1、 71 应力状态的概念应力状态的概念72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法74 三向应力状态简介三向应力状态简介75 广义虎克定律广义虎克定律 76 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能7-7 7-7 强度理论及应用强度理论及应用一、引言一、引言1 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验F铸铸铁铁压压缩缩铸铸铁铁扭扭转转铸铸铁铁拉拉伸伸低低碳碳钢钢扭扭转转7 应力状态的概念应力状态的概念x y xxy yx xy yx xyMzx y x yx xy三、单元体三、单元体：单元体单元体构件内的点的代
2、表物，是包围被研究点构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。的无限小的几何体，常用的是正六面体。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（称为这点的应力状态（State of Stress at a a Given Point）。）。xyz x z y xy yx单元体的性质单元体的性质 a a、任意面上，应力均布；、任意面上，应力均布；b b、平行面上，应力相等。、平行面上，应力相等。xyz x z y四、切应力互等定理（四、切应力互等
3、定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。0 :zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyyxxy yx xy zx五、取单元体：五、取单元体：例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。FFAA x xMeFxyzBC x xB xzC xy yxFPl/2l/2S平面平面321单向应力状态（单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应
4、力状态。二向应力状态（二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（三向应力状态（ThreeDimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。A x x zx x xB xzyxz x y z xy yx yz zy zx xz72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法等价等价 x xy yxyzxy x xy yO规定：截面外法线同向为正；绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsi
5、nsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力xy x xy yO y xy x xyOn图2图1xy x xy yO y xy x xyOn图22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：F0 02cos22sin:000 xyyxdd令二、极值应力二、极值应力yxxy 22tg0和两个极值：）、（由此得两个驻点：200！极极值值正正应应力力就就是是主主应应力力 00 ）2222xyyxyx ji （xy x xy yOxy x xy yO主主单元体单元体0;0 )1(321jiji31三、主应力大
6、小及方向三、主应力大小及方向jiji321;0 0 )2(jiji321;0;0;0 )3(yxxy22tg0 y xy x 1 1 0 0 xyOn X00sincoscos01SSSxyoxxyx 10tg 0 xy x xy yO0dd:1令xyyx22tg1222x yyxminmax ）（2minmaxji 主主单元体单元体3 1 四、最大切应力四、最大切应力01045,4面面成成即即极极值值剪剪应应力力面面与与主主平平 231minmax 231max 例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画单元体求主应力及最大切应力0yxPxyWT 2222xyyxyxji ）（2xy
7、 xyC yxMeCxyO xy yx破坏分析 321;0;451tg010 xyx0022tg11xyyxMPa200;MPa240:ss 低低碳碳钢钢MPa300198;MPa960640MPa28098:bcbtb 灰灰口口铸铸铁铁低碳钢 231max xy yx主主单元体单元体31 0解：解：MPaxyyxyx5.172sin2cos22 例例3 用解析法求斜截面上的应力。用解析法求斜截面上的应力。oxyy120 0 30 20 MPaMPaxMPaxyyx65.212cos2sin2 20MPa30MPa300例例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。用解
8、析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。解：解：MPaMPaxyyxyxji86.1514.4421030)2(222,20MPa40MPa10MPaoxyxarctgarctg5.221014.444011 0 86.15 14.44321 MPaMPa 1x22.5o 2MPa07.22231max MPaMPaMPax10 20 40 xyy 73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx 对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（Stress Circle）xy x xy
