1、一、不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法三、换元积分法 四、分部积分法四、分部积分法 五、有理函数的积分五、有理函数的积分 不定积分不定积分一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义定义1 1 若在某区间上若在某区间上 ,则称则称 为为 在该区间上的一个在该区间上的一个原函数原函数)(xF)(xf)()(xfxF 上上的的一一个个原原函函数数在在区区间间是是),0(1ln xxxx1ln )(),0(x上上的的一一个个原原函函数数在在区区间间是是),(cossin xx例如例如:xxcossin ),(x,.,.问题：问题
2、：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何表示原函数的全体如何表示?sin1cosxxxxcossin分析：分析：，.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数;)(xF)(xG)(xf则则CxFxG)()(（为任意常数）为任意常数）C结论：结论：（1）不唯一）不唯一;（3）为为 原函数的全体原函数的全体CxF)()(xf;.定义定义 若若 是函数是函数 的一个原函数的一个原函数,则则 的原函数的全体的原函数的全体 称为的称为的不定积分不定积分.记记 为为 .)(xf)(xfCxF)()(xfdxxf)()(
3、xF任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf)()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量 由此可知由此可知,求求 不定积分只需求出不定积分只需求出 一个原函一个原函 数数,再加上任意常数再加上任意常数 .)(xf)(xfC例例1 求求xdxcos.于是于是函数函数,解解的一个原的一个原是是所以所以因为因为xxxxcossin,cos)(sinCxxdxsincos.例例2 求求dxx1.解解上上的的在在是是所所以以时时),0(1ln,1)(ln,0 xxxxx10,ln(),ln()xxxx时所以是上的上的在在)0,(1x1 (00ln,)(,)dxxCxx 一个原函数；.一
4、个原函数 故.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:xyoxCxFy)()(xFy 它们在点它们在点 处有相同处有相同的斜率的斜率 ，即这些，即这些切线互相平行切线互相平行x)(xf dxxf)(故故 为在点为在点x x处切线斜率为处切线斜率为f(x)的一族曲线。的一族曲线。CxFy )(是积分曲线是积分曲线 上、下平移所得到一族上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线，称为积分曲积分曲线族线族)(xFy 二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基本积分公式 dxxfk)(dxxfk)(性质性质1.dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(性质性质2.基本积分公式基本积分公式
5、);1(1)1(1CxdxxCxxdxln)2(；xdxcos)5(Cxsin；dxexCex(4)；Caaxlndxax(3)；xdxsin)6(Cxcos27()sec xdx Cxtan28()csc xdx Cxcotdxx211)9(CxarcCxcotarctandxx211)10(CxCxarccosarcsin；.例例3 3 求求21(31).2xdxxdxdxxdxx212213Cxxx3解解21(31)2xdxx.例例4 4 求求.dxexx3解解dxedxexxx)(33.3ln)3(Ceex .例例5 5 求求dxxx)(1122解解dxxx)(112222221(1)
6、xxdxxx（）dxxx)(22111dxxdxx22111Cxxarctan1.例例6 6 求求xdx2tan解解 )1(sectan22dxxxdxCxxtan .例例7 7 求求dxxx221cossin解解 dxxx221cossindxxxxx2222cossincossindxxx )cos1sin1(22Cxxcottan.三、换元积分法三、换元积分法 第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)定理定理则有换元公式则有换元公式()(),()f uF u ux设具有原函数可导，dxxxf)()()()uxf u du().FxC.122dxxa例例8 8 求求.解解dxxa2
7、21222111dxxaaaxdaxa2111duua2111axu Caxaarctan1Cuaarctan1.解解dxxxdxxcossintanxxdcoscosxucosuduCu lnCx cosln.解解coscotsinxxdxdxxsinsindxxsinuxduuln uCln sin xC.dxxtan例例9 9 求求.cot xdx例例1010 求求.对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量.dxax例例1111 求求.解解)()(21axdaxdxaxCax23)(32.2xxe dx例例1212 求求.解解2221()2xxxe
8、dxe d x212xeC.dxxxln例例1313 求求.解解dxxxdxxx1lnlndxxx)(lnlnCxxxd2)(ln21lnln.dxxa221例例1414 求求解解dxxaxadxxa)(1122dxxaxaa)(1121)()(xaxadxaxada21Cxaxaa)ln(ln21Cxaxaaln21.secxdx例例1515 求求xxd2sin1sin解解1cosdxxdxxx2coscosxdxsecCxxsin1sin1ln21Cxx22sin1)sin1(ln21ln|sectan|xxC1 sinlncosxCx.另一方法另一方法:解解sec(sectan)secs
9、ectanxxxxdxdxxxCxx|tansec|ln1(sectan)sectandxxxx.csc xdx例例1616 求求解解.cotcsclnsincos1ln)cos1(cos1ln21cos1cos1ln21coscos11sinsinsin1csc2222CxxCxxCxxCxxxdxdxxxdxxxdx 另一方法另一方法:.cotcscln)cot(csccotcsc1cotcsc)cot(csccotcsc)cot(csccsccscCxxxxdxxdxxxxxdxxxxxxxdx dxx22cos1Cxx 42sin2dxx 2sin解解)2(2cos2121xxddx.
