1、绝密启用前绝密启用前 2020 届广州市高三年级调研测试 理科数学 2020 届广州市高三年级调研测试 理科数学 2019.12 本试卷共本试卷共 6 页，页，23 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。 ）填图在答题卡的相应位置上。 2作答选择题时，选出每
2、小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒 涂改液，不按以上要求作答无效。 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案
3、；不准使用铅笔盒 涂改液，不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图 1，已知全集UZ=，集合2, 1,0,1,2A = ，1,2,3,4B =，则图中阴影部分所表 示的集合是 A.3,4 B. 2, 1,0 C.1,2 D.2,3,4 2. 已知 2
4、(1i) 1 z i = + （i为虚数单位） ，在复平面内，复数z对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知 1 3 1 ( ) 2 a =， 2 log 3b =， 4 log 6c =，则 , ,a b c 的大小关系为 A.acb B.abc D.acb在 200,200上有且仅有300a的取值范围是 A. 3 2 2 ( 3e, 4e B. 31 22 ( 3e, e C. 3 1 2 ( 2e , 3e D. 1 2 2 ( e, 4e 一、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.
5、已知(0, )， 4 tan() 43 +=，则sincos+=_. 14. 若 1 (3)nx x +展开式的二项式系数之为64，则展开式中的常数项的值是_. 15. 125 6 ，三视图如图 4 所示，则其侧视图的面积为_. 16. 在 ABC中，设角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，记ABC的面积为S ， 且 222 42abc=+，则 2 S a 的最大值为_. 已知偶函数 已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为 个整数解，则实数 二、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本
6、小题满分 12 分） 已知 n a为单调递增的等差数列， 25 18aa+=， 34 80a a =，设数列 n b满足 2 12 22bb+ + 3 3 2 b224 n an n b+=， *. nN （1）求数列 n a的通项； （2）求数列 n b的前n项和 n S. 18. （本小题满分 12 分） 如图 5，已知四边形ABCD是边长为 2 菱形，60ABC =，平面 AEFC 平面 ABCD，EF/AC，AE=AB，2.ACEF= （1）求证：平面 BED 平面 AEFC； （2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EAAC ，求二面角 BFCD的余弦值. 19. （本小题满分 1
7、2 分） 某城市 A 公司外类配送员底薪是每月 1800 元/人，设每月每人配送的单数为X，若 1,300X ，配送员每单提成 3 元；若(300,600X ，配送员每单提成 4 元：若 600,)X +配送员每单提成 4.5 元.B公司外卖配送员成薪是每月 2100 元/人， 设每月 每人配送的单数为Y ，若1,400Y ，配送员每单提成 3 元：若400,)Y + ，配送员 每单提成 4 元，小王计划在 A 公司和 B 公司之间选择一份外卖配送员工作他随机调查 了 A 公司外尖配送员甲和 B 公司外卖配送员乙在 9 月份（30 天）的送餐量数据，如下 表： （1） 设 A 公司外卖配送员工
8、资为(X)f（单位： 元人） ， B 公司外卖配送员月工资为(Y)g （单位：元/人） ，当 XY=且,(300,600X Y 时，比较(X)f与(Y)g的大小； （2）若将甲乙 9 月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率， （i）分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望； （ii）请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由. 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆C: 22 2 1(0) 3 xy a a +=的右焦点 F 到左顶点的距高为 3. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 O 为坐标原点，过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点（A、B 不在 x 轴上）
9、， 若OEOAOB=+ ，延长AO 交圆于点 G 求四边形 AGBE 的面积S的最大值. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )lnf xxxkx=+. （1）讨论函数( )f x 的单调性； （2）若( )f x 有两个极值点 12 ,x x，证明： 12 1 |()()|2 4 f xf xk. 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用B2铅笔在答题卡上把所选题目的题号 涂黑。 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致， 在答题卡选答区域指定位置答题。 如果多做，则按所做的第一题计分。 铅笔在答题卡上把所选题目的题号 涂黑。 注意
