1、机械能守恒定律机械能守恒定律复习复习机械能守恒定律复习机械能守恒定律复习 【知识要点】v（一）功（一）功v（二）功率（二）功率v（三）动能（三）动能v（四）动能定理（四）动能定理v（五）势能（五）势能v（六）机械能守恒定律（六）机械能守恒定律v（七）功能关系（七）功能关系v (八)物体系中的功和能的问题物体系中的功和能的问题（一）功（一）功v1、做功的两个必要因素 一个力作用在物体上，物体在力的方向上发生了位移，就说此力对物体做了功功是力在其作用空间上的累积，是能量转化的标志和量度 做功的两个必要因素：力和在力的方向上发生的位移v2、公式 WFxcos 此公式为恒力做功的计算式，即式中的F必须
2、为恒力，x是相对于地的位移，指的是力与位移间的夹角 功的国际单位：焦耳Jv3、正功和负功 功是标量，但也有正，负之分功的正负仅表示力在物体运动过程中，是起动力还是起阻力的作用功的正，负取决于力F与位移x的夹角从功的公式可知：当090时，W为正，表示力F对物体做正功，这时的力是动力 当a=90时，W=0，表示力对物体不做功，这时的力既不是动力，也不是阻力 当90180时，W为负，表示力F对物体做负功，这时的力是阻力v4、总功的计算 总功的计算有两种方法：（1）先求几个力的合力F的大小和方向，再求合力F所做的功，即为总功 WFxcos（2）先求作用在物体上的各个力所做的功，再求其代数和 W1F1x
3、cos1 W2F2xcos2 W W1+W2（一般情况下采用第二种方法计算总功）v5、变力做功 对于均匀变化的力F，可先求平均力F平均,再利用W=F平均x cos求功;若力是非均匀变化的，则一般用能量变化的多少来间接地求功（二）功率（二）功率:功与完成这些功所用时间的比叫做功率，它是描述力做功快慢的物理量在国际单位制中，功率的单位是焦耳/秒（瓦特）功率有平均功率和即时功率之分1、平均功率:P平均=W/t,由W=FScos可知，平均功率可表示为P平均=Fv平均cos,其中v平均为时间t内的平均速度,则为力与平均速度之间的夹角。2、即时功率P=Fv cos，其中v为即时速度，则为力与即时速度方向的
4、夹角当力与速度方向一致时，=0，cos 0=1,P=Fv由P=Fv可知，当P一定时，F与v成反比，据此可解释机动车的行驶速度与牵引力之间的关系（三）动能（三）动能:物体由于运动而具有的能叫做动能物体的物体由于运动而具有的能叫做动能物体的动能在数值上等于它的质量与它的速度平方的乘积的一动能在数值上等于它的质量与它的速度平方的乘积的一半动能的国际单位为焦耳半动能的国际单位为焦耳 1、定义式E=E-Ekk2k1Emvk1223、动能的变化动能是标量，也是一个状态量，且恒为正值2、物体系的动能221iikivmE（四）动能定理（四）动能定理 1、内容 外力对物体所做功的代数和等于物体动能的增量，也可表
5、述为：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量 2、表达式W=E=E-E=12kk2k1mvmv221212（五）势能（五）势能:由相互作用的物体的相对位置或由物体内部各部由相互作用的物体的相对位置或由物体内部各部分之间的相对位置所决定的能，叫做势能分之间的相对位置所决定的能，叫做势能 1、重力势能 地球上的物体均受到重力的作用，物体具有的与它的高度有关的能，叫重力势能重力势能是物体与地球所共有的 （1）定义式；E=mghp 式中h物体离零势面的高度，零势面以上h为正，以下为负可见，物体所具有的重力势能与零势面的选选择有关，在计算重力势能时须首先确定零势能面一般取地面或初末位置为零势能参考面物体
6、在零势面之上重力势能为正；物体在零势面之下重力势能为负 （2）重力势能的变化 即重力对物体做功等于物体重力势能增量的负值重力对物体做正功，物体的重力势能减少；重力对物体做负功，物体的重力势能增加 注意，重力对物体做功与物体运动的路径无关，只跟始、末位置有关。（）重力势能的变化与重力做功的关系：3EpW=-Ep 2、弹性势能 物体发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能弹性形变越大，弹性势能越大 同样，即弹力对物体做功等于弹簧弹性势能增量的负值弹力对物体做功也与路径无关，只跟始、末位置有关 E p 弹=kx2/2（六）机械能守恒定律（六）机械能守恒定律 动能和势能统称为机械能 l、内容 在只有重力或弹