9、 yO y xy x xyOn此方程曲线为圆此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：由德国工程师：Otto Mohr引入）引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；x xy yxyOn O CA(x,xy)B(y,yx)x2 nD(,x xy yxyOn O CA(x,xy)B(y,yx)x2 nD(,三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线 应力圆的半径两面夹角
10、 两半径夹角2；且转向一致。2222xyyxyxjiROC ）（四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力231minmax ROC A(x,xy)B(y,yx)x2 1 1minmax2 0 0 1 2 3 3例例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150AB 1 2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020
11、1203213004532532595150 10 2AB 2cos2sin2xyyx 4532532595150解法2解析法：分析建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?x2222xyyxyxji ）（60MPa325MPa956060 xyOoox120cos325120sin245325 MPax95 4532532595150MPa325MPa45 xyy 2222xyyxyxji ）（60 xyOMPax95 MPaMPaji20120 020120321 MPaMPa300 xyx 10tg 10 295325zzSxyIbSF zxIMy 12345F1F2q例例6 如图
12、，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、FS0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。解：由梁弯曲应力公式：02222231 xyxx）（xy yx x2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20=90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O74 三向应力状态简介三向应力状态简介 2 1xyz 31231 1、空间应力状态、空间应力状态2 2、三向应力分析、
13、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大切应力为：max231max 2 1xyz 3123例例1 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面50 k 建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:27505832144max5040 xyz3010 (M Pa)（M Pa）ABCAB 1 2 3 max例例1 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主平面50 k 72.42max 5040 xyz30ABC30402222zyyzyzji
14、）（MPaMPaji72.2772.57 72.275072.57321 231max 一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系Exx xyE xzE )0 x,y,z(i,jij xyz x75 广义虎克定律广义虎克定律二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系Gxyxy )(0 x,y,zii 0 zxyz xyz x y三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 -应变关系应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEE 1 xyz z y xy x x y zExx yxE zxE 三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 -应变关系应变关系xzyyE1yxzzE1Gxyxy
15、GyzyzGzxzxzyxxE1 xyz z y xy x主应力主应力 -主应变关系主应变关系方向一致02tg2 yxxyyxxy 02tg13221E12331E32111E 1 3 2四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系:0zxyzzxyxyG yxxE 21 xyyE 21 zyyE 1Gxyxy yxxE 1xy x xy yO五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322111aaaV3211 VVV体积应变：)(21 )(21321zyxEE 体积应变与应力分量间的关系:1 3 2a1a2a3例例2 已知一