10、所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致， 在答题卡选答区域指定位置答题。 如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C的参数方程为 1 1 xm m ym m =+ = （m为参数） ，以原点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 . 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 3 sincos30.= （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）已知点(0,1)P，直线l与曲线C交于,A B两点，求 11 |PA|PB| + . 23. 选修 4-5：不等式选讲
11、已知( ) |(2) |2|()f xxaxxxa=+. （1）当2a =时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(, )xa 时，( )0f x ，求实数a的取值范围. 2020 届广州市高三年级调研测试理科数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D A C B A D A B C D 13 4 2 5 14 135 15 6 16 10 6 1答案：A 解析：阴影部分所表示的集合为 |3,4x xBxA且 2答案：C 解析： 2 (1 i)2i2i(1 i)2i(1 i) 1 i 1 i1 i(1 i)(1 i)2 z ， 其在复平面内对应的点为(
12、 1, 1) ，位于第三象限 3答案：D 解析： 1 0 3 11 1 22 a ， 2444 log 3log 9log 6log 41bc，acb 4答案：A 解析：作可行域为如图所示的ABC， 其中(1,0),(2,3),(0,2)ABC， 则1,7,6 ABC zzz ， 所以 min 7 B zz 5答案：C 解析： 设该生进入该校的 “篮球” ， “电子竞技” ， “国学” 社团分别为事件 A， B， C， 则 1 ( ),( ) 3 P Am P B， ( )P Cn，则 111 ()( ) ( ) ( ), 3248 P ABCP A P B P Cmnmn， 23 1()1(
13、 ) ( ) ( )1 (1)(1) 34 P ABCP A P B P Cmn ， 3 (1)(1) 8 mn， 13 (1)(1)1 ()1 () 88 mnmnmnmn ， 3 4 mn 6答案：B 解析：打印的点分别为( 3,6), ( 2,5),( 1,4), (0,3),(1,2), (2,1)， 其中位于圆 22 25xy内的有( 1,4), (0,3),(1,2), (2,1)，共 4 个 7答案：A 解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以FDb，又OFc， 由 1 2 FDOF，可知 1 2 bc，不妨设1b ，则2,3ca，离心率 22 3 33 c e a 8
14、答案：D 解析：函数( )f x为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项 B，( )ln0f，排除选 x y O A B C 2 1 1 2 O 项 C，当(0, )x时， 1 ( )lnsin ,( )cosf xxx fxx x ，令( )0fx，得 1 cosx x ，作出函数 1 y x 和cosyx 在(0, )x内的图象，由图可知，有 1 个交点，所以方程( )0fx在(0, )x有 一个根，所以函数( )lnsinf xxx在(0, )x上有 1 个极值点，排除 A，选 D 9答案：A 解析： 2 3333AC ADABBCADAB ADBD ADADABADAD 10答案：B 解
15、析：1073,16103 2, 28103 4,52283 8,100523 16 ， 以此类推， 8910 1003 32196,1963 64388,3883 128772aaa 11答案：C 解析：设( , )M x y，则M的半径 11 , 22 ryAO， 由于MOAO，所以 222 MOAOAM， 即 2 22 11 42 xyy ，整理得： 2 xy ， 因为曲线 2 xy 是以 1 0, 4 P 为焦点的抛物线， 而 1 2 AMry， 1 4 MPy ，此时 1 4 MAMP为定值 12答案：D 解析：函数( )f x有两条对称轴，0x 和4x ，所以函数( )f x是周期函
16、数，最小正周期8T ， 区间 200,200的长度为50T，所以原不等式在一个周期上有 6 个整数解， 由对称性可知， 2( ) ( )0fxaf x在0,4上有 3 个整数解，当0,4x时， 2 ( ) x f xxe ， 2 1 ( )1 2 x fxx e ，当(0,2)x时，( )0,( )fxf x单调递增，当(2,4)x时，( )0,( )fxf x单 调递减，且 13 12 22 (0)0,(1),(2)2,(3)3,(4)4ffefefefe ， 由 2( ) ( )0fxaf x得0x 或xa ， 3 1 2 3 (3)(4)16 31,(3)(1),41,(4)(1) (1
