1、等腰三角形的性质等腰三角形的性质课题导入课题导入灵活运用灵活运用教学目标教学目标教学重点教学重点u等腰三角形性质的探究与推导等腰三角形性质的探究与推导2 2课时流程课时流程课堂小结课堂小结探究论证探究论证课件简要说明课件简要说明1 1教学难点教学难点目录目录B BC C边边腰腰底边底边顶角顶角底角底角定义定义：有两边相等的三角形有两边相等的三角形 是等腰三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰另一条边叫做另一条边叫做底边底边 两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角腰腰角角A A复习引复习引入入联系联系？探究思考探究思考 等腰三角形等
2、腰三角形轴对称图形轴对称图形2.2.剪去绿色部分剪去绿色部分3.3.将剩下的蓝色部分展开将剩下的蓝色部分展开1.1.将将长方形纸片按图中虚线对折长方形纸片按图中虚线对折看一看：你得到了什么图形？看一看：你得到了什么图形？实验探究实验探究2.2.剪去绿色部分剪去绿色部分3.3.将剩下的蓝色部分展开将剩下的蓝色部分展开A AB BC C1.1.将将长方形纸片按图中虚线对折长方形纸片按图中虚线对折AB=ACAB=AC等腰三角形等腰三角形实验探究实验探究轴对称图形轴对称图形联系联系等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形探究思考探究思考 等腰三角形等腰三角形轴对称图形轴对称图形A AB BC C探
3、究归纳探究归纳B B =C CBADBAD=CADCADADBADB=ADC ADC=90=90BDBD=CDCDD D A.A.B.B.C.C.D.D.全对全对 A AB BC C探究归纳探究归纳B B =C CBADBAD=CADCADADBADB=ADC ADC=90=90BDBD=CDCDD D A.A.B.B.C.C.D.D.全对全对 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等.（简写（简写“等边对等角等边对等角”)”)性质性质1 1想一想：想一想：结论结论反应了等腰三角形的什么特性？反应了等腰三角形的什么特性？A AB BC C探究归纳探究归纳B B =C CBADBAD=C
4、ADCADADBADB=ADC ADC BDBD=CDCDD D 等腰三角形的两个底角相等.ADAD为顶角为顶角BACBAC的角平分线的角平分线ADAD为底边为底边BCBC上的高上的高ADAD为底边为底边BCBC上的中线上的中线（简写（简写“等边对等角等边对等角”)”)（简写（简写“三线合一三线合一”）C CA AB B角平分线角平分线D D高高线线中线中线ABC验证归纳验证归纳性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角等边对等角）.已知：在ABC 中，AB=AC,求证：B=C .条件条件结论结论符号语言：在ABC中，AB=AC B=C（等边对等角）在一个三角形中DEF分析：要想证明 B=C
5、 只需证 构造全等三角形构造全等三角形只需 添加辅助线验证归纳验证归纳性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角等边对等角）.已知：ABC 中，AB=AC,求证：B=C .CAB高线角平分线D中线AAB证法证法2：作作ABC的高的高AD.DCBCABC证法证法1：作作ABC底边底边BC的中线的中线AD.D1证法证法3：作顶角的平分线作顶角的平分线AD.D2性质1 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角等边对等角）.A AB BC CD D已知：ABCABC 中，ABAB=ACAC,求证：B B=C C .验证归纳验证归纳证法证法1 1：作底边BC上的中线AD.在ADB和ADC中:ABAB=
6、ACAC（已知）DBDB=DCDC（作图）ADAD=ADAD（公共边）ADBADBADCADC（SSSSSS）B B=C C（全等三角形对应角相等)证法证法2 2：作底边BCBC的高ADAD，交BCBC于点D D.ADADBCBC，ADBADB ADCADC9090.在RtRtABDABD与RtRtACDACD中，ABABACAC（已知）AD ADADAD（公共边）RtRtABDABD Rt RtACDACD（HLHL）B BC C 证法欣赏证法欣赏A AB BC C验证归纳验证归纳D D证法欣赏证法欣赏证法证法3 3：作顶角BACBAC的平分线ADAD，交BCBC于点D D.ADAD平分BA
