,所以所以 故不等式故不等式x x2 2-bx-a0-bx-a0为为x x2 2-5x+60,-5x+60,解得解得x3x3或或x2.x2.1123，11b(),a6,23a111b5.(),23a 解得答案答案:x|x3x|x3或或x2
15、x2(3)(3)解关于解关于x x的不等式的不等式x x2 2-(a+1)x+a0.-(a+1)x+a0.【解析解析】原不等式可化为原不等式可化为(x-a)(x-1)0,(x-a)(x-1)1a1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为(1,a);(1,a);当当a=1a=1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为 ;当当a1a1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为(a,1).(a,1).【互动探究互动探究】将本例将本例(3)(3)中的不等式改为中的不等式改为axax2 2-(a+1)x-(a+1)x+10,+10,求不等式的解集求不等式的解集.【解析解析】若若a=0,a=0,原不等式等价于原不
16、等式等价于-x+10,-x+11.x1.若若a0,a0,(x-1)0,解得解得x x1.x1.若若a0,a0,原不等式等价于原不等式等价于 (x-1)0.(x-1)0.当当a=1a=1时时,=1,(x-1)0,=1,(x-1)1a1时时,1,1,解解 (x-1)0(x-1)0得得 x1;x1;当当0a10a1,1,解解 (x-1)0(x-1)0得得1x .1x .综上所述综上所述:当当a0a1;x|x1;当当0a10a1时时,解集为解集为x|1xx|1x1a1时时,解集为解集为x|x1.x|x0(0(0)的形式的形式:当当a=0a=0时时,转化为一次不等式转化为一次不等式.当当a0a0a0时时
17、,直接求解直接求解.(2)(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别讨论判别式式与与0 0的关系的关系.(3)(3)确定无根或一个根时可直接写出解集确定无根或一个根时可直接写出解集,确定方程有确定方程有两个根时两个根时,要讨论两根的大小关系要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式从而确定解集形式.【对点训练对点训练】1.1.若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为x|-1x2,x|-1x2ax+1)+b(x-1)+c2ax的解集为的解集为()A.x|-2x1A.x|-2x1B.x|x-2B.x|x1x1C.x|0 x3C.x
18、|0 x3D.x|x0D.x|x3x3【解析解析】选选C.C.由题意由题意a(xa(x2 2+1)+b(x-1)+c2ax,+1)+b(x-1)+c2ax,整理得整理得axax2 2+(b-2a)x+(a+c-b)0+(b-2a)x+(a+c-b)0,又不等式又不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的的解集为解集为x|-1x2,x|-1x2,则则a0,a0,且且-1,2-1,2分别为方程分别为方程axax2 2+bx+bx+c=0+c=0的两根的两根,由根与系数的关系得由根与系数的关系得将两边同除以将两边同除以a a得得 将代入得将代入得x x2 2-3x0,-3x0,解得解得0 x3.