10、dxx 2sin例例1717 求求.dxx3sin例例1818 求求.xdxxdxxdxxcos)cos(sinsinsin2231解解CxxCxx coscos31)cos31(cos33.2.第二换元积分法第二换元积分法定理定理.)()()()(1CxFdtttfdxxf 具有具有且且是单调可导函数是单调可导函数设设)()(,)(ttftx ，则则原原函函数数)(tF解解 令令,tx .2tdtdx ,2tx 则则从而从而dxx 11 dttt12 dttt11)1(2 tdtdt122Ctt|1|ln22.)1ln(2Cxx例例1919 求求.11dxx （根式代换）（根式代换）例例20
11、20 求求.)1(13dxxx （根式代换）（根式代换）解解 令令,6tx .65dttdx ,6tx 则则dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216dttt 2216dttt 2211)1(6dtt 21116Ctt )arctan(6.)arctan(666Cxx 从而从而 若被积函数中含有若被积函数中含有 时时,可采用可采用三角替换的方法化去根式三角替换的方法化去根式,这种方法称为这种方法称为三角代换三角代换.2222,axxa三角代换常有下列规律：三角代换常有下列规律：22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax
12、可令可令.sectax ).0(22 adxxa例例2121 求求解解 设设,costdtadx 则则,22,sin ttax故故.cossin22222tataaxa .tdtatadxxacoscos22dttatdta221222coscosCttata cossin2222Cxaxaxa 22221arcsin2.).0(122 adxax例例2222 求求解解 令令,tantax 于于是是则则，.sectanxsec222222taataatdtadx ,2/,2/t dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1|tansec|lnCtt 122lnCaaxax .)l
13、n(22Caxx 解解 令令,sectax ,2/2/,0 t,tanxtansec22taatdttadx ，则则).0(122 adxax例例2323 求求 dxax221dttatta tantansectdtsec1tanseclnCtt122lnCaaxax Caxx22ln ,2/,0时时当当 t.于是于是,dxax221dttatta tantansec tdtsec1tanseclnCtt 122lnCaaxax ,2/时时当当 t122lnCaaxax .ln22Caxx dxax221.ln22Caxx 综上所述得：综上所述得：四、分部积分法四、分部积分法 证明证明()uv
14、u vuv由导数公式由导数公式 得得(),uvuvu v对上两边求不定积分得对上两边求不定积分得().uv dxuv dxvu dx定理定理设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,则则有有.udvuvvdu分部积分公式分部积分公式.udvuvvdu所以所以cossinxxdxxdxsinsinxxxdxsincos.xxxC解解22222121212coscos(coscos)(cossin).xxdxxdxxxx dxxxxxdx另一另一 思路：思路：cos.xxdx例例2525 求求更复杂了更复杂了!22222222sincos(coscos)coscoscos(
15、sincos).xxdxx dxxxxdxxxxxdxxxxxxC 解解2sin.xxdx例例2626 求求例例2727 求求.xxe dx.xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC解解解解22xxx e dxx de22dxeexxx22().xxxx exeeC)(22dxexeexxxxdxxeexxx22xxdexex222.xx e dx例例2828 求求例例3030 求求ln.xxdx解解xdxxlnxdxxx21ln2122ln21xdx221124ln.xxxC1lnlnlnlnlnln.xdxxxxdxxxxdxxxdxxxxxC解解ln.xdx例例2929 求求例例
16、3131 求求arcsin.xdx22221111211arcsinarcsinarcsinarcsinarcsin()arcsin.xdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxC解解例例3232 求求arcsin.xxdx22222222222212121211112111121arcsinarcsin(arcsinarcsin)(arcsin)(arcsin)(arcsin)xxdxxdxxxx dxxxxdxxxxxdxxxxx dxdxx解解221111222(arcsinarcsin).xxxxxC例例3333 求求arctan.xdx222211112 1112arctanarct
17、anarctanarctanarctan()arctanln().xdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxC解解解解22222222212121211112112arctanarctan(arctanarctan)(arctan)arctan()(arctanarctan).xxdxxdxxxx dxxxxdxxxxdxxxxxxC.arctanxdxx例例3-343-34 求求xdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sin解解xdxexsinxxdesinsinsinxxexe dxsinxexdx