16、受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：i=24010-6，j=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。0 :k 自自由由面面上上解解 MPa3.4410)1603.0240(3.0110210 16292 jiiE 所以，该点处为平面应力状态i j 669132103.3410)3.443.22(102103.0 EMPa;.;MPa;.3200344321 334 2.MPa3.44 i MPa3.2010)2403.0160(3.0110210 16292 ijjE 例例3 3 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的
17、内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t=350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxtalpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 42DpDa 4pDa p a axD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)Dlplt2 2pDt 3、求内压（以应力应变关系求之）241EpDEattMP
18、a36.3)25.02(5.01035001.0102104 )2(469 DEptt a外表面yp t tDd)d2(Dlpz图cO7 76 6 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能332211212121 v)(31321 m 2 3 1图图 a图图 c 3-m 1-m 2-m 312321232221221 E m图图 b m m广义胡克定律广义胡克定律平均应力平均应力静水应力状态静水应力状态偏应力状态偏应力状态vdv :单单元元体体的的应应变变能能为为图图c图图 c 3-m 1-m 2-mbaE )(213210 c bmmmv 2123 2321621Evv体积改变比能体
19、积改变比能 21323222161 Evd形状改变比能形状改变比能图图 b m m m图图 a 3 1 2例例1 求单向拉伸应力状态的形状改变比能。求单向拉伸应力状态的形状改变比能。0,0,321 单向拉伸应力状态的主应力为：单向拉伸应力状态的主应力为：形状改变形状改变比能为：比能为：A 21323222161 Evd 2223161 EEvd 例例2 利用纯剪切应力状态和能量法证明三个弹性常数间的关系。利用纯剪切应力状态和能量法证明三个弹性常数间的关系。Gv2212 纯剪单元体的比能为：纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：纯剪单元体比能的主应力表示为：3123212322212
20、21 Ev )(002)(02122 E21 E 12EG xyA13 3210一、材料强度失效的形式：一、材料强度失效的形式：77 强度理论及应用强度理论及应用 塑性屈服：塑性屈服：脆性断裂：脆性断裂：一般塑性材料发生屈服现象，出现塑性变形时，工一般塑性材料发生屈服现象，出现塑性变形时，工程上认为即不可使用，作为失效的标志。程上认为即不可使用，作为失效的标志。一般脆性材料不发生屈服现象，失效标志为突然断一般脆性材料不发生屈服现象，失效标志为突然断裂。裂。二、强度理论：二、强度理论：1.单向应力状态的强度条件：单向应力状态的强度条件：脆脆性性断断裂裂塑塑性性屈屈服服bbssnn 轴向拉压和平面
21、弯曲的正应力强度条件轴向拉压和平面弯曲的正应力强度条件2.纯剪切应力状态的强度条件：纯剪切应力状态的强度条件：A 脆脆性性断断裂裂塑塑性性屈屈服服bbssnn 圆轴扭转和平面弯曲的切应力强度条件圆轴扭转和平面弯曲的切应力强度条件强度理论：强度理论：是关于是关于“构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因”的假说。的假说。3.复杂应力状态的强度条件强度理论复杂应力状态的强度条件强度理论 xyxx x xyA y强度失效方式强度失效方式强度失效原因强度失效原因强度失效假说强度失效假说屈服屈服断裂断裂应力应力应变应变应变能应变能与应力状与应力状态无关态无关意义：意义：由简单应力状态的实验结果，建立复杂
22、应力状态的强度条件。由简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。（一）最大拉应力（第一强度）理论：（一）最大拉应力（第一强度）理论：无论构件处于何种应力状态，构件发生无论构件处于何种应力状态，构件发生脆性断裂脆性断裂的主要原的主要原因是构件内的因是构件内的最大拉应力最大拉应力达到同一材料在达到同一材料在单向拉伸时的强度极单向拉伸时的强度极限限。1 1、断裂、断裂准则准则：1b 2 2、强度条件：、强度条件：1 3 3、实用范围：实用于失效形式为脆断的构件（铸铁的拉、实用范围：实用于失效形式为脆断的构件（铸铁的拉伸与扭转），但必须有拉应力（伸与扭转），但必须有拉应力（1 10 0）。）
23、。三、常用的强度理论：三、常用的强度理论：（二）最大伸长线应变（第二强度）理论：（二）最大伸长线应变（第二强度）理论：无论构件处于何种应力状态，构件发生无论构件处于何种应力状态，构件发生脆性断裂脆性断裂的主要原因的主要原因是构件内的是构件内的最大拉应变（最大伸长线应变）最大拉应变（最大伸长线应变）达到同一材料在单向达到同一材料在单向拉伸发生脆性断裂时的拉伸发生脆性断裂时的极限应变值极限应变值。1 1、断裂、断裂准则准则：0)(;11 u2 2、强度条件：、强度条件：3 3、实用范围：实用于失效形式为脆断的构件（岩石、混凝土压、实用范围：实用于失效形式为脆断的构件（岩石、混凝土压缩沿轴向裂开），