19、0 x3.2bcbx(2)x(1)0aaa，-2.2.不等式不等式0 x0-x2x12x3,或，-故原不等式的解集为故原不等式的解集为x|-2x-1x|-2x-1或或2x3.2x3.答案答案:x|-2x-1x|-2x-1或或2x320-ax-a0的解集为的解集为(-,(-,+),+),则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】设设f(x)=xf(x)=x2 2-ax-a,-ax-a,则关于则关于x x的不等式的不等式x x2 2-ax-a0-ax-a0的解集为的解集为(-,+)(-,+)f(x)0f(x)0在在(-,+)(-,+)上恒成立上恒成立=(-a)=(-a)2 2-
20、4-41 1(-a)=a(-a)=a2 2+4a0,+4a0,解得解得-4a0.-4a0.答案答案:(-4,0)(-4,0)【状元笔记状元笔记】xRxR的二次不等式确定参数的范围时的二次不等式确定参数的范围时,结合二次函数的结合二次函数的图象图象,利用判别式来求解利用判别式来求解.命题角度命题角度2 2给定区间上的恒成立问题给定区间上的恒成立问题【典例典例】设函数设函数f(x)=mxf(x)=mx2 2-mx-1(m0),-mx-1(m0),若对于若对于x1,x1,3,f(x)-m+53,f(x)-m+5恒成立恒成立,则则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】要使要使f(x)-m+
21、5f(x)-m+5在在1,31,3上恒成立上恒成立,则则mxmx2 2-mx+m-60,-mx+m-60,即即m m-60m m-60m0时时,g(x),g(x)在在1,31,3上是增函数上是增函数,213(x)24-213(x)24-所以所以g(x)g(x)maxmax=g(3)=7m-60.=g(3)=7m-60.所以所以m ,m ,则则0m .0m .当当m0m0时时,g(x),g(x)在在1,31,3上是减函数上是减函数,所以所以g(x)g(x)maxmax=g(1)=m-60.=g(1)=m-60.所以所以m6,m6,所以所以m0.m0+(a-4)x+4-2a0恒成立恒成立,则则x
22、x的取值范围为的取值范围为()A.(-,2)(3,+)A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,3)D.(1,3)【解析解析】选选C.C.采用转化法把不等式的左端看成关于采用转化法把不等式的左端看成关于a a的的一次函数一次函数,记记f(a)=(x-2)a+xf(a)=(x-2)a+x2 2-4x+4,-4x+4,则由则由f(a)0f(a)0对于任意的对于任意的a-1,1a-1,1恒成立恒成立,所以所以f(-1)=xf(-1)=x2 2-5x+60,-5x+60,且且f(1)=xf(1)=x2 2-3x+2
23、0-3x+20即可即可,解不等式组解不等式组得得x1x3.x3.22x5x60,x3x20,【状元笔记状元笔记】已知参数已知参数ma,bma,b确定确定x x的范围的范围:要注意变换主元要注意变换主元,一般地一般地,知道谁的范围知道谁的范围,就选谁当主元就选谁当主元,求谁的范围求谁的范围,谁就是参数谁就是参数.【对点练对点练找规律找规律】1.1.若不等式若不等式(m+1)x(m+1)x2 2-(m-1)x+3(m-1)0-(m-1)x+3(m-1)0对任意实数对任意实数x x恒恒成立成立,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是()A.(1,+)A.(1,+)B.(-,-1)B.(-,-1)
24、C.C.D.(1,+)D.(1,+)13,11（）13,11（）【解析解析】选选C.C.分情况讨论分情况讨论,当当m=-1m=-1时时,不等式化为不等式化为2x-2x-60,60,即即x3,x3,显然不对任意实数显然不对任意实数x x恒成立恒成立.当当m-1m-1时时,由题意得由题意得 所以所以m m00恒成立恒成立,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.2x2xax，【解析解析】因为因为x1,+)x1,+)时时,f(x)=0,f(x)=0恒成立恒成立,即即x x2 2+2x+a0+2x+a0恒成立恒成立.即当即当x1x1时时,a-(x,a-(x2 2+2x)=g(x)+2x)=g
25、(x)恒成立恒成立.而而g(x)=-(xg(x)=-(x2 2+2x)=-(x+1)+2x)=-(x+1)2 2+1+1在在1,+)1,+)上单调递减上单调递减,所所以以g(x)g(x)maxmax=g(1)=-3,=g(1)=-3,故故a-3.a-3.2x2xax所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是a|a-3.a|a-3.答案答案:a|a-3a|a-33.3.不等式不等式axax2 2-2x-a+10-2x-a+10对满足对满足|a|1|a|1的一切实数的一切实数a a都成都成立立,则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由由|a|1,|a|1,得得-1a1,
