1、高三 11 月联考数（理）试题第 1页 （共 4 页） 2020 届湖北省部分重点高中 高三 11 月期中联考 数学(理科)试题 本本试试卷卷分分第第 I 卷卷（选选择择题题）和和第第 II 卷卷（非非选选择择题题）两两部部分分满满分分 150 分分考考试试时时间间 120 分分钟钟 注意事项： 1. 答卷前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上指定位置。用 2B 铅笔将试卷类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。答在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答
2、题作答：用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A=x|-1x2，B=x|xa，若 AB ，则实数 a 的取值范围为（） A. ? 1 ? 2B. ? 1C. ? 1D. ? 2 2.定义运算 ? ? =ad-bc，则符合条件 1? 1 ? =4+2i 的复数 z 为（） A. ? ? ?B. 1 ?C. ? ? D. 1 ? ? 3.已知?1?
3、? ?，?2? ? ?是不共线向量，AB ? ?=2?1 ? ? ?+?2? ? ? ，BC ? ?=-?1 ? ? ?+3?2? ? ? ，CD ? ?=?1 ? ? ?-?2? ? ?，且 A，B，D 三点共线，则实数 等于（） A. 3B. 4C. 5D. 6 4.如图，点 A 为单位圆上一点，? ? ? ?，点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角 到点? ? ? ? ， 4 ? ?，则 cos=（） A. 4 ? 1? B.? 4 ? 1? C. 4? ? 1? D.? 4? ? 1? 5.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平 均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度
4、音程从一个 c 键到下一个 c1键的 8 个白键与 5 个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音 c1 的频率正好是中音 c 的 2 倍已知标准音 a1的频率为 440Hz，那么频率 为 220 2Hz 的音名是（） A. dB. fC. eD. ? 高三 11 月联考数（理）试题第 2页 （共 4 页） 6.已知 Sn为数列an的前 n 项和，（） A. 若?1? ? ?，nN*，则?是等差数列 B. 若?1 2 ? ? ?2，nN*，则?是等比数列 C. 若? ?1? 2 ，nN*，则?是等差数列 D. 若? ? ? 且 ? ? 1?，nN*，则?是等比数列 7.下列四个命题中
5、真命题是（） ，log1 2? ? log 1 ? ， 1 2 ? ? log1 2? ， 1 2 ? ? log1 ? ， 1 2 ? ? 1 ? ? A. ?2,?B. ?2,?4 C. ?1,?D. ?1,?4 8.函数 f（x）= ?，? ? 1 ?1 ?，?1 ，则 y=f（1-x）的图象是（） ABCD 9.已知函数 ? ? cos4? sin2?，下列结论中错误 的是（） A. ?是偶函数B. 函数 ?最小值为? 4 C. ? 2是函数 ?的一个周期 D. 函数 ?在内是减函数 10. 定义在0，+）上的函数 f（x）满足：当 0x2 时，f（x）=2x-x2：当 x2 时，f（
6、x）=3f（x-2） 记 函数 f（x）的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，an，并记相应的极大值为 b1，b2， bn，则 a1b1+a2b2+a20b20的值为（） A. 1? ? ?2? 1B. 1? ? ?1? 1C. 2? ? ?1? 1D. 2? ? ?2? 1 11. 设函数 ( )sin 6 f xx ，若对于任意 5 , 62 ，在区间0,m上总存在唯一确定的，使 得 0ff，则 m 的最小值为（） A. 6 B. 2 C. 7 6 D. 12. 函数 f（x）=ex-e1-x-b|2x-1|在（0，1）内有两个零点，则实数 b 的取值范围是（） A. ? ?1 ? ?