7、CBAC ，1 12.2.在ABDABD与ACDACD中，AB ABACAC（已知）1 12 2（已证）ADADADAD（公共边）ABDABD ACDACD（SASSAS）B BC.C.A AB BC CD D(1 12 2验证归纳验证归纳A AB BC CD D验证归纳验证归纳性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合.（三线合一）.条件条件结论结论AD是顶角的平分线AD是底边上的中线和高符号语言：在ABC中，AB=AC,BAD=CAD DB=DC,ADBC已知：ABC 中,AB=AC,BAD=CAD 求证：DB=DC,ADBC.A AB BC CD D验证归纳验证归
8、纳性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合.（三线合一）.条件条件结论结论AD为底边的中线AD为顶角的平分线和底边上的高在ABC中，AB=AC,DB=DC已知：ABC 中，AB=AC,DB=DC求证：BAD=CAD,ADBC.BAD=CAD,ADBCA AB BC CD D验证归纳验证归纳性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合.（三线合一）.条件条件结论结论AD为底边上的高AD为顶角的角平分线和底边上的中线在ABC中，AB=AC,已知：ABCABC 中，ABAB=ACAC,ADADBCBC求证：BADBAD=CADCAD,DB=DC.BAD
9、=CAD,DB=DCAD平分BAC 12.在ADB 和ADC中 ADB ADC（SAS）DB=DC，ADB=ADC 又 ADB+ADC=180 ADB=90 ADBC已知：如图，ABC 中，AB=AC，AD 是顶角BAC的平分线求证：DB=DC，ADBCACD验证归纳验证归纳 ABAC（已知）12（已证）ADAD（公共边）(1 12 2 证明:AD 是底边BC 的高，ADBC ADB ADC90 在RtABD与RtACD中 RtABD RtACD（HL）BAD=CAD，DB=DC 已知：如图，ABC 中，AB=AC，AD 是底边BC 的高求证：BAD=CAD，DB=DCACD验证归纳验证归纳A
10、BAC（已知）ADAD（公共边）证法欣赏证法欣赏 ：AD 是底边BC 的中线，BD=CD 在ABD 和ACD中 ABD ACD（SSS）BAD=CAD，ADB=ADC 又 ADB+ADC=180 ADB=90 ADBC已知：如图，ABC 中，AB=AC，AD 是底边BC 的中线求证：BAD=CAD，ADBCACD验证归纳验证归纳AB=AC（已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）证法欣赏12CDADBCADBCBD CD12(1)如果如果 AB=AC,AD是角平分线是角平分线,那么那么 ，BD .(2)如果如果 AB=AC,AD是中线是中线,那么那么 ,.(3)如果如果 AB=AC,AD
11、是高是高,那么那么 ,.BCDA1 2思考：思考：等腰三角形中，若三线都未出现，为等腰三角形中，若三线都未出现，为了解决问题，你会怎么做？了解决问题，你会怎么做？验证归纳验证归纳AAB B作作ABCABC的高的高AD.AD.D DC CB BC C等腰三角形常见辅助线等腰三角形常见辅助线1作顶角的平分线作顶角的平分线AD.AD.D D2ABC作作ABCABC底边底边BCBC的的中线中线AD.AD.D D1.1.判断对错：判断对错：等腰三角形的顶角一定是锐角。（等腰三角形的顶角一定是锐角。（）(等腰三角形的顶角也可以是直角和钝角，只要内角和不超过等腰三角形的顶角也可以是直角和钝角，只要内角和不超
12、过180180即可。即可。)等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。（等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。（）(等腰三角形的底角只能是锐角，如果是直角和钝角，内角和会超过等腰三角形的底角只能是锐角，如果是直角和钝角，内角和会超过18180 0。)等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。（等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。（）（据（据“三线合一三线合一”性质，等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。）性质，等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。）练一练练一练等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）画出任意一个等画出任意一个等腰三角形的
