1、立体几何复习小结立体几何复习小结知识框架知识框架一、空间几何体的结构一、空间几何体的结构棱柱棱柱圆柱圆柱棱锥棱锥圆锥圆锥棱台棱台圆台圆台简单组合体简单组合体柱体柱体锥体锥体台体台体球体球体棱柱棱柱概念性质斜棱柱直棱柱正棱柱*其他棱柱侧面积 体积hsv底柱注：四棱柱-平行六面体-直平行六体-长方体-正四棱柱-正方体四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱直四棱柱直四棱柱侧棱垂直底面侧棱垂直底面平行六面体平行六面体底面是平行四边形底面是平行四边形长方体长方体正四棱柱正四棱柱正方体正方体侧面垂直侧面垂直底面底面棱锥概念性质侧面积正棱锥*一般棱锥21chs正一般棱锥侧面积求各面面积之和体积shv31锥注：解题中应灵活
2、运用三棱锥（可以任意换底）的特殊性，处理问题。棱锥棱锥棱锥棱锥正四棱锥正四棱锥正三棱锥正三棱锥正四面体正四面体体积体积V VSh/3Sh/3顶点在底面正多边形的射影是底面的中心多面体定义体积*(转化思想)分类四面体、五面体等凸（凹）多面体等球定义表面积体积.o 4S2R34V3R正方体的内切球和它的外接球正方体的内切球和它的外接球“三视图”回顾与思考回顾与思考侧视图侧视图俯视图俯视图w画一个物体的画一个物体的三视图时三视图时,正视图正视图,侧视图侧视图,俯视图俯视图所画的位置如图所画的位置如图所示所示,且要符合如且要符合如下下原则原则:w长对正长对正,w高平齐高平齐,w宽相等宽相等.长高宽正视
3、图正视图1、从前面正对着物体观察，画出主视图，主视、从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形。图反映了物体的长和高及前后两个面的实形。三视图表达的意义三视图表达的意义2、从上向下正对着物体观察，画出、从上向下正对着物体观察，画出俯视，布置在主视图的正下方，俯视俯视，布置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形。的实形。3、从左向右正对着物体观察，画出左视图，布、从左向右正对着物体观察，画出左视图，布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形。高及
4、左右两个面的实形。三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。三、空间几何体的表面积和体积三、空间几何体的表面积和体积圆柱的侧面积：圆柱的侧面积：2Srl圆锥的侧面积：圆锥的侧面积：Srl圆台的侧面积：圆台的侧面积：()Srr l球的表面积：球的表面积：24SR柱体的体积：柱体的体积：VSh锥体的体积：锥体的体积：13VS h台体的体积：台体的体积：1()3VSS SSh球的体积：球的体积：343VR面积面积体积体积求体积时常用的方法求体积时常用的方法直接法直接法割补法割补法变换法变换法根据条件直接用根据条件直接用柱体柱体或或锥体锥体的体积公式的体积公式如果
5、一个多面体的体积直接用体积公如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其式计算用困难，可将其分割成易求体分割成易求体积的几何体积的几何体，逐块求积，然后求和。，逐块求积，然后求和。如果一个如果一个三棱锥三棱锥的体积直接用体积公的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得高都是容易求得直线与平面直线与平面平面平面平面的概念和性质及三个推论平面的概念和性质及三个推论空间两条直线空间两条直线平行直线平行直线公理公理4异面直线异面直线判定定理判定定理所成的角所成的角距离距离相交直
6、线相交直线 等角定理等角定理空间直线与平面空间直线与平面线在面内线在面内线面平行线面平行判定定理、性质定理判定定理、性质定理线面间距离线面间距离线面相交线面相交斜交斜交线面成角线面成角直交直交判定、性质判定、性质定理、点到定理、点到面的距离面的距离空间两空间两个平面个平面平行平行判定、性质定理判定、性质定理两平面间的距离两平面间的距离相交相交直交直交判定判定、性质定理、性质定理斜交斜交二面角及平面角二面角及平面角一、复习导航一、复习导航DBC二、典例探讨二、典例探讨线线平行平行线线 线线平行平行 面面 面面平行平行 面面线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质面面平行判定面面平行判定面
7、面平行性质面面平行性质三种平行关系的转化三种平行关系的转化平行问题判定定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该与此平面平行。与此平面平行。ba,/aba ba符号语言:且性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号表示:若a/,a,则a/bab性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理的应用。定理中的三个条件作用：证明线线平行 一个平面内的一个平面内的两条相交两条相交直线直线与另一个平面与另一个平面平行平行，则这两个，则这两个平面平行平面平行面面平行的面面平行的判定判定定理定理a ，b ，