7、? ? 1? ? B. 1? ? ? ? 1? C. 1? ? ? ? ? 1? D.1? ? ? ? ? ? 1? 高三 11 月联考数（理）试题第 ?页 （共 4 页） 第卷(非选择题 共 90 分) 二填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2 20 0 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上。答错 位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13. 设函数 f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则 a= _ 14. ? ? 内角 ? 的对边分别为 ?，若 ? ?，? ? ? ?， ，则? ? 的面积 ? ?_ 15. 如图， 三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条
8、直线上， 边 ? 上有 10 个不同的点?1?2?1? ,则? ? ? ?1? ?2 ? ? ? ? ?1? ?=_ 16. 已知函数 f（x）=x2cos? 2 ，数列an中，an=f（n）+f（n+1）（nN*），则数列an的前 100 项之 和 S100=_ 三、解答题（共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每 个试题考试必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一一）必必考考题题：共共 60 分分 17.(本小题满分 12 分)已知 Sn是数列an的前 n 项之和，a1=1，2Sn=nan+1，nN* （1）求数列an的通项
9、公式； （2）设 bn=（-1）n 2?1 ?1，数列bn的前 n 项和 Tn，若|Tn+1| 1 2?1?，求正整数 n 的最小值 18. (本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，BAC=CAA1=60，且 AB=AC=AA1=2 （1）求证：B1CA1B； （2）求二面角 A-B1C-B 的余弦值 19. (本小题满分 12 分)如图，一个角形海湾 AOB，AOB2（常数 为锐角）拟用长度为 ?（? 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一：如图 1，围成扇形养殖区 OPQ，其中? ?；方案二：如
10、图 2，围成三角形养殖区 OCD， 其中 CD? 高三 11 月联考数（理）试题第 4页 （共 4 页） （1）求方案一中养殖区的面积 S1； （2）求方案二中养殖区的最大面积(用，? 表示)； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由 20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 x2=2py（p0）上的点 M（m，1）到焦点 F 的距离为 2， （1）求抛物线的方程； （2）如图，点 E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点 E 处的切 线与 x 轴相交于点 P，直线 PF 与抛物线相交于 A，B 两点， 求EAB 面积的最小值 21. (本小题满分
11、 12 分) 已知函数 ? ? ? ?,曲线 ? ? ?在点? 2?2?处的切线与直线 2? ? ? ? 垂直其中 e 为自然对数的底数? （1）求 ?的解析式及单调减区间； （2）若函数 ? ? ? ? ?2 ?1无零点,求 k 的取值范围? （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?（其中 t 为参数）在以 O 为极
12、点、 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线 l 的极坐标方程为 ?sin ? ? ? ? ?2 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）求直线 l 与曲线 C 的公共点 P 的极坐标 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)x2-x+1，且 a，b，cR （1）若 a+b+c2，求 f(a)+f(b)+f(c)的最小值； （2）若|x-a|1，求证：|f(x)-f(a)|2(|a|+1) 第 1页，共 2 页 2020 届湖北省部分重点高中 高三 11 月期中联考 数学(理科)试题答案和解析 1.【答案】B2.【答案】A3.【答
