1、安徽2020中考数学第一轮复习-特殊三角形了解等腰三角形和直角三角形的有关概念,掌握等腰三角形的判定,并会运用等腰三角形的性质解决问题,掌握直角三角形的性质和判定,理解等边三角形的性质和判定,掌握并运用勾股定理及其逆定理.掌握角平分线性质定理及其逆定理,并会利用它解决问题,掌握线段垂直平分线定理及其逆定理,并会利用它解决问题.考点扫描考点1考点2素养提升等腰三角形的性质与判定(8年6考 )1.等腰三角形的性质(1 )等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”;(2 )等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合,简称“等腰三角形三线合一”;(3 )等腰三角形是轴对称图形,底边上的中
2、线所在的直线就是它的对称轴.2.等腰三角形的判定(1 )按定义:有两条边相等的三角形就是等腰三角形;(2 )有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”.特别提醒特别提醒等腰三角形“三线合一”是证明两直线互相垂直的重要方法,也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法.考点扫描考点1考点2素养提升3.等边三角形(1 )等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等;等边三角形的三个角都是60.(2 )等边三角形的判定按定义:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有两个角是60的三角形是等边三角形;有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.(3 )等边三角形的面积的求法:
3、.名师点睛名师点睛等边三角形的四种判定方法都可以应用,要根据不同的条件进行选择,以使问题简单化.考点扫描素养提升典例1(2018合肥期末 )如图,在ABC中,AB=AC,BAC=36,CD是ACB的平分线交AB于点D,过点A作AEBC,交CD的延长线于点E.(1 )求ADC的度数;(2 )求证:AE=AC;(3 )试问ADE是等腰三角形吗?请说明理由.【解析】(1 )利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求出B=ACB=72,求出DCB,根据三角形外角性质求出即可;(2 )先判断出BCE=ACE,再判断出BCE=E,即可得出结论;(3 )根据平行线求出EAD,根据三角形内角和定理求出ADE,即可
4、得出答案.考点1考点2考点扫描素养提升考点1考点2【答案】(1 )AB=AC,BAC=36,B=ACB=(180-BAC )=72,CD是ACB的平分线,DCB=ACB=36,ADC=B+DCB=72+36=108.(2 )CD是ACB的平分线,BCE=ACE,AEBC,BCE=E,ACE=E,AE=AC.(3 )ADE是等腰三角形.理由:AEBC,EAB=B=72,B=72,DCB=36,ADE=BDC=180-72-36=72,EAD=ADE,AE=DE,即ADE是等腰三角形.考点扫描素养提升考点1考点2提分训练1.复习课上,老师给出一个问题“已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,求它
5、的周长.”小华代表小组发言:“等腰三角形的边有两种,腰和底边,所以第一种情况5是腰长,6是底边长;第二种情况5是底边长,6是腰长,从而得最终结果为16或17.”小华的上述方法体现的数学思想是()A.公理化B.分类讨论C.数形结合D.由特殊到一般【解析】等腰三角形有两条边长为5和6,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,因此体现的数学思想是分类讨论.B考点扫描素养提升考点1考点22.(2018合肥包河区模拟 )如图,在四边形ABCD中AC,BD为对角线,AB=BC=AC=BD,则ADC的大小为()A.120 B.135C.145 D.150D考点1考点2考点扫描素养提升直角三角形的性质与判
6、定(8年7考 )1.直角三角形的性质(1 )直角三角形的两个锐角互余;(2 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3 )直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的一半,等于斜边的一半的直角边所对的角是30;(4 )勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.名师点睛名师点睛已知直角三角形中的两边求第三边(没有明确谁是斜边 )时,一般要分类讨论:所求边是斜边;已知两边中的较长边是斜边.考点1考点2考点扫描素养提升2.直角三角形的判定(1 )有两个角的和等于90的三角形是直角三角形;(2 )勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角
7、形(这条边所对的角是直角 ).补充:一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角 ).3.直角三角形面积的求法 (其中a,b是直角边,h是斜边c上的高 ).考点1考点2考点扫描素养提升典例2(2018湖北黄冈 )如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,BD=2,CE=5,则CD=()【答案】C 考点1考点2考点扫描素养提升提分训练3.(2018广西贺州 )如图,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为()D考点1考点2考点扫描素养提升初高中衔接射影定理在直角三角形中,斜边上的高
8、是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.在RtABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:BD2=ADCD,AB2=ADAC,BC2=CDAC.考点1考点2考点扫描素养提升考点1考点2考点扫描素养提升考点1考点2考点扫描素养提升考点1考点2考点扫描素养提升角的平分线的性质与判定(8年4考 )1.定义在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.2.性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.考点1考点2考点扫描素养提升典例3