17、)(1) ff effeff ffe ， 1 2 2 4eae - 所以 1 2 2 4eae P M B O A 13答案： 4 2 5 解析： tantan tan14 4 tan,3tan344tan 41tan3 1tantan 4 ，解得 1 tan 7 ， 1784 sin, cos,sincos2 55 25 25 2 14答案：135 解析：依题意可得264,6 n n， 6 1 3x x 展开式中的常数项为 4 42 6 1 (3 )135Cx x 15答案：6 解析：设外接球半径为R，则 3 4125 36 R ，解得 5 2 R ，底面正三角形外接圆的半径2r ，设三棱
18、锥的高为h，由 222 ()hRrR，解得4h ，则其侧视图的面积为 1 3 46 2 S 侧视图 16 在ABC中， 设角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 记ABC的面积为S， 且 222 42abc， 则 2 S a 的最大值为 16答案： 10 6 解析：如图，过点A作ADBC，垂足为D，设,ADh BDx，则CDax， 222222 () ,bhaxchx， 2222222 42()22abchaxhx， 2 2 222 210 339 aa hxaxax ， 当 3 a x 时， max 10 3 ha， 22 max 110 10 23 6 aa S aa 17解析
19、： （1）设数列 n a的公差为d，因为数列 n a是单调递增的，所以0d ，所以 34 aa， 由 3425 34 18 80 aaaa aa ，得 3 4 8 10 a a ，所以 43 2daa， 13 24aad， 1 (1)42(1)22 n aandnn （2） 2322 123 222224 nn n bbbb A B C c b h xax D 当2n时， 2312 1231 222224 nn n bbbb ，得 222222 2224 223 2 ,3 2(2) nnnnnnn nn bbn ， 当1n 时， 1 4 11 2242412,6 a bb也满足上式，3 2()
20、 n n bn N 所以数列 n b是首项为 6，公比为 2 的等比数列， 1 6 (12 ) 3 26 1 2 n n n S 18解析： （1）在菱形ABCD中，BDAC， 又因为平面AEFC 平面ABCD，平面AEFC平面ABCDAC，BD 平面ABCD， BD平面AEFC，又因为BD 平面BED，所以平面BED 平面AEFC （2） 因为平面AEFC 平面ABCD， 平面AEFC平面ABCDAC，AE 平面AEFC，AEAC， AE平面ABCD， 在直角梯形AEFC中，2ACEF，设ACBDO，连接OF，则AOEF ，/OFEA， OF平面ABCD，在菱形ABCD中，60ABC，ABC
21、为正三角形， 以下用两种方法进行计算， 方法一：向量法：已知,OF OB OC两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ( 3,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(3,0,0)BCFD ，(3,1,0),(3, 1,0),(0, 1,2)BCCDCF ， 设平面BCF的法向量为 111 ( ,)mxyz ， 则 11 11 30 20 m BCxy m CFyz ，得 11 11 3 2 yx yz ，取 1 2x ，则 11 2 3,3yz，(2,2 3, 3)m 设平面CDF的法向量为 222 (,)nxyz ，则 22 22 22 22 303 2 20 n CD
22、xyyx yz n CFyz ， 取 2 2x ， 则 22 2 3,3yz ，(2, 2 3,3)n 4 12311 cos, 1919 m n m n mn 由图可知，二面角BFCD为钝角，所以二面角BFCD的余弦值为 11 19 A C B D E F O xy z A C B D E F O G 方法二：几何法： 由（1）知BD 平面AEFC，所以BDFC， 设ACBDO，过点O作OGFC，垂足为G，连接,BG CG， 由,FCBD FCOG BDOGO，得FC 平面BDG，,FCBG FCDG， BGD即为二面角BFCD的平面角， 在RtFOC中， 2 1,2,5, 5 OC OF
23、OCOFCFOG CF ， 在RtBOG中， 22 419 3 55 BGOBBG，同理， 19 5 DGBG， 222 1919 12 11 55 cos 19 219 2 5 BGDGBD BGD BG DG 故二面角BFCD的余弦值为 11 19 19解析： （1）(300,600XY，( )()g Yg X， 当(300,400X 时，()( )()()(18004)(21003)3000f Xg Yf Xg XXXX， 当(400,600X 时，()( )()()(18004)(21004)3000f Xg Yf Xg XXX 所以当(300,400X 时，()( )f Xg Y，当
24、(400,600X 时，()( )f Xg Y （2） （i）送餐量x的分布列为： x 13 14 16 17 18 20 P 1 15 1 5 2 5 1 5 1 15 1 15 送餐量y的分布列为： y 11 13 14 15 16 18 P 2 15 1 6 2 5 1 10 1 6 1 30 则 112111 ( )13141617182016 155551515 E x ， 212111 ( )11131415161814 156510630 E y （ii）()30 ( )480(300,600E XE x，( )30 ( )420(400,)E YE y， 所以 A 公司外卖配送