26、-1a1,不等式变形为不等式变形为(x(x2 2-1)a-1)a-(2x-1)0,-(2x-1)0,不等式可以看成关于不等式可以看成关于a a的一次函数的一次函数,所以只所以只需需 解得解得 -1x2.-1x2.答案答案:(-1,2)(-1,2)2222x12x10,x2x0,x12x10,x2x20,即33思想方法系列思想方法系列1414转化与化归思想在一元二次不等转化与化归思想在一元二次不等式中的应用式中的应用【思想诠释思想诠释】转化与化归思想转化与化归思想,就是在研究和解决数就是在研究和解决数学问题时采用某种方式学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公借助某种函数性质、图象、公式
27、或已知条件将问题通过变换加以转化式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决进而达到解决问题的思想问题的思想.【典例典例】(2019(2019秦皇岛模拟秦皇岛模拟)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b+ax+b(a,bR)(a,bR)的值域为的值域为0,+),0,+),若关于若关于x x的不等式的不等式f(x)cf(x)c的的解集为解集为(m,m+6),(m,m+6),则实数则实数c c的值为的值为_._.【解析解析】由题意知由题意知f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b+ax+b=因为因为f(x)f(x)的值域为的值域为0,+),0,+),所以所以b-=0,b-=0
28、,即即b=,b=,所以所以f(x)=f(x)=又因为又因为f(x)c,f(x)c,所以所以 c,0Ax+By+C0 直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0某一侧的所有点某一侧的所有点组成的平面区域组成的平面区域不包括不包括_Ax+By+C0Ax+By+C0包括包括_不等式组不等式组各个不等式所表示平面区域的各个不等式所表示平面区域的_边界直线边界直线边界直线边界直线公共部分公共部分2.2.线性规划中的基本概念线性规划中的基本概念名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量x,yx,y组成的不等式组成的不等式(组组)线性约束条件线性约束条件由由x,yx,y的的_不等式不等式(或方程或方程)
29、组成组成的不等式的不等式(组组)目标函数目标函数关于关于x,yx,y的函数的函数_,_,如如z=2x+3yz=2x+3y等等线性目标函数线性目标函数 关于关于x,yx,y的的_解析式解析式一次一次解析式解析式一次一次名称名称意义意义可行解可行解满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解_可行域可行域_组成的集合组成的集合最优解最优解使目标函数取得使目标函数取得_或或_的的可行解可行解线性规划问题线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的在线性约束条件下求线性目标函数的_或或_问题问题(x,y)(x,y)所有可行解所有可行解最大值最大值最小值最小值最大值最大值最小值最小值【常用结论常用结论】1.
30、1.平面区域的确定平面区域的确定:(1)(1)直线定界直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线不等式中无等号时直线画成虚线,有等号有等号时直线画成实线时直线画成实线.(2)(2)特殊点定域特殊点定域:若直线不过原点若直线不过原点,特殊点常选原点特殊点常选原点;若若直线过原点直线过原点,则特殊点常选取则特殊点常选取(0,1)(0,1)或或(1,0)(1,0)来验证来验证.2.2.利用利用“同号上同号上,异号下异号下”判断二元一次不等式表示的判断二元一次不等式表示的平面区域平面区域:对于对于Ax+By+C0Ax+By+C0或或Ax+By+C0,Ax+By+C0B(Ax+By+C)0时时,区域为直线区
31、域为直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的上方的上方;(2)(2)当当B(Ax+By+C)0B(Ax+By+C)0Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线表示的平面区域一定在直线Ax+ByAx+By+C=0+C=0的上方的上方.()(2)(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域域.()(3)(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()提示提示:(1)(1).当当B0B0Ax+By+C0表示的平面区表示的平面区域在直线域在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的下方的下方.(2)(2).当二元一次不