7、力做功的物体系内，动能和势能可以相互转化，但总的机械能保持不变 2、数学表达式 0=EE=E21或或2221212121mghmvmghmv 说明：说明：机械能守恒的对象是系统，不是单个物体系统内各物体间的相互作用力叫内力；系统外的物体对系统内的物体的作用力叫外力对于地球和物体组成的系统，重力是内力若以地球为参照系，可以将物体和地球系统的机械能简略称为物体具有的机械能，即 机械能的大小由物体的状态决定，即由物体的位置（高度）和速度决定E=mgh+12mv2，（七）功能关系（七）功能关系 若系统内除重力和弹力做功外，还有其他力做功，则物体的机械能不守恒其他力做了多少功，将有多少其他形式的能转化为
8、机械能，不同形式的能之间相互转化中，能的总量保持不变做功的过程就是能量从一种形式转化为另一种形式的过程，做了多少功就有多少能量发生转化；反之，转化了多少能量就说明做了多少功做功是能量转化的量度 内非保外【疑难讲解疑难讲解】物体系中的功和能的问题物体系中的功和能的问题 1.物体系物体系 :研究对象是两个或多个物体简称为物体系研究对象是两个或多个物体简称为物体系.(1)系统的内力与外力 (2)保守力与非保守力保守力作功与路径无关,只与始末位置有关.如重力,弹力.非保守力作功与路径有关.如摩擦力,发动机提供的力.(3)一对内力的功 W=fx相 以子弹打木块为例W=-fmxm+fMxM=-fd 2.物
9、体系的动能定理:物体系所有外力与内力的总功等于物体系动能的增量.0kkEEWW内外考虑到内力又分为保守力与非保守力,物体系的动能定理又可以表达为重内非保外 3.物体系的功能原理:除重力(或弹力)之外的其它力所做的功等于系统机械能的增量。内非保外证明:因为重重内非保外所以 4.机械能守恒定律:如果系统中只有重力做功(即没有除重力之外的其它力做功)，那么系统的机械能守恒.证明:因为W外+W内非保=0所以内非保外【典型例题典型例题】例例1 1额定功率为80kW的汽车，在水平长直公路上行驶时最大速度可达20m/s,汽车质量为2103kg。如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度可达2m/s2。设运动
10、过程中阻力大小不变，试求：（1）汽车运动时所受阻力f；（2）汽车匀加速运动过程可持续的时间t；（3）汽车启动后，发电机在第三秒末的即时功率P3；（4）汽车在做匀加速直线运动过程中，发动机所做的功W分析：当汽车起动后做匀加速直线运动时，发动机牵引力分析：当汽车起动后做匀加速直线运动时，发动机牵引力F为恒力，随着运动速度v的增大，汽车发动机的即时功率P=Fv正比增大，直就要减小（以保持汽车在额定功率下运行），因此汽车将做加速度越来越小的加速运动，直到发动机牵引力F减小到与汽车运动阻力f相等时，FP力继续增大，发动机牵引为止此后，汽车速度到增大到额定功率额功此后，汽车就在额定动速度达到最大值汽车加速
11、度降到零，运maxv图像可用图表示的做匀速运动整个过程率下以t-vvmax，所以，因为，时，当maxmaxfv=Fv=Pv=v0=af=F1)(解：解：N104N201080vPf33max额（2）根据牛顿定律有 F=ma，F-f=ma F=f+ma=410+2102N=810 N333（）汽车匀加速直线运定功率时，车速为设汽车发动机刚到达额maxv动的时间为t，则有10m/s=FP=vvF=Pmaxmax额额，5s=av=tta=vmaxmax，（3）汽车第3秒末仍在做匀加速直线运动，则v=at=23m/s=6m/s33P=Fv=8106W=4.810 W3334（4）根据匀变速运动规律，则
