1、二项式定理二项式定理 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点二项展开式二项展开式 二项式系数二项式系数 通项通项 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点降幂降幂 升幂升幂 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点等距离等距离 C2nnC21nnC21nn忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点求展开式中的特定项或特求展开式中的特定项或特 定项的系数定项的系数 rrrrrrxCxxC434842882)21(33)21(rrrnrnxxC.)21(32rnrrnxC混淆二项展开式的项与项数以混淆二项展开式的项与项数以及二项式系数与项的系数致误及二项式系数与项的系数致误23x23x23x23x
2、,228rrx排列、组合排列、组合计数原理计数原理计计数数原原理理二项式定理二项式定理组合组合通项通项二项式定理二项式定理二项式系数性质二项式系数性质分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理排列排列排列的定义排列的定义排列数公式排列数公式组合的定义组合的定义组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用011C()CCCnnnnnnnrn rrnnabaabb aab 1.二项式定理二项式定理(公式公式)1Crn rrrnTab 122CCC()C11nrrnnnnnnxxxxx 特特别别：通项为第通项为第r+1项：项：主要性质和主要结论：主要性质和主要结论：6.二项式定理的应用：二
3、项式定理的应用：解决有关展开式中的指定项、近似计算、整除问题、证解决有关展开式中的指定项、近似计算、整除问题、证明某些组合数不等式、明某些组合数不等式、结合放缩法证明与指数有关的不等式结合放缩法证明与指数有关的不等式.012CCCC2nnnnnn024CCCnnn13512CCCnnnn 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点2.二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端对称性：与首末两端_的两个二项式系数的两个二项式系数相等，即相等，即 CC.mn mnn “等距离等距离”(2)增减性与最大值：增减性与最大值：二项式系数二项式系数 ，当，当_时时,二项式系数是递增的；当二项式
4、系数是递增的；当_时，二项式系数是时，二项式系数是递减的递减的.当当n是偶数时，是偶数时，中间的一项中间的一项 _取得最大值取得最大值;当当n是奇数时，中间两项是奇数时，中间两项_和和_相等，且相等，且 同时取得最大值同时取得最大值.CrnC2nn12nr 12nr C12nn C12nn 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于2n.012CCCC2Cknnnnnnn (a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.024135CCCC
5、CCnnnnnn (3)(3)各二项式系数的和各二项式系数的和3.二项式系数的性质二项式系数的性质忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点解法一解法一:5545524C(3)C22xx 例例1.求求(x2十十3x十十2)5的展开式中的展开式中x的系数的系数445C3 2240.所以所以x的系数为的系数为2525(32)(3)2xxxx251245(3)C(3)2xxxx 【点评点评】三项式不能用二项式定理三项式不能用二项式定理,必须转化必须转化为二项式为二项式 解法二：因为解法二：因为(x2十十3x十十2)5(x2十十3x十十2)(x2十十3x十十2)(x2十十3x十十2)(x2十十3x十十2
6、)(x2十十3x十十2),例例1.求求(x2十十3x十十2)5的展开式中的展开式中x的系数的系数 所以所以(x2十十3x十十2)5 展开式的各项是由五个展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的因式中各选一项相乘后得到的.则它的一次项只能从五个因式中的一个取则它的一次项只能从五个因式中的一个取一次项一次项3x,另四个因式中取常数项另四个因式中取常数项2相乘得到相乘得到.445C32240.xx所以所以x的系数为的系数为 240.解法三解法三:45555CC 2x 所以含所以含x的项为的项为255(32)(1)(2)xxxx55(1)(2)xx554455+C1C2x=5 325 16240
7、.xxx 例例1.求求(x2十十3x十十2)5的展开式中的展开式中x的系数的系数.【1 1】展开式中展开式中x4的系数是的系数是_._.428312(1)(1 2)(1 3)xxxxxx 334()Cxx 1441444144.x 2328(2+)Cxx 11312(3C)+xx 【2 2】多项式多项式(1-2x)5(2+x)含含x3项的系数项的系数是是 .-1203322355(2)(2)2 CC120.xxxx 【3】展开式中的常数项是展开式中的常数项是_.121133321321(2)(CCC2)Cxx 2321(2)xx 20.2321(2)xx 61()xx 6 261=(1)Cr+
8、rrrTx 363(21 C0.)20【4 4】2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx 的展开式中的展开式中x2 的系数是的系数是_.0122332345C(1)C(1)C(1)C 5(1)1(1)1(1)xxx 6(1)(1).xxx 在在(x-1)6的展开式中的展开式中,含有含有x3项的系数为项的系数为36C20.原式原式-20【5 5】三项式转化为二项式三项式转化为二项式81(1)xx 展展开开式式中中的的常常数数项项为为_._.8811(1)()1xxxx 0817788888111C()C()C()Cxxxxxx 再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数
9、项得042342618888684828C CC CC CC CC =1107.=1107.1 107【6】的展开式中的展开式中 x6 项的系数项的系数.解解:62666C()C,rrrrxx 的通项是的通项是55555CC(2)(1)(1)2.sssssssxx 5(21)x 65(1)(21)xx 6(1)x 的通项是的通项是65(1)(21)xx 的通项是的通项是1622565C C(1)2.rsrsssx 由题意知由题意知,(0,6,0,52)4rrss 0,2;rs解得解得2,1;rs4,0.rs1626,2rs 202356(C1)2C 所以所以 x6 的系数为的系数为:12456
10、(C C1)2 040556(C1)2C 640.【点评点评】对于较为复杂的二项式与二项式对于较为复杂的二项式与二项式乘积乘积,利用两个通项之积比较方便运算利用两个通项之积比较方便运算.7760167(31).xa xa xa xa 1357(1);aaaa 求求0246(2);aaaa 0127(3)|.aaaa 7()(31),f xx 0127(1),faaaa 01237(1),faaaaa 7713572()(1)(1)24aaaaff 解解:设设6131357(1)228128.aaaa 例例2.已知已知0246(1)(1)(2)8256;2ffaaaa (3)因为因为 是负数是负
11、数,0127aaaa 0127()aaaa 77(1)(4)4.f 1357,a a a a0127|aaaa 7760167(31).xa xa xa xa 0127(3)|.aaaa 例例2.已知已知 2(2)xaa xa xa xaaaa 3 33 30 01 12 23 32 22 20 02 21 13 31 1.设设3 3.求求:的的值值.1)aaaaaaaa0123012301230123(2.2.在二项式在二项式(x-1)-1)1111的展开式中的展开式中,求系数最小的求系数最小的项的系数项的系数.462462C C5 51111最大的系数呢？最大的系数呢？.6 61111C4
12、62C462解解:设设展开式各项系数和为展开式各项系数和为 【点评点评】求展开式中各项系数和常用赋值法求展开式中各项系数和常用赋值法:令二令二项式中的字母为项式中的字母为1.012.naaaa 上式是恒等式上式是恒等式,所以当且仅当所以当且仅当 x=1 时时,012(2 1),nnaaaa 222(1)01(21),nnnnxa xa xa 【3】求求(2x2-1)n的展开式中各项的系数和的展开式中各项的系数和.012(2 1)1.nnaaaa 例例3.近似计算近似计算:|x|0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。这称为含参型。三、高中的解题方法和数学思想 进行分类讨论时，我们要遵循
13、的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，其基本方法和步骤是：1.要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；2.确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；3.对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。三、高中的解题方法和数学思想3.函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的
14、混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。三、高中的解题方法和数学思想 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
15、三、高中的解题方法和数学思想4.转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
