1、第 1 页 共 5 页 数列的函数特性及背景探究 (第二课时) 函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之 一 所谓函数思想， 就是用运动变化的观点， 分析和研究实际问题或数学问题中的数量关系， 通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等） ， 从而更快更好地解决问题 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N+（或它的有限子集 1， 2，n ）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式 也就是相应函数的解析式因此，有些数列的问题可用构造函数来解决 证明数列单调性时，如果条件中给出递推公式 +1= ( )
2、nn af a，利用它构造出函数( )f x， 再借助( )f x的单调性去辅助证明数列的单调性，往往有很好的效果. 例 1已知数列 n a的各项都是正数，且满足.),4( , 2 1 , 1 10 Nnaaaa nnn （1）证明 1 2, nn aanN ； （2）求数列 n a的通项公式 n a. 解：1 当 n=1 时，, 2 3 )4( 2 1 , 1 0010 aaaa20 10 aa； 2 假设 n=k 时有2 1 kk aa成立， 令)4( 2 1 )(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有： ),2()()( 1 fafaf kk 即 11 111 (4)(4)2
3、(42) 222 kkkk aaaa ， 也即当1nk时，2 1 kk aa成立，所以对一切2, 1 kk aaNn有. 例 2已知数列 n a满足 * 122121222 1,2,2,3,() nnnn aaaaaanN 数列 n a前n项和为 n S () 求数列 n a的通项公式； （）是否存在正整数m，使得 2 21 m m S S 恰好为数列 n a中的一项？若存在， 第 2 页 共 5 页 求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由 解：() 1 2 2 3 n n nn a n 为奇数 为偶数 （）若 2 21 m m S S 为 n a中的一项，则 2 21 m m S S 为
4、正整数 又 2113212422 (.+)(.) mmm Saaaaaa 1 12 (1 21)2(31) 31 23 1 m m mm m ， 2212 2121 3 mmm mm SSa SS 2 12 2(1) 3 31 m m m ， 故若 2 21 m m S S 为 n a中的某一项只能为 123 ,a a a， 若 2 12 2(1) 31 31 m m m 无解； 若 2 12 2(1) 32 31 m m m ， 12 310 m m ， 显然 m=1 不符合题意， m=2 符合题意， 当3m时，设 12 ( )31 m f mm ，则 1 ( )3ln32 m fmm ，
5、12 ( )3(ln3)20 m fm ，即 1 ( )3ln32 m fmm 在3, )上为增函数， 故( )(3)0fmf，即()f m为增函数，故( )(3)10f mf， 故当3m时，方程 12 310 m m 无解即 m=2 是方程唯一的实根 若 2 12 2(1) 33 31 m m m 时， 2 1m ，即 m=1 综上所述，m=1 或 m=2 例 3已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（ Nn） 证明：当 Nn时，（）0xn+1xn；（）2xn+1xn 1 2 nn x x 【解析】 （）略； 第 3 页 共 5 页 （）由 111 )1ln( nn
6、nn xxxx得 2 111111 422(2)ln(1) nnnnnnnn x xxxxxxx 记函数 2 ( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x 函数 f(x)在0,+）上单调递增，所以( )(0)f xf=0, 因此 2 11111 2(2)ln(1)()0 nnnnn xxxxf x 1 1 2(N ) 2 nn nn x x xxn 【分析】 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查 推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，构造函数 2 ( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x，利用函数的单调性证明不等式 例 4设 1234 ,a
7、 a a a是各项为正数且公差为 d(0)d 的等差数列是否存在 1, a d及正整数 , n k，使得 35 1234 , nn knknk aaaa 依次成等比数列，并说明理由 【解析】假设存在 1 a ，d及正整数n，k，使得 1 n a ， 2 n k a ，2 3 nk a ，3 4 nk a 依次构成等比数 列，则 1234 ln,()ln,(2 )ln,(3 )lnnankankanka 依次成等差数列， 即 1 (1) ln()(,)nxkdxadmxt m tR， 即 1 ln()(,) (1) mxt dxadm tR nxk (*)，可视为关于 x 的方程 至少有四个不同
8、的解 可令 1 ,pad qnk，则可构造函数( )ln() mxt f xdxp kxq ， (注：若回避复合函数求导，可选择令 1 dxad为一个整体变量) 则 2 ()() ( ) () dm kxqk mxt fx dxpkxq 第 4 页 共 5 页 2 2 ()()() ()() d kxqmqkt dxp dxp kxq ， 令( )0fx ，即 2 ()()()0d kxqmqkt dxp该方程至多只有 两个不同解， 即函数( )ln() mxt f xdxp kxq 至多有两个极值点， 故(*)方程至多仅有三个不同解，与至少有四个不同的解矛盾 综上，不存在 1 a，d及正整数
9、n，k，使得 1 n a， 2 n k a ， 2 3 nk a ， 3 4 nk a 依次构成等比数列 例 5已知 n a是等差数列， n b是等比数列，其中*nN （1）若 11 2ab， 33 9ab， 55 ab，试分别求数列 n a和 n b 的通项公式； （2）设,* kk Ak ab kN，当数列 n b的公比1q 时，求集合A 的元素个数的最大值 （1）设数列 n a的公差为0d d ，数列 n b的公差为0,1q q ，则 2 4 2229, 242, dq dq 解 得 15 , 2 2, d q 1511 22 n an，2n n b 或2 n （2）不妨设0 ,0,1
10、n nn aabn bbpqpqq，则 n abnpq， 即 n ab nq pp ， 令,0 ab stt pp ，问题转化为求关于n的方程0 n qtns （*） 最多有多少个解 当0t 时，因为1q ， 若n为奇数，则方程为0 n qtns， 左边关于n单调递增，方程（*）最多有 1 个解；若n为偶数，则方程为0 n qtns， 第 5 页 共 5 页 令( ) x f xqtxs，则( )ln x fxqqt，令( )0fx，得 0 log ln q t x q ， 由于1q ，函数( )fx单调递增， 当 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递减；当 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递增， 方程（*）在 0 ,x和 0, x 上最多各有 1 个解 综上：当 * Nn时，方程（*）最多有 3 个解 当0t 时，同理可知方程（*）最多有 3 个解 事实上，设68,( 2)n nn anb 时，有 112244 ,ab ab ab， 所以 A 的元素个数最大值为 3 【点评】本题考查了集合的性质、等差数列与等比数列的通项公式及其性质、方程的解法， 考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题