13、案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】C 7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】B12.【答案】D 13.【答案】- 2 ? 14.【答案】1 ?15.【答案】18016.【答案】10200 17.【答案】解：（1）因为 2Sn=nan+1， 所以 2Sn-1=（n-1）an， -得：2an=nan+1-（n-1）an，n2， 所以 ?1 ?1 ? ? ? ，则? ? ? ?为常数列，（4 分） 又 a2=2S1=2， ? ? ? ?2 2 ? 1， ? ? ? ?（n2）当 n=1 时也满足，所以 an=n（6分） （2）? 【 1? ?2?1 ?1
14、 ? 【 1? 2?1 ?【?1? ? 【 1?【 1 ? 1 ?1 ?， 当 n 为偶数时，? 【1 1 2? 【 1 2 1 ? 【 1 ? 1 ? ? 【 1 ? 1 ?1 ? ? ? ?1， 当 n 为奇数时，? 【1 1 2? 【 1 2 1 ? 【 1 ? 1 ? ? 【 1 ? 1 ?1 ? ? ?2 ?1， 综上，1 ? 1 ?1 ，? 为偶数 1 ?1 ，? 为奇数 ，（10 分） 则?1 ? ? 1 ?1 1 21? ? ? 121?， n2018，n 的最小值为 2019（12 分） 18.【答案】证明：（）连结 BD、AB1， A1DAC，CAA1=60，AC=AA1，
15、 D 是 AC 的中点， 又 AB=AC，BAC=60，BDAC， A1DBD=D，A1D，BD?平面 A1BD， AC平面 A1BD，A1B?平面 A1BD， ACA1B， 又 AA1B1B 是平行四边形，AB=AA1，AB1A1B， ACAB1=A，AC，AB1?平面 AB1C， A1B平面 AB1C，B1C?平面 AB1C， B1CA1B（6 分） 解：（）由（）知 AC、DB、DA1两两垂直， 故以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz， A（0，-1，0），B（ ?，0，0），C（0，1，0），A1（0，0， ?）， ? 1 ?=（0，1， ?）， 设 B1（x0
16、，y0，z0），则?1? =（? ?，?，?）， ? 1 ? ? ?1 ? ，? ? ? ，? 1，?，B1（ ?，1， ?）， ? 1 ?=（ ?，2， ?），? ?=（0，2，0）， 设平面 AB1C 的一个法向量? ?=（x，y，z）， 则 ? ? ?1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ，取 x=1，得? ?=（1，0，-1）， 设平面 BB1C 的一个法向量为?,同理得? 【1? ? 1?, cos? ?，?= ? ? ? ?= 1 ? ， 二面角 A-B1C-B 的余弦值为 1 ? （12 分） 19.【答案】解：(1)设 OPr，则 lr2，即 r ? 2?，所
17、以 S11 2lr ?2 ?，(0， ? 2) （3 分） (2)设 OCa，ODb由余弦定理，得 l2a2b22abcos2，所以 l22ab2abcos2 所以ab ?2 2【1?2?，当且仅当 ab 时“”成立 所以 SOCD1 2absin2 ?2?2? ?【1?2? ?2 ?，即 S 2 ?2 ? （7 分） (3) 1 ?2 1 ?1 ? ?2(tan)，(0， ? 2)， 令 f()tan，则 f ()(? ?)1 sin2? cos2? 当(0，? 2)时，f ()0，所以 f()在区间(0， ? 2)上单调递增 所以，当(0，? 2)时，总有 f()f(0)0，即 1 ?2
18、1 ?10，即 S1S2 答：为使养殖区面积最大，应选择方案一（12 分） 20.【答案】解：（1）抛物线 x2=2py（p0）的准线方程为? ? ? 2， 因为 M（m，1），由抛物线定义，知? ? 1 ? 2， 所以1 ? 2 ? 2，即 p=2， 所以抛物线的方程为 x2=4y（4 分） （2）因为? ? 1 ? ?2，所以? ? 1 2 ? 设点?【， 2 ? ?， ? ，则抛物线在点 E 处的切线方程为? 2 ? ? 1 2 【? ? 令 y=0，则? ? 2，即点 ?【 2 ，? 第 2页，共 2 页 因为?【 2 ，?，F（0，1），所以直线 PF 的方程为? ? 2 【? 2