12、有s=12at=1225 m=25m22 W=FS=81025J=210 J35 答：汽车运动阻力为；汽车起动后做匀加速运动的时间为410 N35秒；第3秒末发动机即时功率为48kW；汽车在匀加速直线运动过程中，发动机做 的功210 J5的公式计算，因为在这一阶段汽车发动机的实际功率始终小于其额定功率，汽车尚未达到“全功率运行”状态 2对于第（4）问，也可用动能定理求解，即tP1能用，发动机所做的功，不对于汽车在加速阶段额说说明明：2Fmax1W=f+mv2x也可用平均功率进行计算，即t2P0t2PPtPWt0F额因为在汽车起动后做匀加速运动时，发动机实际功率为atF=vF=P实即为实际功率的
13、算术平均值的正比函数因此，求是时间可见，实tP其平均功率额/2P=P 例例2 2质量为m=3kg的物体与水平地面之间的动摩擦因数=0.2，在水平恒力F=9N作用下起动，如图所示。当m位移s1=8m时撤去推力F，试问：还能滑多远？(g取10m/s2)分析：分析：物体m所受重力G、支持力N、推力F、滑动摩擦力f均为恒力，因此物体做匀加速直线运动；撤去F后，物体做匀减速直线运动因此，可用牛顿定律和匀变速直线运动规律求解物体在动力F和阻力f作用下运动时，G和N不做功，F做正功，f做负功，因此，也可以用动能定理求解解法一：用牛顿定律和匀变速运动规律，对撤去解法一：用牛顿定律和匀变速运动规律，对撤去F推力
14、前、后物体运动的加速度分别为aFfmFmgm1 9023103122./m sm safmm sm s222000231032./m在匀加速运动阶段的末速度为211 122 1 8/4/va xm sm s撤去 后，滑行而停住，则Fsv=02t221220 164222tvvxmma将上两式相加，得解解法法二二：对物体运动的前后两段分别用动能定理，则有W=Ek21111Fx-fx=mv-022211-fx=0-2mv答：撤去动力F后，物体m还能滑4m远 112Fx-fx-fx=0 21fx=F-fx（）21F-fx=fx4m8m1032.01032.09 说明：许多动力学问题可以有多种解题方法
15、，对比上述说明：许多动力学问题可以有多种解题方法，对比上述两种解法可以看出运用动能定理的解法比用牛顿定律（以及两种解法可以看出运用动能定理的解法比用牛顿定律（以及运动学规律）的解法要简捷一些凡是题目中给出了（或是运动学规律）的解法要简捷一些凡是题目中给出了（或是要求）物体的位移要求）物体的位移x，这一类题运用动能定理求解总是比较方便的；除非题目中给出了（或是要求）加速度a，才“不得不”运用牛顿定律解题，尤其是对于“从静止开始”运动到“最后停住”这一类的题，运用动能定理特别简单，例如本题就属于这种情况对全程运用动能定理，则有W=EkW+W=E-EFfktk022112t0Fx+-fx+x=mv/
16、2-mv/2（）（）112Fx-fx+x=0-0（）112Fxx=4mfxf 例例3 3、如图所示，质量为m的小木块以水平初速v0冲上质量为M，长为L，置于光滑水平面上的木板B，并正好不从B木板上落下，A、B间动摩擦因数为，试求在此过程中系统产生的热量Q分析分析 A木块在B木板上滑行的过程中，A和B所受的滑动摩擦力分别为f、f，f=f=mg，A在f的作用下减速，B在f的作用下加速，当A滑到B的右端时，A、B达到一样的速度v，就正好不掉下，设此过程中木板B向前移动的距离为x，滑动摩擦力f对木块A做12W=-mgx+LfBW=mgx负功（），而摩擦力 对 做正功，摩擦力对、组成的系统做的总功ABW
17、=W+W=mgL12解：对解：对A、B分别列出动能定理式：220211mgx+L=mv-mv221mgx=Mv2（）式-式得（）mgL=12mv-12M+mv022根据动量守恒定律 Mv0=(m+M)v V=mv0/(m+M)代入上式的 Q=mgL=mMv02/2(m+M)注意:L是相对位移说明：说明：系统克服摩擦力做的总功等于系统机械能的 减少量这部分机械能就转化为系统内能，这就是“摩擦生热”，由式得出结论：作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积，在数值，即上等于系统内能的增量相对滑sf=Q本题在中学物理中有典型意义，它是子弹射击木块题型的演变，对它们用动能定理时，画出示意