32、等式组中的不等式所表示的区域当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域就无法表示平面上的一个区域.(3).(3).当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时时,最优解无穷多最优解无穷多.2.2.实数实数x,yx,y满足满足 使使z=ax+yz=ax+y取得最大值的最优取得最大值的最优解有解有2 2个个,则则z z1 1=ax+y+1=ax+y+1的最小值为的最小值为()A.0A.0B.-2B.-2C.1C.1D.-1D.-1xy0,|xy|1,【解析解析】选选A.A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴
33、画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示影部分所示,因为因为z=ax+yz=ax+y取得最大值的最优解有取得最大值的最优解有2 2个个,所以所以-a=1,a=-1,-a=1,a=-1,所以当所以当x=1,y=0 x=1,y=0或或x=0,y=-1x=0,y=-1时时,z=ax+y=-x+y,z=ax+y=-x+y有最小值有最小值-1,-1,所以所以ax+y+1ax+y+1的最小值是的最小值是0.0.题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修5P86T35P86T3改编改编)不等式组不等式组 表示的平表示的平面区域是面区域是()x3y60,xy20,【解析解析】选选B.x-3y+60
34、B.x-3y+60表示直线表示直线x-3y+6=0 x-3y+6=0及其右下方及其右下方部分部分,x-y+20,x-y+20表示直线表示直线x-y+2=0 x-y+2=0左上方部分左上方部分,故不等式故不等式组表示的平面区域为选项组表示的平面区域为选项B.B.2.(20182.(2018全国卷全国卷)若若x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=x+yz=x+y的最大值为的最大值为_.(_.(源于必修源于必修5P91T1)5P91T1)x2y50,x2y30,x50,【解析解析】画出可行域如图画出可行域如图,由由z=x+yz=x+y得得y=-x+z,y=-x+z,作平行于作平行于y=-xy
35、=-x的一系列平行线的一系列平行线,可以可以得到过点得到过点A A时时,纵截距纵截距z z最大最大,由由x-2y+3=0 x-2y+3=0与与x=5x=5解得解得A(5,4),A(5,4),代入代入z=x+yz=x+y得其最大值为得其最大值为9.9.答案答案:9 93.(3.(必修必修5P93B5P93B组组T1T1改编改编)若实数若实数x,yx,y满足满足 则不等式组表示区域的面积为则不等式组表示区域的面积为_,z=_,z=的取值的取值范围是范围是_._.x3y30,x0,y0,y2x1【解析解析】如图所示如图所示,不等式组表示区域的不等式组表示区域的面积为面积为 1 13=,z=3=,z=
36、理解为区理解为区域上的点域上的点P(x,y)P(x,y)与点与点Q(1,-2)Q(1,-2)连线所在直连线所在直线斜率的变化范围线斜率的变化范围,k,kAQAQ=1,k=1,kOQOQ=-2,=-2,结合图形结合图形分析知分析知z=z=的取值范围为的取值范围为(-,-21,+).(-,-21,+).1232y2x1023 121y2x1答案答案:(-,-21,+)(-,-21,+)32考点一二元一次不等式考点一二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域【题组练透题组练透】1.1.点点(3,1)(3,1)和和(-4,6)(-4,6)在直线在直线3x-2y+a=03x-2y+a=0的两侧的
37、两侧,则则()A.a-7A.a24a24B.-7a24B.-7a24C.a=-7C.a=-7或或a=24a=24D.D.以上都不对以上都不对【解析解析】选选B.B.依题意依题意,(9-2+a)(-12-12+a)0,(9-2+a)(-12-12+a)0,解得解得-7-7a24.a24.2.2.不等式不等式(x-2y+1)(x+y-3)0(x-2y+1)(x+y-3)0在坐标平面内表示的区在坐标平面内表示的区域域(用阴影部分表示用阴影部分表示),),应是下列图形中的应是下列图形中的()【解析解析】选选C.(x-2y+1)(x+y-3)0C.(x-2y+1)(x+y-3)0 或或 画出平面区域后画
38、出平面区域后,只有只有C C符合题意符合题意.x2y 10,xy30 x2y 10,xy30.3.3.不等式组不等式组 所表示的平面区域内的整点个数所表示的平面区域内的整点个数为为()A.2A.2B.3B.3C.4 C.4 D.5D.5x0,y0,2xy6【解析解析】选选C.C.由不等式由不等式2x+y62x+y6得得y6-2x,y0,y0,x0,y0,则则当当x=1x=1时时,0y4,0y4,则则y=1,2,3,y=1,2,3,此时整点有此时整点有(1,1),(1,2),(1,1),(1,2),(1,3);(1,3);当当x=2x=2时时,0y2,0y2,则则y=1,y=1,此时整点有此时整