19、?，即 2x+ty-t=0 则点?【， 2 ? ?到直线 PF 的距离为? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 ? 联立方程 ? ? ?2 ? 2? ? ? 消元，得 t2y2-（2t2+16）y+t2=0 因为=（2t2+16）2-4t4=64（t2+4）0， 所以?1 ? 221 ?【2? 22 ，?2 ? 221 ?【2? 22 ， 所以? ? ?1 1 ?2 1 ? ?1 ?2 2 ? 221 2 2 ? ?【2? 2 所以EAB 的面积为? ? 1 2 ? ?【2? 2 ? ? ?2 ? ? 1 2 ? 【2? ? 2 ? （8 分） 不妨设 ?【? ? 【?2? ? 2 ? （x
20、0），则 ?【? ? 【?2? 1 2 ?2 【2?2 ? 因为 ? 【，2?时，g（x）0，所以 g（x）在【， 2?上单调递减；? 【 2， ?上，g（x）0，所以 g（x） 在【 2， ?上单调递增 所以当 ? ? 2时，?【? ? 【2? ? 2 2 ? ? 所以EAB 的面积的最小值为 ? ?（12 分） 21【答案】解：【?函数 ?【? ? ? ?的导数为?【? ? ?【?1? 【?2 , 又由题意有：?【?2? ? 1 2 ? 2? ? ? 1 2 ? ? ? 2, 故?【? ? 2? ? 此时?【? ? 2【?1? 【?2 ,由或 1 ? ? ?, 所以函数 ?【?的单调减区间
21、为【?1?和【1?（4 分） 【?【? ? ?【? ?2 ?1 ? ?【? ? ?【 2 ? ? ?1 ?,且定义域为【?1? ? 【1? ?, 要函数 ?【?无零点,即要 2 ? ? ? ?1在 ? 【?1? ? 【1? ?内无解, 亦即要? 2【?1? ? ? 在 ? 【?1? ? 【1? ?内无解 构造函数?【? ? ? 2【?1? ? ? ?【? ? ?2 ?2 ?当 ? ? 时,在 ? 【?1? ? 【1? ?内恒成立, 所以函数 ?【?在【?1?内单调递减,?【?在【1? ?内也单调递减 又 ?【1? ? ,所以在【?1?内无零点, 在【1? ?内也无零点,故满足条件； ?当 ?
22、【 时,?【? ? ?2 ?2 ? ?【? ? ?【?2 ? ?2 , 【1?若 ? 2,则函数 ?【?在【?1?内单调递减, 在【1? 2 ? ?内也单调递减,在【 2 ? ? ?内单调递增 又 ?【1? ? ,所以在【?1?内无零点； 易知?【 2 ? ? ,而?【? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 【 , 故在【 2 ? ? ?内有一个零点,所以不满足条件； 【2?若 ? ? 2,则函数 ?【?在【?1?内单调递减,在【1? ?内单调递增 又 ?【1? ? ,所以 ? 【?1? ? 【1? ?时,?【? 【 恒成立,故无零点,满足条件； 【?若 ? 【 2,则函数 ?【?
23、在【? 2 ? ?内单调递减,在【 2 ? ?1?内单调递增, 在【1? ?内也单调递增?又 ?【1? ? ,所以在【 2 ? ?1?及【1? ?内均无零点 又易知?【 2 ? ? ,而 ?【? ? ? ? 【 ? 2 2? 2? ?2 2, 又易证当 ? 【 2 时,?【? 【 , 所以函数 ?【?在【? 2 ? ?内有一零点,故不满足条件 综上可得：k 的取值范围为：? ? 或 ? ? 2（12 分） 22.【答案】解：（）消去参数得曲线 C 的直角坐标方程为 x2-y2=4(x2),（5 分） 所以曲线 C 的极坐标方程?2?2? ?2?2? ? ?,即?2?2? ? ? ? ? ? ?
24、 ? , （）将 l 与 C 的极坐标方程联立，消去?，得? ? ? ? ? 2?2?， 化简得 ?2? 2 ? 1 ? ，得? ? ? ? ，? ? ? ， 代入?【 ? ? ? ?2得? ? 2 2，所以 P 的极坐标为 2 2， ? .（10 分） 23.【答案】解：（）因为?2 ?2 ?2? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ?,当 a=b=c= 2 ?时取等号， f(a)+f(b)+f(c)= ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?, 所以 f(a)+f(b)+f(c)的最小值为? ?. （5 分） （）因为|x-a|1， 所以|f(x)-f(a)|= ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 = ? ? 2? 1? ? ? 2? 1 1 2 ? 1 ? 2 ? 1（10 分）