18、图，区分清楚子弹的位移、木块的位移及子弹对木块的相对位移十分重要 例例4 4一个竖直放置的光滑圆环，半径为R，c、e、b、d分别是其水平直径和竖直直径的端点圆环与一个光滑斜轨相接，如图所示一个小球从与d点高度相等的a点从斜轨上无初速下滑试求：(1)过b点时，对轨道的压力Nb多大？(2)小球能否过d点，如能，在d点对轨道压力Nd多大？如不能，小球于何处离开圆环？分析：分析：小球在运动的全过程中，始终只受重力G和轨道的弹力N其中，G是恒力，而N是大小和方向都可以变化的变力但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只
19、有重力做功，小球机械能守恒 从小球到达圆环最低点b开始，小球就做竖直平面圆周运动小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心O点，此向心力由小球的重力与弹力提供解：解：（）因为，所以1E=Eab2bmv21=mgha4gR=2gh=va2bRvm=G-N2bbN=mg+mvR=mg+m4gRR=5mgbb2（2）小球如能沿圆环内壁滑动到d点，表明小球在d点仍在做圆周运动，则F=N+G=mvRddd2减小；的减小，是恒量，随着由上式可见，ddNvG当Nd已经减小到零（表示小球刚能到d点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态)时,速度低于这个速点的最小速度如小球是能过dgR=vd度就不可能沿
20、圆环到达d点这就表明小球如能到达d点，其机械能至少应是E=mgh+mv/2ddd2，点出发的机械能仅有但是，小球在ddaaEmgh=mgh=Ea因此小球不可能到达d点，即，由于dE=E/2h=haac/2mv+mgh=mgh2cca因此，即小球从 滑到 点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一v0bcc定是在c、d之间的某点s离开圆环的设半径Os与竖直方向夹角，根据机械能守恒定）（可见，小球高度则由图Rcos+1=h4-3s律小球到达 点的速度应符合：svs/2mv+mgh=mgh2ssa）（sa2sh-h2g=v）（cos-12gR=v2s小球从s点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力
21、G，亦即提供向心力，即沿半径方向的分力心mgcos=G=FG11Rvm=cosmg2s 5R/3=Rcos+1=hs）（小球经过圆环最低点b时，对环的压力为5mg小球到达高度为5R/3的s点开始脱离圆环，做斜上抛运动将式代入式得 mgcos=2mg（1-cos）cos=2/3说明：说明：1小球过竖直圆环最高点d的最小速度称为“临界速度”vv00的大小可以由重力全部提供向心力求得，即gR=vRvm=mgF=G020，心小球到达 点，当时，小球能滑过 点，且对环有压力；当dvvdd0v=vdvvdd0d0时，小球刚能滑过 点，对环无压力；当时，小球到不了点就会离开圆环 2小球从s点开始做斜上抛运动
22、，其最大高度低于d点，读者可自行证明例例5 总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑行设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？对末节车厢应用动能定理，有12 xx设从脱钩开始，前面的部分列车和末节车厢分别行驶了、解解2101FL-kM-mgx=-M-mv2（）（）2201-kmgx=-mv2MLF=kMgx=M-m又整列车匀速运动时，有，则可解得说明说明 本题所求距离为两个物体的位移之差，需分别对各个物体应用动能定理求解时也可假设中途脱节时，司机若立即关闭发动机，则列