8、a b=P，a ，b 符号表示：符号表示：abP线面平行线面平行 面面平行面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。若/，=b，=a 则 a/b面面平行线线平行ba由平面与平面平行，你可以得到其它性质吗？线线垂直垂直线线 线线垂直垂直 面面 面面垂直垂直 面面线面垂直判定线面垂直判定线面垂直定义线面垂直定义面面垂直判定面面垂直判定面面垂直性质面面垂直性质三种垂直关系的转化三种垂直关系的转化垂直问题若直线若直线 和平面和平面 内的内的任意任意一条直线都垂直一条直线都垂直l 则称则称 直线直线 与平面与平面 互相垂直互相垂直l直线直线 叫做平面叫做平面 的的垂线垂
9、线l平面平面 叫做直线叫做直线 的的垂面垂面l直线直线 与平面与平面 的交点叫的交点叫垂垂足足l若一条直线与一个平面垂直，若一条直线与一个平面垂直，则平面内所有直线都与已知直线垂直。则平面内所有直线都与已知直线垂直。一条直线与一个平一条直线与一个平面内的面内的 都都垂直，则该直线与此平垂直，则该直线与此平面垂直。面垂直。两条相交直线两条相交直线mnPl这两条相交直线这两条相交直线m、n是否和已知直线是否和已知直线 l 有有公共点是无关紧要的公共点是无关紧要的若若m ，n ，lm，ln，m n=P，则，则l mn已知：已知：a/ba/b，aa求证：求证：bbba2 2、如果两条平行直线中的一条垂
10、直于一个平、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。面，则另一条直线也垂直于这个平面。证明：证明：在平面在平面内作两条直线内作两条直线 m m、n n相交于相交于P P a a am am，anan 又又 a a/b b bm bm，bnbn 且且 m m，n n，m m n=Pn=P b bP1、若直线和平面垂直，则、若直线和平面垂直，则直线与平面直线与平面内任一条直线都垂直。内任一条直线都垂直。3、变式、变式：已知：已知a与与b是异面直线，且是异面直线，且求证：求证：m/n.mn.,bnanbmambabo平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直
11、二面角两个平面相交，如果所成的二面角是直二面两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直角，就说这两个平面互相垂直把直立平面的竖边画成把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂和水平平面的横边垂直记作直记作四、面面垂直的定义四、面面垂直的定义判定两个平面互相垂直，除了定义外，还判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理有下面的判定定理两个平面垂直的判定定理：如果一个平面两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直平面互相垂直符号表示符号表示:AB,AB:AB,AB 则则线面垂直线面垂直面面垂直
12、面面垂直5 5、面面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理1 1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面于它们交线的直线垂直另一个平面 ABBCDABCDABABCD求求证证：且且，已已知知：,ABCDBEBCDBECDABBEABCDABECDBE,又又知知，由由的的平平面面角角是是二二面面角角则则内内过过点点作作证证明明：在在 C CD D A AB BE E aaa,求证：求证：，已知：已知：PP结论：两个平面垂直，过一个平面内一点作另一平结论：两个平面垂直，过一个平面内一点作另一平面的垂
13、线，则该线在这一平面内面的垂线，则该线在这一平面内 abaapabcbp,重重合合应应与与直直线线直直线线垂垂直直线线与与平平面面经经过过一一点点只只能能有有一一条条直直，而而，作作直直线线内内在在平平面面过过点点证证明明：设设C面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理2 2./求求证证：，且且、已已知知平平面面 面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理3 3PCDMNPDACDMNPADMNPCABNMABCDPA平面求证：若）求证（平面）求证：（的中点分别是所在平面，矩形：如图所示，例45)3(;:2;/1,1PABCDMNKoL名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面
14、角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。角度问题角度问题空间角的计算空间角的计算（1）异面直线所成角）异面直线所成角平移转化法平移转化法（2）斜线与平面所成角）斜
