1、 一、函数的概念与表示一、函数的概念与表示 1、函数 （1）函数的定义 原始定义：设在某变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确 定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫作自变量。 近代定义：设 A、B 都是非空的数的集合，f：xy 是从 A 到 B 的一个对应法则， 那么从 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做函数，记作 y=f(x)，其中ByAx ,，原象集 合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。BC （2）构成函数概念的三要素 定义域 对应法则 值域 3、函数的表示方法 解析法 列表法 图象法 注意：强
2、调分段函数与复合函数的表示形式。 二、函数的解析式与定义域二、函数的解析式与定义域 1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而 成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法： （1） 定义法 （2）变量代换法 （3）待定系数法 （4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题 2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量 x 的取值的集合。求函数定义域的主要依 据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3
3、）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1； 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的， 那么它的定义域是由各基本函数定 义域的交集。 3。复合函数定义域：已知 f(x)的定义域为bax,其复合函数)(xgf的定义域应由不 等式bxga)(解出。 三、函数的值域 1函数的值域的定义 在函数 y=f(x)中，与自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 值域。 2确定函数的值域的原则 当函数 y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合； 当函数 y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所
4、覆盖的实数 y 的集合； 当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 当函数 y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 3求函数值域的方法 直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围； 二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域； 反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围； 单调性法：利用函数的单调性求值域； 不等式法：利用不等式的性质求值域； 图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； 几何意义法：由数形结合，转
5、化距离等求值域。 四四函数的奇偶性 1定义定义: 设 y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有()( )fxf x，则称 y=f(x)为 偶函数。设 y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有()( )fxf x ，则称 y=f(x)为 奇函数。如果函数( )f x是奇函数或偶函数，则称函数 y=( )f x具有奇偶性。 2.性质性质： 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象 关于原点对称, 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反， 奇函数在定义域内关于原 点对称的
6、两个区间上单调性相同， 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， 若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 )()( 2 1 )()( 2 1 )(xfxfxfxfxf 奇 奇=奇 偶 偶=偶 奇 奇=偶 偶 偶=偶 奇 偶=奇两函数的定义域D1 ， D2， D1D2 要关于原点对称 对于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 3奇偶性的判断奇偶性的判断 看定义域是否关于原点对称 &n
7、bsp; 看f(x)与f(-x)的关系 五、函数的单调性五、函数的单调性 1、函数单调性的定义 一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为 D，则 如果对于属于定义域 D 内某个区间上的任意任意两个自变量的值 x1， x2D 且 x1x2， 都有 f(x1) f(x2)，即在 D 上具有单调性且单调增加单调增加，那么就说 f(x) 在这个区间 上是增函数增函数。 相反地，如果对于属于定义域 D 内某个区间上的任意任意两个自变量的值 x1，x2D 且 x1x2，都有 f(x1) 0 时，抛物线开口向上，函数在 2 ,( a b 上单调递减，在 ), 2 a b 上单调递 增， a b x 2 时
8、， a bac xf 4 4 )( 2 min （2）a0) =b2-4ac ax2+bx+c=0 (a0) ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0) 图 象 与 解 0 a b x a b x 2 2 2 1 21 xxxxx或 21 xxxx =0 a b xx 2 21 0 xxx 0,a0,M0,N0 (4)对数换底公式：) 10, 10, 0( log log logmmaaN a N N m m a 且且 （5）对数的降幂公式：) 10, 0(loglogaaNN m n N a n am 且 九指数函数与对数函数 1、 指数函数 y=ax与对数函数 y=logax (a