39、点有(2,1);(2,1);当当x=3x=3时时,y,y无解无解,故平面区域内的整点个数为故平面区域内的整点个数为4.4.4.4.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,不等式组不等式组 表示的表示的平面区域的面积是平面区域的面积是()A.A.B.B.C.2C.2D.2 D.2 3xy0,x3y20,y03233【解析解析】选选B.B.作出不等式组表示的平面区域是以点作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0),B(-2,0)O(0,0),B(-2,0)和和A(1,)A(1,)为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,如如图所示的阴影部分图所示的阴影部分(含边界含边界),),由图知该平面区域的面由图
40、知该平面区域的面积为积为 2 2 =.=.31233+【规律方法规律方法】1.1.求平面区域的面积求平面区域的面积(1)(1)首先画出不等式组表示的平面区域首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画若不能直接画出出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而从而作出平面区域作出平面区域.(2)(2)对平面区域进行分析对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高若为三角形应确定底与高,若若为规则的四边形为规则的四边形(如平行四边形或梯形如平行四边形或梯形),),可利用面积公可利用面积公式直接求解式直接求解,若为不规则四边形若为不规则四边形,可分割成几个三角
41、形可分割成几个三角形分别求解再求和即可分别求解再求和即可.2.2.利用几何意义求解的平面区域问题利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图也应作出平面图形形,利用数形结合的方法去求解利用数形结合的方法去求解.考点二线性规划中的最值问题考点二线性规划中的最值问题【明考点明考点知考法知考法】线性规划问题是高考的重点也是热点线性规划问题是高考的重点也是热点,线性规划的线性规划的最值问题多以选择题或填空题的形式呈现最值问题多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度中试题难度中等偏下等偏下.命题角度命题角度1 1求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值【典例典例】(2018(2018全国卷全国卷)若若x
42、,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=3x+2yz=3x+2y的最大值为的最大值为_._.世纪金世纪金榜导学号榜导学号x2y20,xy 10,y0,【解析解析】画出可行域如图阴影部分所示画出可行域如图阴影部分所示(含边界含边界),),可知目标函数过点可知目标函数过点(2,0)(2,0)时取得最值时取得最值,z,zmaxmax=3=32+22+20=6.0=6.答案答案:6 6【状元笔记状元笔记】求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得处取得,所以我们可以直接解出可行域的顶点所以我们可以直接解
43、出可行域的顶点,然后代然后代入目标函数以确定目标函数的最值入目标函数以确定目标函数的最值.命题角度命题角度2 2求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围【典例典例】(2018(2018太原模拟太原模拟)若若x,yx,y满足满足 且且z=3x-yz=3x-y的最大值为的最大值为2,2,则实数则实数m m的值为的值为 ()A.A.B.B.C.1C.1D.2D.2xy1,mxy0,3x2y20,1323【解析解析】选选D.D.若若z=3x-yz=3x-y的最大值为的最大值为2,2,则此时目标函数则此时目标函数为为y=3x-2,y=3x-2,直线直线y=3x-2y=3x-2与与3x-2y+2=03x-
44、2y+2=0和和x+y=1x+y=1分别交于分别交于A(2,4),B mx-y=0A(2,4),B mx-y=0经过其中一点经过其中一点,所以所以m=2m=2或或m=m=当当m=m=时时,经检验不符合题意经检验不符合题意,故故m=2.m=2.3 1,4 4（）,1,313【状元笔记状元笔记】由目标函数的最值求参数的两种形式由目标函数的最值求参数的两种形式(1)(1)把参数当成常数用把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法根据线性规划问题的求解方法求出最优解求出最优解,代入目标函数确定最值代入目标函数确定最值,通过构造方程或通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围不等式求解参数的值或取值范
