1、第第21课时锐角三角函数及其实际应用课时锐角三角函数及其实际应用(每年必考每年必考1道，道，3分分)目录点对点点对点“过过”考点考点1典例典例“串串”考点考点23陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法点对点点对点“过过”考点考点【对接教材】【对接教材】北师：九下第一章北师：九下第一章P1P27；人教：八下第十七章人教：八下第十七章P21P39，九下第二十八章，九下第二十八章P60P85.锐角三角函数直角三角形的边角关系锐角三角形函数的实际应用锐角三角函数定义特殊角的三角函数值锐角三角函数及其实际应用锐角三角函数锐角三角函数考点考点11.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义图如图如图
2、，在，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的的正弦，记作正弦，记作sinA.sinA斜边斜边(A的对边的对边)_A的余弦：的余弦：cosA斜边斜边(A的邻边的邻边)_.A的正切：的正切：tanAA的邻边的邻边(A的对边的对边)_返回思维导图返回思维导图2.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值(1)图表记忆法图表记忆法角度角度三角函三角函数值三角函数数值三角函数304560图形图形sin_cos_tan_122222231231返回思维导图返回思维导图(2)规律记忆法：规律记忆法：30、45、60角的正弦值的分母都是角的正弦值的分母都是2
3、，分子依次为，分子依次为1、；30、45、60角的余弦值恰好是角的余弦值恰好是60、45、30角的正弦角的正弦值值32返回思维导图返回思维导图直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系(如图如图)考点考点2三边关系：勾股定理：三边关系：勾股定理：；三角关系：三角关系：ABC90；边角间关系：边角间关系：sinAcosB ；cosAsinB ；tanA ，tanB .acbcbaaba2b2c2图返回思维导图返回思维导图锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用考点考点3仰角、俯仰角、俯角角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角
4、叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角如图线在水平线下方的角叫俯角如图方向角方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角转到目标方向所成的角(一般一般指锐角指锐角)，通常表达成北，通常表达成北(南南)偏东偏东(西西)x度，如图度，如图，A点位于点位于O点的北偏东点的北偏东30方向，方向，B点位于点位于O点的南偏东点的南偏东60方向，方向，C点位于点位于O点的北偏西点的北偏西45方向方向(或西北方向或西北方向)返回思维导图返回思维导图坡度坡度(坡比坡比)、坡角坡角坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水平宽度
5、和水平宽度l的比叫坡度的比叫坡度(坡比坡比)，用字母，用字母i表表示；坡面与水平线的夹角示；坡面与水平线的夹角叫坡角如图叫坡角如图，itanhl返回思维导图返回思维导图典例典例“串串”考点考点模型一背靠背型模型一背靠背型【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角，构造出两个直角三角形求解，其中公共边三角形求解，其中公共边CD是解题的关键是解题的关键【等量关系】【等量关系】CD为公共边，为公共边，ADBDAB模型演变模型演变图图【等量关系】如图【等量关系】如图，CEDA，CDEA，CEBDAB；如图；如图，CD
6、EF，CEDF，ADCEBFAB.1.周六下午，王武和父亲开车出去办事如图，他们在周六下午，王武和父亲开车出去办事如图，他们在A处测得其北偏东处测得其北偏东30处有处有一座移动信号发射塔一座移动信号发射塔C，当车以每小时，当车以每小时60公里的速度向正东方向行驶公里的速度向正东方向行驶10分钟到达分钟到达B处处后，此时他们测得信号发射塔后，此时他们测得信号发射塔C在其北偏西在其北偏西15处，请你求出此时车和发射塔之间处，请你求出此时车和发射塔之间的距离的距离BC.(结果保留根号结果保留根号)第1题图解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BDAC于点于点D，则，则BDABDC90，BAC9030
7、60，ABC901575，ABD30，CBD45，ADC180BACABC45，BCD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，第1题解图2.小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“垃圾分类从我做起垃圾分类从我做起”的竖直标语牌的竖直标语牌CD.如图，她在如图，她在A点测得标语牌顶端点测得标语牌顶端D处的仰角为处的仰角为42，测得隧道底端，测得隧道底端B处的俯角处的俯角为为30(B，C，D在同一条直线上在同一条直线上)，AB10 m，隧道高，隧道高6.5 m(即即BC6.5 m)，求，求标语牌标语牌CD的高的高(结果精确到结果精确到0.1米，参考数据：米，参考数