9、0 , a1)互为反函数，从概念、图象、性质去 理解它们的区别和联系 名称 指数函数 对数函数 一般形 式 Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1) 定义域 (-,+ ) (0,+ ) 值域 (0,+ ) (-,+ ) 过定点 （，1） （1，） 图象 指数函数 y=ax与对数函数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称 单调性 a 1,在(-,+ )上为增函数 a1,在(0,+ )上为增函数 a1 ? y0? y0? 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相 同，如果底数相同，可利用指数函
10、数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与 图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象： 3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问 题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 十函数的图象十函数的图象 1、作函数图象的基本方法有两种：、作函数图象的基本方法有两种： （1） 描点法：描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性） 2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点） 3、描点，连线 如：作出函数 x xy 1 的图象
11、 （2） 图象变换法：图象变换法：利用基本初等函数变换作图 平平移变换：移变换：（左正右负，上正下负）即（左正右负，上正下负）即 kxfyxfy hxfyxfy kk hh )()( )()( ,0;,0 ,0;,0 上移下移 左移右移 对称变换：对称变换： （对称谁，谁不变，对称原点都要变） )()( )()( )()( )()( )()( )()( 1 xfyxfy xfyxfy xfyxfy xfyxfy xfyxfy xfyxfy xx y xy y x 轴下方图上翻轴上方图，将保留 边部分的对称图轴右边不变，左边为右 原点 轴 轴 伸缩变换伸缩变换： )()( )()( 1 xAfy
12、xfy xfyxfy A 倍来的仍一点的纵坐标变为原 倍来的仍一点的横坐标变为原 导数与积分导数与积分 1导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量 x ， 那么函数 y 相应地有增量 y =f （x0+ x ） f（x 0） ，比值x y 叫做函数 y=f（x）在 x 0到 x0+x 之间的平均变化率，即 x y = x xfxxf )()( 00 。如果当 0x 时， x y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x0处的导数，记作 f（x0）或 y| 0 xx 。 即 f（x0）= 0 lim xx y = 0 lim
13、xx xfxxf )()( 00 。 2导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0） ）处的 切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率是 f（x0） 。 相应地，切线方程为 yy0=f（x0） （xx0） 。 3几种常见函数的导数: 0;C 1;nn xnx (sin ) cosxx ; (cos ) sinxx ; ( ); xx ee ( )ln xx aaa ; 1 lnx x ; 1 l glog aa oxe
14、 x . 4两个函数的和、差、积的求导法则 ( .) ''' vuvu .)( ''' uvvuuv v u = 2 '' v uvvu （v0） 。 复合函数的导数： 单调区间：一般地，设函数 )(xfy 在某个区间可导， 如果 ' f)(x 0 ，则 )(xf 为增函数； 如果 ' f0)(x ，则 )(xf 为减函数； 如果在某区间内恒有 ' f0)(x ，则 )(xf 为常数； 2极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负；曲线在
15、极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3最值： 一般地，在区间a，b上连续的函数 f )(x 在a，b上必有最大值与最小值。 求函数 )(x 在(a，b)内的极值； 求函数 )(x 在区间端点的值 (a)、(b)； 将函数 )(x 的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小 值。 4定积分 （1）概念：设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0x1xi1xixnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n） 作和式 In n i f 1 (i) x（其中 x 为小区间长度） ，把 n即 x0 时，和式 In 的极
16、 限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作： b a dxxf)( ，即 b a dxxf)( n i n f 1 lim (i) x。 这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式： dx0 C； dxx m 1 1 1 m x m C（mQ， m1） ； x 1 dxln x C； dxe x x e C； dxa x a a x ln C； xdxcos
17、sinxC； xdxsin cosxC（表中 C 均为常数） 。 （2）定积分的性质 b a b a dxxfkdxxkf)()( （k 为常数） ； b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( ； b a c a b c dxxfdxxfdxxf)()()( （其中 acb)。 （3）定积分求曲边梯形面积 由三条直线 xa，xb（ab） ，x 轴及一条曲线 yf（x）(f(x)0)围成的曲 边梯的面积 b a dxxfS)( 。 如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设 f1(x)f2(x)0） ，及直线 xa， xb（ab）围成，那么所求图形的面积 SS 曲边梯形 AMNBS 曲边梯形 DMNC b a b a dxxfdxxf)()( 21 。