13、底角腰三角形的底角平分线、这个底平分线、这个底角所对的腰上的角所对的腰上的中线和高，看看中线和高，看看它们是否重合？它们是否重合？ABCDEFABCD“三线合一三线合一”应该只适用于应该只适用于等腰三角形等腰三角形的的顶角平分线顶角平分线，底边上的中线底边上的中线和和底边上的底边上的高高 。探究归纳探究归纳1.1.判断对错：判断对错：等腰三角形的顶角一定是锐角。（等腰三角形的顶角一定是锐角。（）(等腰三角形的顶角也可以是直角和钝角，只要内角和不超过等腰三角形的顶角也可以是直角和钝角，只要内角和不超过180180即可。即可。)等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。（等腰三角形的底角可能
14、是锐角或者直角、钝角都可以。（）(等腰三角形的底角只能是锐角，如果是直角和钝角，内角和会超过等腰三角形的底角只能是锐角，如果是直角和钝角，内角和会超过18180 0。)等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。（等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。（）（根据（根据“三线合一三线合一”性质，等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。）性质，等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）练一练练一练 在在ABC中，中，A+ABC+C=x+2x+2x=1800.x=360，A=360 例例1：在在ABC中，中，AB=AC，点点D在在
15、AC上，上，BD=BC=AD，求求A的度数的度数解解:AB=AC，BD=BC=AD,ABC=C=BDC A=ABD(等边对等角等边对等角)A=x，则，则BDC=A+ABD=2x ABC=C=BDC=2xBCAD例题精选例题精选2.填空：填空：如图如图ABC中，中，AB=AC若若BAC=70,AD平分平分BAC，则则BAD=，B=B=。若若ADBC，BC=4，则则BD=，CD=CD=。若若BADCAD，BC=4，则则BD=，CD=CD=。练一练练一练 D C A B 3 3.在在ABC ABC 中，中，AB=ACAB=AC，如果一个角为，如果一个角为5050,则另两个则另两个角为角为_ _505
16、0和和 8080或或 6565和和 65 65 练一练练一练5050A AB BC C4.4.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110,则其余两角为则其余两角为_._.35 35 和和3535A AB BC C1101105050A AB BC C110110110110注意：注意：1.1.没有明确所给的角是顶角还是底角时，一定要分类没有明确所给的角是顶角还是底角时，一定要分类讨论。讨论。2.2.当条件给出一个角是直角或者是钝角时，它只能是当条件给出一个角是直角或者是钝角时，它只能是顶角。顶角。5.5.等腰三角形周长等腰三角形周长1616，其中一边长，其中一边长6 6，则其他两边长为，
17、则其他两边长为 .6.6.已知等腰三角形两边长为已知等腰三角形两边长为7cm,14cm,7cm,14cm,则周长为则周长为 cm.cm.练一练练一练5.5.设腰长为设腰长为x x 或或 设底边长为设底边长为x x。则则 6+x+x=16 6+x+x=16 或或 x+6+6=16 x+6+6=16解得解得x=5 x=5 或或 x=4 x=46 5 5 6 5 5 或或 4 6 64 6 65 5、5 5或或6 6、4 46.7 14 146.7 14 14 14 7 7 14 7 7 7+14+14=35 7+14+14=35 3535注意：注意：1.1.已知没有明确腰和底边的题目要分类讨论。已
18、知没有明确腰和底边的题目要分类讨论。2.2.一定要验证各种情况是否能构成三角形再进行解答。一定要验证各种情况是否能构成三角形再进行解答。等腰三角形等腰三角形的主要特征的主要特征从角看从角看-从边看从边看-从从“三线三线”看看-从整体看从整体看-分类思想分类思想 方程思想方程思想 转化思想转化思想 两边相等两边相等（定义）（定义）两个底角相等两个底角相等（性质（性质1 1 等边对等角）等边对等角）顶角的平分线底边上的中顶角的平分线底边上的中线底边上的高相互重合线底边上的高相互重合（性质（性质2 2 三线合一）三线合一）轴对称图形轴对称图形等腰三角形常用的辅助线等腰三角形常用的辅助线顶角平分线、底边中线，底边的高顶角平分线、底边中线，底边的高1.1.知识方面知识方面2.2.方法方面方法方面课堂小结课堂小结注意是指同一个三角形注意是指同一个三角形中中注意腰上高和中线与底角注意腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质的平分线不具有这一性质.