18、故Cxxex)cos(sin2.sinxdxex例例3535 求求解解3sec.xdx例例3636 求求3secsec(tan)sec tantan(sec)xdxxdxxxxdxxdxxxx2tansectansecdxxxxx)1(secsectansec2xdxxdxxx3secsectansecxdxxxxx3sec|tansec|lntansec故故312sec(sec tanln|sectan|).xdxxxxxC.lndxxx例例3737 求求ududxxxln2ln)ln(2duuuCuu)1(ln221(ln).xxC解解 设设 ,则则xu 2,dxudu从而五、有理函数的积
19、分五、有理函数的积分其中其中 、都是非负整数；都是非负整数；及及 都是实数都是实数,并且并且 ，.11101110(),()nnnnmmmma xaxa xaP xQ xb xbxb xb有理函数有理函数指指两个多项式的商所表示的函数两个多项式的商所表示的函数:m nnaaa,10mbbb,100na0mb假定分子与分母之间没有公因式，则假定分子与分母之间没有公因式，则1(),nm当时称有理函数为称有理函数为真分式；真分式；2(),nm当时称有理函数为称有理函数为假分式假分式.注意：注意：例：例：11323xxx2211.xxx(1)利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式假分式
20、可以化成一个多项式 和一个真分式之和一个真分式之和和.,()kAxa(2)在实数范围内真分式总可以为化为几个在实数范围内真分式总可以为化为几个最简最简 分式分式之和之和.最简分式是下面两种形式的分式：最简分式是下面两种形式的分式：2,()kMxNxpxq240.pq其中其中 都是待定的常数，都是待定的常数，k k为正整数且为正整数且满足条件满足条件,A M N a p q若有理函数的分母中有因式若有理函数的分母中有因式 ，则，则分解式含有下列最简分式分解式含有下列最简分式kqpxx)(2 11112212,()()kkkkkkM xNMxNM xNxpxqxpxqxpxq240,pq其中其中为
21、待定常数。为待定常数。,iiMN),2,1(ki 111,()()kkkkAAAxaxaxa若有理函数的分母中有因式若有理函数的分母中有因式 ，则分解，则分解式含有下列最简分式：式含有下列最简分式：kax)(3)有理函数化为有理函数化为最简分式最简分式之和的一般规律：之和的一般规律：其中其中 为待定常数为待定常数.kAAA,21 为便于求积分必须把真分式化为最简分式之和为便于求积分必须把真分式化为最简分式之和,同同时，要把待定的常数确定时，要把待定的常数确定,这种方法叫这种方法叫待定系数法。待定系数法。例例 38 求求.65122dxxxx解解 设设65122xxx)3)(2(12xxx23.
22、ABxx下面确定系数下面确定系数A A和。和。方法一：方法一：去分母去分母,两端同乘两端同乘 ，得，得)3)(2(xx213232()()()().xA xB xAB xAB 比较两端比较两端 同次幂的系数同次幂的系数,得得x2321,ABAB22156xxx5332.xx解方程组得解方程组得:35,.AB方法二：方法二：在恒等式在恒等式 中，中，2132()()xA xB x 令令 得得 ;令令 得得 .于是于是2x 3x 3A 5Bdxxxdxxxx)2335(651225332lnln.xxC故故例例39 求求.)1(122dxxxx22111()().xA xBxCx x 213111
23、.()xxx2211()xx x13;xB令得01;xA令得2225131,xABCABC 令得，把代入此式得于是2)1(12xxx211.()ABCxxx解解 设设两边同乘两边同乘 得得21()x x dxxxxdxxxx11)1(31)1(1222311lnln.xxCx222711()()().xxA xBxCx222271111.()()xxABxCxxxx解解 设设例例40 求求.)1)(1(7222dxxxxx故故两边同乘两边同乘 得得211()()xx222272351111()()()xxxdxdxxxxx2321152lnln()arctan.xxxC 22227235111
24、1.()()xxxxxxx21523,.xABCB令得故于是075,;xACC令得所以12;xA 令得故故解解 例例41 求求.136222dxxxx 分析分析:被积函数的分母被积函数的分母 在实数范围内在实数范围内 不能因式分解不能因式分解,可用凑微分法求解可用凑微分法求解.1362 xxdxxxxdxxxx136462136222222222)3(4136)136(xdxxxxxd2361322ln()arctan.xxxC练习：练习：2156.xdxxx22211.()()xdxxxx2311.()()xdxxx 1原函数的概念不定积分的概念不定积分的性原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式质基本积分公式主要内容主要内容2两类换元法两类换元法3分部积分法分部积分法 （1）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积的乘积,设幂函数为设幂函数为 .u (2)若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为的乘积，设对数函数或反三角函数为 .u (3)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者二者皆可作为皆可作为 ,但作为但作为 的函数的类型不变的函数的类型不变.uu