45、围;(2)(2)先分离含有参数的式子先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含有通过观察的方法确定含有参数的式子所满足的条件参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置确定最优解的位置,从而求从而求出参数出参数.【对点练对点练找规律找规律】1.(20171.(2017全国卷全国卷)设设x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=x-yz=x-y的取值范围是的取值范围是()A.-3,0A.-3,0B.-3,2B.-3,2C.0,2C.0,2D.0,3D.0,33x2y60 x0y0，【解析解析】选选B.B.绘制不等式组表示的可行域绘制不等式组表示的可行域,结合目标函结合目标函数的几何意义可得函数在
46、点数的几何意义可得函数在点A(0,3)A(0,3)处取得最小值处取得最小值z=0-z=0-3=-3.3=-3.在点在点B(2,0)B(2,0)处取得最大值处取得最大值z=2-0=2.z=2-0=2.2.(20182.(2018新乡模拟新乡模拟)若实数若实数x,yx,y满足满足 且且z=mx-y(m2)z=mx-y(m2)的最小值为的最小值为 则则m m等于等于()2xy20,2xy60,0y3,52，551A.B.C.1 D.463【解析解析】选选C.C.作出约束条件所表示作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示的可行域如图中阴影部分所示,z=mx-y(m2)z=mx-y(m2)的最小值为
47、的最小值为 当当0m20m0,b0,a0,b0,分别以分别以 代替代替a,ba,b可得可得a+b2 a+b2 即即 a0,b0a0,b0a=ba=babab2a,bab,abab2设设a0,b0,a0,b0,则则a,ba,b的算术平均数为的算术平均数为 几何平均数为几何平均数为 基本不等式可叙述为基本不等式可叙述为_ab2，ab,两个正数的算术平均数不小两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数于它们的几何平均数.2.2.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值已知已知x0,y0,x0,y0,则则:(1)(1)如果积如果积xyxy是定值是定值p,p,那么当且仅当那么当且仅当x=yx=y时时,x
48、+y,x+y有有_值是值是2 (2 (简记简记:_).:_).(2)(2)如果和如果和x+yx+y是定值是定值p,p,那么当且仅当那么当且仅当x=yx=y时时,xy,xy有有_值是值是 (简记简记:_).:_).p2p4最小最小积定和最小积定和最小最大最大和定积最大和定积最大【常用结论常用结论】1.1.基本不等式的两种常用变形形式基本不等式的两种常用变形形式(1)ab (a,bR,(1)ab (a,bR,当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号).).(2)a+b2 (a0,b0,(2)a+b2 (a0,b0,当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号).).2ab()2ab2.2.几个
49、重要的结论几个重要的结论22222abab(1)().22ba(2)2(ab0).ab2abab(3)ab(a0,b0).1122ab+【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确(在括号内打在括号内打“”“”或或“”)”)(1)(1)两个不等式两个不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab与与 成立的条件是成立的条件是相同的相同的.()abab2(2)(2)函数函数y=2x+y=2x+的最小值是的最小值是2.2.()(3)x0(3)x0且且y0y0是是 2 2的充要条件的充要条件.()12xxyyx提示提示:(1)(1).不等式不等式a
50、 a2 2+b+b2 22ab2ab成立的条件是成立的条件是a,bR;a,bR;不等式不等式 成立的条件是成立的条件是a0,b0.a0,b0.(2)(2).函数函数y=2x+y=2x+的值域是的值域是(-,-22,+),(-,-22,+),没没有最小值有最小值.(3)(3).x0.x0且且y0y0是是 2 2的充分不必要条件的充分不必要条件.abab212xxyyx2.2.在下列函数中在下列函数中,最小值等于最小值等于2 2的函数是的函数是()22xx1A.yxx1B.ycos x(0 x)cos x2x3C.yx24D.ye2e 【解析解析】选选D.D.当当x0 x0时时,y=x+-2,y=