8、据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，1.73)3第2题图解：如解图，过点解：如解图，过点A作作AEBD于点于点E.在在RtAEB中，中，EAB30，AB10 m，BE AB5 m，AE m，在在RtADE中，中，DEAEtan427.79 m，BDDEBE12.79 m，CDBDBC12.796.56.3 m，答：标语牌答：标语牌CD的高约为的高约为6.3 m.125 3第2题解图模型二母子型模型二母子型图图【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作垂线【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作垂线BC，构造有公共直角的，构造有公共直角的两个三角形求解，
9、其中公共边两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键是解题的关键【等量关系】【等量关系】BC为公共边，如图为公共边，如图，ADDCAC；如图；如图，DCBCDB.图图模型演变模型演变1【等量关系】如图【等量关系】如图，DFEC，DEFC，BFDEBC，AEDFAC；如图；如图，AFCE，ACFE，BCAFBE.模型演变模型演变2图图图【等量关系】如图【等量关系】如图，BEECBC；如图；如图，ECBCBE；如图；如图，ACFG，AFCG，ADDCFG，BCAFBG.图图【等量关系】如图【等量关系】如图，BCFG，BFCG，ACBFAG，EFBCEG；如图；如图，BCFG，BFCG，EFBCEG
10、，BDDFBF，ACBDDFAG.模型演变模型演变33.(2019湘潭湘潭)我国于我国于2019年年6月月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面处垂直海面发射，当火箭到达点发射，当火箭到达点A处时，海岸边处时，海岸边N处的雷达站测得点处的雷达站测得点N到点到点A的距离为的距离为8千米，千米，仰角为仰角为30.火箭继续直线上升到达点火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边处，此时海岸边N处的雷达测得处的雷达测得B处的仰角处的
11、仰角增加增加15，求此时火箭所在点，求此时火箭所在点B处与发射站点处与发射站点M处的距离处的距离(结果精确到结果精确到0.1千千米米)(参考数据：参考数据：1.41，1.73)32第3题图解：在解：在RtAMN中，中，cosANM ，ANM30，AN8，MNANcosANM8cos30在在RtBMN中，中，BNM45，MBMN 41.736.9(千米千米)答：此时火箭所在点答：此时火箭所在点B处与发射站点处与发射站点M处的距离约为处的距离约为6.9千米千米4 34.(2019陕师大附中模拟陕师大附中模拟)某校在某校在“建设特色校园建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成的活动中，将本校的办
12、学理念做成宣传牌宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部，放置在教学楼的顶部(如图所示如图所示)小明在操场上的点小明在操场上的点D处，用处，用1米高米高的测角仪的测角仪CD，从点，从点C处测得宣传牌的底部处测得宣传牌的底部B的仰角为的仰角为37，然后向教学楼正方向走，然后向教学楼正方向走了了4米到达点米到达点F处，又从点处，又从点E处测得宣传牌的顶部处测得宣传牌的顶部A的仰角为的仰角为45.已知教学楼高已知教学楼高BM17米，且点米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌在同一直线上，求宣传牌AB的高度的高度(结果精确到结果精确到0.1米，米，参考数据：参考数据：1.73，sin370.60，cos3
13、70.80，tan370.75)3第4题图解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CNBM于点于点N，则四边形，则四边形CDMN是矩形，点是矩形，点E在线段在线段CN上上BNBMCD17116米，米，在在RtBCN中，中，BN16米，米，BEN37，在在RtAEN中，中，ENCNCE17.33米，米，AEN45，ANENtan4517.33米，米，ABANBN17.33161.3米米答：宣传牌答：宣传牌AB的高度约为的高度约为1.3米米第4题解图模型三拥抱型模型三拥抱型【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键是解题的关键【等量关系】
14、【等量关系】BC为公共边为公共边【模型演变】【模型演变】图图图【等量关系】如图【等量关系】如图，BFFCCEBE；如图；如图，BCCEBE；如图；如图，ABGE，AGBE，BCCEAG，DGABDE.5.(2019西安铁一中模拟西安铁一中模拟)如图所示，某数学活动小组为了测量小河对岸大树如图所示，某数学活动小组为了测量小河对岸大树BC的高的高度，他们在斜坡上度，他们在斜坡上D处测得大树顶端处测得大树顶端B的仰角是的仰角是30，朝大树方向下坡走，朝大树方向下坡走6米到达坡米到达坡底底A处，在处，在A处测得大树顶端处测得大树顶端B的仰角是的仰角是60，若坡角，若坡角FAE30，求大树的高，求大树的
