1、第 1 页 共 4 页 数列的函数特性及背景探究 多以数列为呈现方式，以函数为主导 第一课时 等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、 指数函数都有一定的联系充分挖掘二者的函数背景，可以加深对等差、等比数列的理解 例 1等差数列 n a中， n S为 n a的前 n 项和，,p qN且pq (1)若, pq aq ap求证：0 p q a ； (2) 若 pq SS，则0 p q S ； (3) 若, pq Sq Sp求证： p q S ()pq 【证明】 (1)由于 n a通项是关于 n 的一次函数形式，故点(,) ,( ,) ,(,) pqp q p a
2、q apq a 共线 因此 p qqpq aaaa pqqpq ，又因为, pq aq ap且pq， 所以1 p q ap qp ppq ， 即0 p q a (2)由于 n S是关于 n 的二次函数形式，故可设 2 ( ) n Sf nanbn 因为 pq SS，即( )( )f pf q因为 2 ( )(0)f naxbx a对称轴为 2 pq x ， 于是()(0)0f pqf，即0 p q S (3)由(2)知， n S n 通项是关于 n 的一次函数形式， 故点(,),( ,),(,) pqp q SSS pqpq pqpq 共线 第 2 页 共 4 页 因此 p qpqp SSSS
3、 pqpqp pqqqp ，又因为, pq Sq Sp且pq， 则 p q S ()pq 【分析】 等差数列通项与前 n 项和公式分别具有一次函数和二次函数的背景， 因此利用函数 ykxb和 2 (0)yAxbx A性质研究有关等差数列的问题 例 2已知数列 n a与 n b满足 11 2 nnnn aabb ，n （1）若35 n bn，且 1 1a ，求数列 n a的通项公式； （2） 设 n a的第 0 n项是最大项， 即 0 nn aa（n ） ， 求证： 数列 n b的第 0 n项是最大项； （3）设 1 0a， n n b（n ） ，求的取值范围，使得 n a有最大值与最小 值m，
4、且2,2 m 【解析】 （1） （2）略； （3）因为 n n b，所以 1 1 2 nn nn aa ，当2n时， 112211nnnnn aaaaaaaa 1122 222 nnnn 2 n 当1n 时， 1 a，符合上式所以2 n n a因为0，所以 2 2 2 n n a ， 21 21 2 n n a 当1时，由指数函数的单调性知， n a不存在最大、最小值； 当1时， n a的最大值为3，最小值为1，而 3 2,2 1 ； 当10 时，由指数函数的单调性知， n a的最大值 2 2 2Ma，最小值 1 ma，由 2 2 22 及10 ，得 1 0 2 综上，的取值范围是 1 ,0
5、2 第 3 页 共 4 页 例3 已知数列 n a的通项公式为 1 1 ( ) 2 n n a ， 是否存在正整数x， y， 使得 12 , 2, 2 xy nnn aaa 成等差数列？若存在，求出 x，y 的值；若不存在，请说明理由 分析：由 1 1 ( ) 2 n n a 及 12 , 2, 2 xy nnn aaa 成等差数列， 易得 2 221 xy ，其中 x，yN* 即 2 212 xy 易得左式为偶数，若要成立，则 2 2y必为奇数 易得2,1.yx 再分析： 2 221 xy 这个等式还可以给我们透露什么样的信息呢？ 显然，它可以看成是两个指数式之间的差值为 1而基于对指数函数
6、变化的了解，差值 为 1 是一个很小的距离所以可以反映 x 与 y-2 之间的距离很小 另解：显然2xy，不妨设(2)kxy，(*)kN， 若2k时， 2(2)22 12222(21)2 xykyyky ， 所以 22 (21)23 2 kyy ，即 2 1 2(*) 3 y yN ， 显然不成立 若1k =时，1(2)xy，此时 1 221 xx ， 则1,2.xy 例 4已知数列 n a和 n b的通项公式分别为 1 3 2n n a ， 32 n bn， n c的通项公式 nnn cab(*)nN，是否存在元素均为正整数的集合 12 , k Annn，(4,*)kkN，使得数列 12 ,
7、 k nnn ccc为等差数列？证明你的 结论 解析：假设存在满足题意的集合 A，不妨设 l，m，p，rA(lmpr)， 且, lmpr cccc成等差数列，则2 mpl ccc， 因为0 l c ，所以2 mp cc(*)， 题中分析:显然，(*)可以看成是两个指数式之间的大小比较因为 m 0)，因为 2 1 5 a，3 76 aa，解得 q=2， 5 1 2a 从而 12 5 21 + 2 n n aaa ， 所以， (1) 5 2 5 21 (2 )2 2 n nn n 即 (1)(10) 2 212 nn n （*） 放缩处理即 (1)(10) 2 22 nn n ，得(13)10n n ， 又因为*nN，所以112n， 代入（*）检验得最大的正整数 n=12