23、车两部分将停在同一地点现实际上是行驶了距离L后才关闭发动机，此过程中牵引力做的功，可看作用来补续前部分列车多行驶一段距离而MLFL=kM-mgxx=M-m克服阻力所做的功，即：（），故才停止,则两者距离x=x1-x2.对前面部分的列车应用动能定理,有 例6：将细绳绕过两个定滑轮A和B绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为M的小球，M2m，A、B间距离为l，开始用手托住M使它们都保持静止，如图所示。放手后M和2个m开始运动。求(1)小球下落的最大位移H是多少？(2)小球的平衡位置距C点距离h是多少？解：(1)如答案图(a)所示，M下降到最底端时速度为零，此时两m速度也为零，M
24、损失的重力势能等于两m增加的重力势能(机械能守恒)MgHmgHll22222()HMmlmM2422解得(2)如答案图(b)所示，当M处于平衡位置时，合力为零，T=mg，则22)2(2lhhmgMg即Mg-2mgsin=02242MmMlh解得【课堂巩固课堂巩固】答案:C1.2.答案:D中，从抛出到动能减少一半，所经历的时间为 过程不计空气阻力，在上升竖直上抛一个小球，若以初速度0v221D22C4B2A0000gvgvgvgv3.如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜劈位于光滑的水平地面上从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜劈对小物块的作用力 A垂直于接触面，做功为零 B垂直于接触面，做
25、功不为零 C不垂直于接触面，做功为零 D不垂直于接触面，做功不为零答案:B答案:BCD4.5 从同一高度将3个质量相等的小球以大小相等的初速度分别竖直上抛、平抛和竖直下抛，那么正确结论是 A从抛出到落地过程中，重力对3个小球做功相同 B从抛出到落地过程中，重力对3个小球做功的平均功率相同 C3个小球落地时，动能相同 D3个小球落地时，重力的即时功率相同答案答案:AC6 a、b是一个竖直光滑圆环的水平直径的两个端点，有两个相同质量的小钢球以相同的初速率v0同时从a点出发，其中一个竖直向上，另一个竖直向下，都始终沿圆环的光滑内壁运动，如图3-12所示，则正确说法是 A、两钢球将于b点相遇，相遇时速
26、率于v0 B、两钢球将于b下方的某点相遇，相遇时速率大于v0 C、两钢球将于b上方的某点相遇，相遇时速率小于v0 D、上述三种情况都可能发生答案答案:C 7如图所示，与水平方向成角的恒力F通过绕过光滑滑轮的轻绳使质量为m的物体在水平地面上从静止开始通过水平位移x，物体速度变为v若物体与水平地面之间的动摩擦因数为，则F通过滑轮对物体所做的功为 A Fxcos BFx（1+cos）2CFx 1+cos+mv/2（）2DFx 1+cos-mg+mv/2（）答案:B8.一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示在A点时，物体开始接触弹簧；到B点时，物体速度为零，然后被弹回下列说法中正
27、确的是 A物体从A下降到B的过程中，动能不断变小 B物体从B上升到A的过程中，动能先增大后减小 C物体由A下降到B的过程中，弹簧的弹性势能不断增大 D物体由B上升到A的过程中，弹簧所减少的弹性势能等于物体所增加的动能与增加的重力势能之和答案:BCD9.如图所示，用水平恒力F将质量为m的物体沿倾角、高为h的斜面由静止开始从底端推到顶端，其速度达到v，物体与斜面之间的动摩擦因数为下面说法中正确的是 A F做的功为Fhcot B.物体机械能增加mgh+mv2/2 C转变成内能的部分是（F+mgcot）h D物体克服阻力所做功为mgcosh答案:ABC 10.如图所示，在光滑的水平面上有质量相等的木块A、B，木块B静止在水平面上，B的尾部装有一根轻质弹簧，木块A以速度v向B运动从木块A接触弹簧开始，下面分析中正确的是 A当弹簧压缩量最大时，木块A减少的动能最多 B当弹簧压缩量最大时，A、B两木块系统减少的动能最多 C在弹簧恢复原长的过程中，木块B的动能继续增加 D在弹簧恢复原长的过程中，木块A的动能保持不变答案:BC