25、员估计平均月薪为18004 ()3720E X（元） ， B 公司外卖配送员估计平均月薪为21004 ( )3780E Y（元） ， 所以小王应选择做 B 公司外卖配送员 20解析： （1）由题意可得 22 32 13 aca cac ，所以椭圆方程为： 22 1 43 xy （2）设直线AB的方程为1xmy，联立 22 1 1 43 xmy xy ，得： 22 (34)690mymy， 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，则 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ， 如图， 2 2 121212 2 13181 33()4 2234 AGBEAOB m SS
26、OFyyyyy y m ， 设 2 1,1tmt，则 2 1818 1 31 3 AGBE t S t t t ， 在1,)t上单调递减，所以当1t ，即0m 时， 四边形AGBE的面积 AGBE S取得最大值 9 2 21解析： （1）函数( )f x的定义域为(0,)，且 2 2 ( )21(0) kxxk fxxx xx ， 设 2 ( )2g xxxk，1 8k ， 当0，即 1 8 k时，( )0fx恒成立，此时( )f x在(0,)上单调递增 当0 ，即 1 8 k 时，令( )0f x ，得 12 11 811 8 , 44 kk xx ， （i）当0k 时， 12 0 2 k
27、x x ，此时 12 0,0xx ，当 2 (0,)xx时，( )0,( )fxf x单调递减， 当 2 (,)xx时，( )0,( )fxf x单调递增， （ii）当 1 0 8 k时， 121212 1 0,0,0 22 k x xxxxx ， 当 1 (0,)xx时，( )0,( )fxf x单调递增，当 12 ( ,)xx x时，( )0,( )fxf x单调递减， 当 2 (,)xx时，( )0,( )fxf x单调递增， 综上，当0k 时，( )f x在 11 8 0, 4 k 上递减，在 11 8 , 4 k 上递增； 当 1 0 8 k时，( )f x在 11 811 8 0,
28、 44 kk 上递增，在 11 811 8 , 44 kk 上递 E G B O F A 减；当 1 8 k时，( )f x在(0,)上单调递增 （2）由（1）知 1 0 8 k， 12 ,x x为方程 2 20xxk的两根，不妨设 12 xx，则 12 ()()f xf x，故 2 2 1212121212 11 ,()42 224 k xxx xxxxxx xk， 要证 12 1 ( )()2 4 f xf xk，即证 2 1212 ( )()()f xf xxx，即证 2 1212 ()()()f xf xxx， 11 1212121212121212 22 1 ()()(1)()(ln
29、ln)ln()2ln()() 2 xx f xf xxxxxkxxkxxx xxxxx xx 22 1 121212121212 2 ()()()2ln()()() x f xf xxxx xxxxxxx x 22 2 1111 2 2222 2ln11 xxxx x xxxx ，设 1 2 x t x ，则1t ， 2222 12122 ()()()2 ln1 (1)f xf xxxxtttt ， 设 22 ( )2 ln1 (1)2 (ln1),(0,1)g ttttttttt ， 设( )ln1,(0,1)h tttt ，则 1 ( )10h t t ，( )h t在(0,1)上单调递增
30、，( )(1)0h th， 即( )0g t ， 2 1212 ()()()0f xf xxx，即 2 1212 ()()()f xf xxx，命题得证 22解析： （1）由 1 1 xm m ym m ，可得 222222 22 11 2,2,4xmymxy mm ， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 1 44 xy 方法二：由 1 1 xm m ym m ，可得 22 2 2 ,()()4,4xym xyxy xyxy m ， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 1 44 xy 由3 sincos30及cos ,sinxy， 可得直线l的直角坐标方程为330yx （2）直线 3 :1 3 l
31、 yx，直线l过点(0,1)P，且倾斜角为30，所以直线l的参数方程为： 3 2 1 1 2 xt yt （t为参数） 将直线l的参数方程代入 22 4xy，并整理得 2 2100tt， 设AB、两点对应的参数分别为 12 ,t t，则 121 2 2,10ttt t ， 2 12121 2 121 21 2 ()41111442 1111 10105 ttttt t PAPBttt tt t 23解析： （1）当2a 时，( )22 (2)f xxx， 当2x时， 2 ( )2(2)0f xx，无解； 当2x 时， 2 ( )2(2)0f xx ，恒成立 所以不等式( )0f x 的解集为(
32、,0) （2）当( )(2)2 ()0f xxa xxxa时，2x 或xa，(, )xa 当2a 时，( )()(2)(2)()2()(2)0f xax xx xaxa x 恒成立，满足题意； 当2a 时， 2 ( )2(2)0f xx 恒成立，满足题意； 当2a 时， （i）当(,2)x 时，( )()(2)(2)()2()(2)0f xax xx xaxa x 成立，满足题意， （ii）当2, )xa时，( )()(2)(2)()0f xax xxxa，不满足题意， 综上所述，实数a的取值范围是(,2 解法二：当(, )xa 时，( )()(2)2 ()()2(2)f xax xxxaxaxx ， 0xa，则由( )0f x ，可得2(2)0,22xxxx，2x， 即2xax，所以实数a的取值范围是(,2