15、高度度第5题图解：如解图，过点解：如解图，过点D作作DGBC于点于点G，则，则DGEC.FAE30，BAC60，ADG30，DAB90.又又BDG30.BDABDGADG60.在在RtABD中，中，AD6米，米，ABADtanBDA (米米)在在RtABC中，中，BCABsinBAC答：大树的高度为答：大树的高度为9米米6 3第5题解图陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用(5年年2考考)注：注：2018年开始陕西中考取消使用科学计算器，为了计算简便，以下真题参考数据年开始陕西中考取消使用科学计算器，为了计算简便，以下真题参考数据统一改为
16、两位小数统一改为两位小数命题点命题点类型一类型一 仰角、俯角仰角、俯角(2017.20)1.(2018陕西副题陕西副题20题题7分分)如图所示，某集团的项目组计划在山脚下如图所示，某集团的项目组计划在山脚下A点与山顶点与山顶B点点之间修建一条索道，现利用无人机测算之间修建一条索道，现利用无人机测算A、B两点间的距离无人机飞至山顶点两点间的距离无人机飞至山顶点B的正上方点的正上方点C处时，测得山脚下处时，测得山脚下A点的俯角约为点的俯角约为45，C点与点与A点的高度差为点的高度差为400 m，BC100 m，求山脚下，求山脚下A点到山顶点到山顶B点的距离点的距离AB.第1题图解：如解图，延长解：
17、如解图，延长CB与与A点所在水平面相交于点点所在水平面相交于点D，由题意，知由题意，知CDAD，CD400，CAD45.ADCD400.(2分分)CB100，BDCDBC300.(4分分)在在RtABD中，中，500 m.答：山脚下答：山脚下A点到山顶点到山顶B点的距离点的距离AB为为500 m(7分分)第1题解图2.(2017陕西陕西20题题7分分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭聚贤亭”观湖赏柳小红和小军很观湖赏柳小红和小军很想知
18、道想知道“聚贤亭聚贤亭”与与“乡思柳乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离测量方案如下：如图，首先，小军站在和皮尺来测量这个距离测量方案如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭聚贤亭”的的A处，处，用测倾器测得用测倾器测得“乡思柳乡思柳”顶端顶端M点的仰角为点的仰角为23，此时测得小军的眼睛距地面的高度，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为为1.7米；然后，小军在米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得处蹲下，用测倾器测得“乡思柳乡思柳”顶端顶端M点的仰角为点的仰角为24，这时测得小军的眼睛距地面的高度，这时测得小军的眼
19、睛距地面的高度AC为为 1米请你利用以上所测得的数据，米请你利用以上所测得的数据，计算计算“聚贤亭聚贤亭”与与“乡思柳乡思柳”之间的距离之间的距离AN的长的长(结果结果精确到精确到1米米)(参考数据：参考数据：sin230.39，cos230.92，tan230.42，sin240.41，cos240.91，tan240.45)第2题图解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BDMN，垂足为，垂足为D，过点，过点C作作CEMN，垂足为，垂足为E.设设ANx米，则米，则BDCEx米，米，在在RtMBD中，中，MDxtan23.在在RtMCE中，中，MExtan24.(4分分)MEMDDEBC，xt
20、an24xtan231.71，解得解得x23.答：答：“聚贤亭聚贤亭”与与“乡思柳乡思柳”之间的距离之间的距离AN的长约为的长约为23米米(7分分)第2题解图类型二方向角类型二方向角3.(2016陕西副题陕西副题20题题7分分)某市为了创建绿色生态城市，在城东建了某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖东州湖”景区小景区小明和小亮想测量明和小亮想测量“东州湖东州湖”东西两端东西两端A、B间的距离于是，他们去了湖边，如图，在间的距离于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点的一点C，并测得，并测得BC350米，点米，点
21、A位位于点于点C的北偏西的北偏西73方向，点方向，点B位于点位于点C的北偏东的北偏东45方向请你根据以上提供的信息，方向请你根据以上提供的信息，计算计算“东州湖东州湖”东西东西两端之间两端之间AB的长的长(结果精确到结果精确到 1米米)(参考数据：参考数据：sin730.96，cos730.29，tan733.27，1.41)第3题图2解：在解：在RtBCD中，中，BCD45，BC350米，米，BDBCsinBCD350sin45 米，米，(3分分)CDBD 米，米，在在RtACD中，中，ACD73，ADCDtanACD tan73米，米，(5分分)ABADBD tan73 1054(米米)答：答：“东州湖东州湖”东西两端之间东西两端之间AB的长约为的长约为1054米米(7分分)175 2175 2175 2175 2175 2 点击链接至练习册点击链接至练习册