9、如图,已知P是AOB的角平分线上的一点,AOB=60,PDOA,M是OP的中点,点C是OB上的一个动点,若PC的最小值为3 cm,则MD的长度为()【解析】当PCOB时,PC取最小值.P是AOB的角平分线上的一点,PDOA,PCOB,PD=PC=3,AOP=30,OP=2PD=6,PDOA,M是OP的中点,DM=OP=3.【答案】A考点1考点2考点扫描素养提升【方法指导】已知角的平分线及平分线上一点,要解决几何计算与证明问题,一般过角平分线上的一点作到两边的垂线.考点1考点2考点扫描素养提升提分训练5.如图所示,在RtABC中,A=90,BD平分ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点
10、D到BC的距离是()A.2B.3C.4D.5【解析】过点D作DEBC于点E,A=90,BD平分ABC,AD=DE,在RtABD中,A=90,AB=4,BD=5,由勾股定理得AD=3,DE=3,即点D到BC的距离是3.B考点1考点2考点扫描素养提升6.如图,BP,CP分别是ABC的外角CBD,ECB的平分线.小明经过分析后,得出了以下结论:点P在BAC的平分线上;BP=CP;点P到AD,AE,BC的距离相等.把你认为正确的结论的序号写在横线上.【解析】过点P作PMAB于点M,PGAC于点G,PNBC于点N,由角平分线的性质得PM=PN=PG,正确;根据角平分线的判定定理知,点P在BAC的平分线上
11、,正确;不成立.考点1考点2考点扫描素养提升线段的垂直平分线(8年3考 )1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.判定与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.技巧点拨技巧点拨解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接,利用垂直平分线的性质解题.考点1考点2考点扫描素养提升典例4如图,在ABC中,ACB=90,分别以点A,B为圆心,大于 AB长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD,BE,下列结论错误的是()A.AD=CDB.BECDC.BEC=BD
12、CD.BE平分CBD【解析】由题可得,DE是AB的垂直平分线,AE=BE,AD=BD,在RtABC中,D是AB的中点,CD=AD,故A正确;DEAB,在RtADE中,AEAD,BECD,故B正确;BEC是等腰ABE的外角,BEC=2A,BDC是等腰ACD的外角,BDC=2A,BEC=BDC,故C正确;当A=30时,ABE=30=CBE,当A=30时,BE平分ABC,而A不一定为30,BE不一定平分CBD,故D错误.【答案】D考点扫描素养提升考点扫描素养提升2.等腰三角形中分类讨论问题典例2已知三角形ABC是等腰三角形.(1 )若A=80,求B的度数.(2 )当A的度数不同,得到B的度数的个数也
13、可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.【解析】(1 )由于等腰三角形的顶角和底角没有明确,因此要分类讨论;(2 )分两种情况:90 x180;0 x90,结合三角形内角和定理求解即可.【答案】(1 )若A为顶角,则B=(180-A )2=50;若A为底角,B为顶角,则B=180-280=20;若A为底角,B为底角,则B=80.故B的度数为50或20或80.考点扫描素养提升(2 )分两种情况:当90 x180时,A只能为顶角,B的度数只有一个;当0 x90时,若A为顶角,即x60时,B有三个不同的度数.综上所述,可知当0 xAC,其他条件不变
14、,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.(3 )深入研究:如图,小明在(2 )的基础上,又做了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.考点扫描素养提升【解析】(1 )利用SAS判断出ACD AEB,得出CD=BE,ADC=ABE,进而判断出BDC+DBH=90,即BHD=90,最后用三角形中位线定理即可得出结论;(2 )同(1 )的方法即可得出结论;(3 )同(1 )的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.考点扫描素养提升【答案】(1 )连接BE,CD相交于点H,ABD和ACE都是等腰直角三角
15、形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACD AEB(SAS ),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,点M,G分别是BD,BC的中点,CD=BE,MG=NG,MGNG.考点扫描素养提升(2 )成立.理由:连接CD,BE相交于点H,同(1 )的方法得MG=NG,MGNG.(3 )连接EB,DC,延长线相交于点H,同(1 )的方法得,ABE ADC,MG=NG,AEB=ACD,CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=9
16、0,DHE=90,同(1 )的方法得MGNG.GMN为等腰直角三角形.命题点1结合勾股定理考查最值(常考 )1.(2016安徽第10题 )详见专题三典例1命题点2折叠与勾股定理综合(常考 )2.(2014安徽第8题 )如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()C【解析】设BN=x,则AN=DN=9-x,点D是CB的中点,则BD=3,在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,(9-x )2=9+x2,解得x=4,即BN=4.命题点3线段垂直平分线的性质(冷考 )3.(2015安徽第23(1 )题 )如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC.(1 )求证:AD=BC.解:(1 )GE是AB的垂直平分线,GA=GB.同理GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGD BGC,AD=BC.