15、线与平面所成角射影转化法射影转化法（3）平面与平面所成角）平面与平面所成角平面角法平面角法在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：中，求：（1）AD1和和BD所成的角；（所成的角；（2）AD1和面和面BDD1B1所成的角；（所成的角；（3）二面角）二面角C1-BD-C的的正切值。正切值。OABCDA1B1D1C1/:,/1EFFDCFEBAECDABFEDBCA求证上且，线段分别在，点，、已知平面例ABCDEFGHPCDMNPDACDMNPADMNPCABNMABCDPA平面求证：若）求证（平面）求证：（的中点分别是所在平面，矩形：如图所示，例45)3(;:2;/1,1PABCDMN
16、KoL。于的平面交和过的中点，是，平面的正方形，是边长为：如图所示，四边形例NSDBCMSAMSAABCDSAABCD861大小的正切值；）求二面角（DBCM1所成角的正切值；与平面）求（ABCDCN2所成角的余弦值；与）求（BDCN3所成角大小的正弦值。与）求平面（SDCSBC4ABCDSMNEFQ的大小。求二面角角，成与平面角，成与平面，平面中，平面：在三棱锥例DABCBCDABACDABCDBDCDACCDBACDBCDA30452ABCDEF4530的最小值。上的一个动点，求是棱）（所成的角与平面）求（所成的角，）求（，于内，在面，于内，在面的平面角：二面角例CMAMaMACBDACB
17、DCDDaCDABBaABa3211321203BDACEFMCa二面角的大小所成的平面与棱柱的下底面，求：过上的点，且和的侧棱分别是正三棱柱，：已知例111111111124CEDCBEBDABBAACBAABCEDABCDE1A1B1CF;)1(,60的距离到平面求的中点，是，平面，中，的菱形如图，边长为PBCEaPCPAEABCDPCABCABCDaABCDPEO间的距离；与直线BDPA)2(F的距离到平面）求点（；平面）求证：（。内的射影为在平面点，为已知二面角PBCAPBCADDABCpaPABCaACACPAACBCBACP2/1,2,60PABCDEF3、注重语言互译、注重语言互
18、译（1）文字语言）文字语言（2）符号语言）符号语言（4）作图（）作图（斜二测画法斜二测画法）、识图（）、识图（三视图三视图）、用图（）、用图（提供直观提供直观）（3）图形语言）图形语言一、立足课本一、立足课本,夯实基点夯实基点a直线a在平面 内平面直线 a二、总结规律二、总结规律 突破难点突破难点1、平行与垂直的证明、平行与垂直的证明看条件，想性质；看结论，想判定。看条件，想性质；看结论，想判定。2、三视图的实物还原、三视图的实物还原长对正，高平齐，宽相等。长对正，高平齐，宽相等。条件条件结论结论性质性质判定判定三空间的角1、两条异面直线所成的角：关键是找平行线，通常利用三角形的中位线与边的平
19、行关系或补成平行四边形。2、直线和平面所成的角：求斜线与平面所成的角的关键是找斜线在平面内的射影，即找斜线上的点在平面内的射影，为此通常利用平面与平面的垂直的性质。3、二面角：关键是找二面角的平面角，通常利用（1）定义（2）三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面（4）特殊图形的性质四、总结规律四、总结规律,突破难点突破难点5、简单几何体面积与体积的计算、简单几何体面积与体积的计算方程思想方程思想（1）多面体）多面体（2）旋转体）旋转体注意正棱锥、正棱台中的注意正棱锥、正棱台中的 4 个个直角三角形（如右图）直角三角形（如右图）PABCOD注意圆柱、圆锥、圆台的轴注意圆柱、圆锥、圆台的轴截面、侧面
20、展开图和球的大截面、侧面展开图和球的大圆面（如右图）圆面（如右图）BO五、总结规律五、总结规律,突破难点突破难点6、平面图形的翻折平面图形的翻折平面依托法平面依托法AODCBAFOBECDAFOBECD例如，将正方形例如，将正方形ABCD沿对角线沿对角线AC折成直二面角，求折成直二面角，求AB和和CD所成角。所成角。翻折规律：翻折规律：翻折前后在翻折线同侧的所有量之间的关系均保持不翻折前后在翻折线同侧的所有量之间的关系均保持不变；翻折前后在翻折线两侧的量之间的关系一般将发生改变；变；翻折前后在翻折线两侧的量之间的关系一般将发生改变；PB 平面平面AEC六、注重纠错六、注重纠错,补强弱点补强弱点
21、【案例案例1】（徐州（徐州09-10届高三摸底届高三摸底16）如图，在底面是矩形的四）如图，在底面是矩形的四棱锥棱锥P-ABCD中，中，PA平面平面ABCD，PA=AD，E是是PD的中点。的中点。（1）求证：）求证：PB平面平面AEC;（2）求证：平面）求证：平面PDC平面平面AEC。PBACDEO存在问题：存在问题：（1）符号表示不规范。）符号表示不规范。如如OE面面AEC；（3）证明方向不能推出。）证明方向不能推出。如误以为如误以为“PD 面面AEC”，事实上事实上“AE面面PDC”.（2）定理叙述不完整。）定理叙述不完整。如因为如因为PB OE,OE 面面AEC,，所以，所以PB平面平面
22、AEC;七、注重纠错七、注重纠错,补强弱点补强弱点答答：正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高【案例案例2】已知如下结论：已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间，可得出，将此结论拓展到空间，可得出的结论是的结论是 存在问题：存在问题：（1）正四面体内）正四面体内 正三棱锥正三棱锥;（2）任意一点）任意一点 任意一条直线任意一条直线;生搬硬套生搬硬套（3）到各个面）到各个面 到各条棱到各条棱;概念不清概念不清偏离主旨偏离主旨