24、但必须有拉应变缩沿轴向裂开），但必须有拉应变（10）。）。EEb 32111 b 321 321（三）最大切应力（第三强度）理论：（三）最大切应力（第三强度）理论：无论构件处于何种应力状态，构件发生无论构件处于何种应力状态，构件发生屈服失效屈服失效的主要原的主要原因是构件内的因是构件内的最大切应力最大切应力达到同一材料在单向拉伸屈服时的达到同一材料在单向拉伸屈服时的极极限切应力（屈服切应力）限切应力（屈服切应力）。1 1、屈服、屈服准则准则：s max3 3、实用范围：实用于失效形式为屈服的构件（塑性材料的、实用范围：实用于失效形式为屈服的构件（塑性材料的屈服现象）。屈服现象）。ss 2231
25、maxs 312 2、强度条件：、强度条件：31（四）形状改变比能（畸变能密度理论、第四强度）理论：（四）形状改变比能（畸变能密度理论、第四强度）理论：无论构件处于何种应力状态，构件发生无论构件处于何种应力状态，构件发生屈服失效屈服失效的主要原的主要原因是构件内储存的因是构件内储存的形状改变比能形状改变比能达到同一材料在单向拉伸时屈达到同一材料在单向拉伸时屈服时的形状改变比能。服时的形状改变比能。1 1、屈服准则：、屈服准则：dsduu 2 2、强度条件：、强度条件：3 3、实用范围：实用于失效形式为屈服的构件（比第三强度理、实用范围：实用于失效形式为屈服的构件（比第三强度理论更符合实验结果。
26、论更符合实验结果。21323222161 Ed s 21323222121 21323222121231sdsE 莫尔认为：最大切应力是使物莫尔认为：最大切应力是使物体失效的主要因素，但滑移面上的体失效的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大切应力及最大正应力）。综合最大切应力及最大正应力的因素，得出莫尔强度理论。的因素，得出莫尔强度理论。阿托阿托莫尔莫尔(O.Mohr),18351918 31 ctrM实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其抗拉强度与抗压强实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其抗拉强度与抗压强度不等的处于复杂应力状态
27、的脆性材料的破坏（岩石度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。、混凝土等）。（六）强度准则的统一形式（相当应力）（六）强度准则的统一形式（相当应力）：r其中其中，r r 相当应力相当应力。11 r 3212 r 213232221421 r313 r ns ,2.0b 31 ctrM 四、四、强度理论的应用强度理论的应用（一）强度计算的步骤：（一）强度计算的步骤：1 1、外力分析：确定所需的外力值（静力学）。、外力分析：确定所需的外力值（静力学）。2 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险截面。、内力分析：画内力图，确定可能的危险截面。3 3、应力分析：画危险截面的应力分布
28、图，确定危险点的位置，、应力分析：画危险截面的应力分布图，确定危险点的位置，并画出单元体图，求主应力。并画出单元体图，求主应力。4 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。强度计算。（二）强度理论的选用原则：（二）强度理论的选用原则：依失效形式而定。依失效形式而定。1 1、脆性材料：使用第一理论；、脆性材料：使用第一理论；3 3、三向拉伸应力状态：使用第一理论；、三向拉伸应力状态：使用第一理论；2 2、塑性材料：使用第三或第四理论。、塑性材料：使用第三或第四理论。4 4、三向压缩应力状态：使用第三或第四理论。、三
29、向压缩应力状态：使用第三或第四理论。MPa7.351.07000163 tWTMPa37.6101.050432 AF22)2(2 jiMPa7.35)237.6(237.6393222 MPa32,0,MPa39321 1解：解：危险点危险点A的应力状态如图：的应力状态如图：例例1 直径为直径为d=0.1m的圆杆受力如图的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN,为为铸铁构铸铁构件，件，=40MPa,试试用第一强度理论校核用第一强度理论校核杆的杆的强度。强度。故，安全。故，安全。FFTTAA A A 例例2 薄壁圆筒受最大内压时薄壁圆筒受最大内压时,测得测得 a=1.88 10-4,t=7.
30、37 10-4,已知钢已知钢的的E=210GPa，=170MPa,泊松比泊松比=0.3，试用第三强度理论，试用第三强度理论校核校核其其强度。强度。)(12taaE MPa4.9410)37.73.088.1(3.011.272 )(12attE MPa1.18310)88.13.037.7(3.011.272 解：由广义虎克定律得解：由广义虎克定律得:A a txyA0,MPa4.94,MPa1.183321 1.183313r 0037.71701701.183 r所以，此容器不满足第三强度理论。不安全所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。第一次（应力分析）：第一次（应力分析）：7.（解析法（解析法d、f），），7.5（解析法（解析法b）第二次（应力和应变分析）：第二次（应力和应变分析）：7.12（b）祝您成功！
