1、2021人教A版高考数学总复习离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量知 识 梳 理随着试验结果变化而变化的变量称为_，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_随机变量.随机变量离散型2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表称为离散型随机变量X的_.(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1，2，n)；_1.概率分布列p1p2pn3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为，其中pP(X1)称为成功概率.常用结论与微点提醒随机变
2、量的线性关系若X是随机变量，YaXb，a，b是常数，则Y也是随机变量.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.()(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.()解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2
3、)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材选修23P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是_.答案0，1，23.(多选题)(老教材选修23P77A1改编)已知随机变量的分布如下：则实数a的值为()答案BC4.(2020广州调研)若随机变量X的分布列为则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A.(，
4、2 B.1，2C.(1，2 D.(1，2)解析由随机变量X的分布列知：P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1，2.答案C5.(2020菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为()答案C6.(2019福州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)_.解析由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，考点一离散型随机变量分布列的
5、性质(2)(2019南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为则P(|X3|1)_.规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.则P(X2)()A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6答案(1)A(2)D考点二离散型随机变量的分布列【例2】(2019冀州期末)有编号为1，2，3，n的n个学生，入座编号为1，2，3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法.(1)求n的值；
6、(2)求随机变量X的概率分布列.解得n4或n3(舍去)，所以n4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以X的概率分布列为规律方法求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.【训练2】(2020济南调研)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质
7、量指标值，若该项质量指标值落在20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表：图1：设备改造前样本的频率分布直方图表1：设备改造后样本的频数分布表(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值；(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在20，25)或30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相
8、应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列.解(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下：417.51622.54027.51232.51837.51042.53 020.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.随机变量X的取值为240，300，360，420，480.所以随机变量X的分布列为考点三超几何分布测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：解(1)因为20人中答对第5题的人数为4，所以，估计240人中有2400.248人实测答对第5题.(2)X的所有可能取值是0，1，2.X的分布列为(3)将抽
9、样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度.列表如下：因为S0.0120.05，所以，该次测试的难度预估是合理的.规律方法1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【训练3】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷
10、阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去，(1)求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数.(2)为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列.(2)A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，相应概率为故其分布列为
