1、 等腰三角形第一课时 等腰三角形的性质下载图片观赏寻找A AB BC C有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰另一条边叫做另一条边叫做底边底边底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角 先学检测一先学检测一关于等腰三角形你学过那些知识?边边角角如图如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分并剪去绿色部分,再把它展开再把它展开,得到的得到的ABCABC。A AB BC CAB=ACAB=AC等腰三角形等腰三角形问题
2、问题1 1：ABC ABC 有什么特点？有什么特点？问题问题2 2：ABC ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕折痕所在的直线所在的直线是它的对称轴。是它的对称轴。问题问题3 3：你还能发现剪出的等腰三角形具有哪些特征吗？：你还能发现剪出的等腰三角形具有哪些特征吗？继续猜想等腰三角形继续猜想等腰三角形ABCABC有哪些性质有哪些性质.相等的线段相等的线段相等的角相等的角 B B=C CBADBADCADCADBDABDACDACDAB BC CACDB（2 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
3、上的高相互重合。底边上的高相互重合。语言叙述：语言叙述：问题问题4 4：你会证明以上猜想吗？：你会证明以上猜想吗？（1 1）等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等已知：已知：ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：B=B=C.C.问题问题5 5：如何证明两个角相等？：如何证明两个角相等？如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？你还有其他你还有其他证明方法吗？证明方法吗？性质性质1:1:这个命题的条件和结论是什么这个命题的条件和结论是什么?用数学符号如何表达条件和结论用数学符号如何表达条件和结论?(简写成简
4、写成“等边对等角等边对等角”).).ABCD D问题问题6 6：你能想到几种证明方法？：你能想到几种证明方法？证明：证明：作顶角的平分线作顶角的平分线AD.则有则有1 12 2AB=AC (已知已知),1=2 (辅助线作法辅助线作法)，AD=AD(公共边公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知：ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.ABC1 2证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线作顶角的平分线D在在BAD和和CAD中，中，证明：证明：作底边中线作底边中线AD则则BD=CDAB=AC (已
5、知已知),BD=CD(辅助线作法辅助线作法)，AD=AD(公共边公共边),BAD CAD(SSS).B=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知：ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线作底边中线 在在BAD和和CAD中，中，已知：已知：ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.ABC证明：证明：作底边高线作底边高线AD.则有则有ADBADBADC ADC 9090 AB=AC (已知已知),AD=AD(公共边公共边),Rt BAD Rt CAD(HL).B=C(全等三角形的对应角相等
6、全等三角形的对应角相等).D证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线作底边的高线在在RtBAD和和RtCAD中，中，等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。性质1(等边对等角)A AB BC CD D结论 几何语言 在ABC中 AB=AC B=CD如图，作底边的中线AD.D如图 作作底边底边的高AD.D如图，作顶角的平分线AD.ABCABCABC等腰三角形常见的辅助线归纳提炼一：归纳提炼一：（1 1）已知等腰三角形的一个底角是）已知等腰三角形的一个底角是8080，则其余两角为则其余两角为 .（2 2）已知等腰三角形的
7、一个角是）已知等腰三角形的一个角是8080，则其余两角为则其余两角为 .（3 3）已知等腰三角形的一个角是）已知等腰三角形的一个角是100100，则其余两角为则其余两角为 .8080 ,20 ,208080,20,20或或5050,50,504040,40,40在等腰三角形中，只要知道任一个角，就可以求出另外两个角！在等腰三角形中，只要知道任一个角，就可以求出另外两个角！顶角顶角+底角底角 2=180 2=180BCA分类讨论分类讨论等腰三角形的性质2二建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?等腰三
8、角形的性质等腰三角形的性质2：性质2A AB BC CD D结论等腰三角形的等腰三角形的顶角平分顶角平分线线，底边上的中线底边上的中线，底底边上的高边上的高互相重合互相重合。（等腰三角形的等腰三角形的 “三线合一三线合一”）已知：已知：ABC ABC 中，中，AB=AC,ADAB=AC,AD是是BACBAC的平分线的平分线.等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线、底边上的高相互重合相互重合.求证：求证：ADAD是是ABCABC的高和中线的高和中线.性质性质：（简写成（简写成“三线合一三线合一”）ABCD21431.1.等腰三角形顶角的平分线等腰三角
9、形顶角的平分线,平分底边并且垂直于底边平分底边并且垂直于底边.2.2.等腰三角形底边上的中线等腰三角形底边上的中线,平分顶角并且垂直于底边平分顶角并且垂直于底边.3.3.等腰三角形底边上的高等腰三角形底边上的高,平分顶角并且平分底边平分顶角并且平分底边.性质性质2 2 等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线与与底边底边上的中线上的中线，底边底边上的高上的高互相重合互相重合.（简写成（简写成“三线合一三线合一”）(1)(1)AB=AC AB=AC，ADBCADBC，=，=.(2)AB=AC(2)AB=AC，BD=CDBD=CD，=.(3)AB=AC(3)AB=AC，1=21=2，=.1 1
10、2 22 2BDBDCDCDADADBCBCBDBD1 1BCBCADADCDCD几何语言：几何语言：ABCD21“三线合一三线合一”可以帮助我们解决线段的可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。垂直、相等以及角的相等问题。性质性质2 2的作用？的作用？知一线得二线知一线得二线画出任意一个等画出任意一个等腰三角形的底角腰三角形的底角平分线、这个底平分线、这个底角所对的腰上的角所对的腰上的中线和高，看看中线和高，看看它们是否重合？它们是否重合？ABCDEFABCD 能力提升能力提升1.在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已，已知知BD=2cm,求求DC=_cm,
11、BC=_cm？CBDA12 AB=AC,AD BC（已知）（已知）BD=CD（等腰三角形的高与（等腰三角形的高与底边上的中线重合）底边上的中线重合）即（等腰三角形三线合一）即（等腰三角形三线合一）BD=2cm（已知）（已知）CD=2cm BC=4cm2 4 1 1、等腰三角形的顶角一定是锐角。、等腰三角形的顶角一定是锐角。2 2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。钝角都可以。3 3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。4 4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。合
12、。5 5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角（X X）（X X）（）（X X）（）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。求和ADC的度数 AB=AC，D是BC边上的中点ADC 90。BAC=180。-30。-30。=120。160 ABCD112BAC（三线合一）例例1 1 如图，在如图，在ABCABC中中 ，AB=ACAB=AC，点，点D D在在ACAC上，且上，且BD=BC=ADBD=BC=AD，求，求ABCABC各角的度数。各角的度数。1.1.图中有哪几个等腰三角形？图中有哪几个等腰三角形？ABCDx xABC ABC ABD ABD BDCBDC2.2.有哪些相等的角？有哪些相等的角？方程思想方程思想代数的方法代数的方法几何问题几何问题等腰三角形等腰三角形的主要特征的主要特征从角看从角看-从边看从边看-从从“三线三线”看看-从整体看从整体看-分类思想分类思想 方程思想方程思想两边相等两边相等两个底角相等两个底角相等顶角的平分线顶角的平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高相互重合底边上的高相互重合（三线合一）（三线合一）轴对称图形轴对称图形等腰三角形常用的辅助线等腰三角形常用的辅助线顶角平分线、底边中线，底边的高顶角平分线、底边中线，底边的高1.1.知识方面知识方面2.2.方法方方法方面面
