1、角的平分线的性质 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第第1 1课时课时 角平分线的性质角平分线的性质学习目标1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理的性质定理(重点重点)2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题(难难点点)问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？导入新课导入新课用量角器度量，也可用折纸的方法问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在
2、角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线一做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示：提示：(1)(1)已知什么？求作什么？已知什么？求作什么？(2)(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢样在作图中体现这个过程呢?(3)(3)在
3、平分角的仪器中，在平分角的仪器中，BC=DCBC=DC，怎样在作图，怎样在作图中体现这个过程呢？中体现这个过程呢？(4)(4)你能说明为什么你能说明为什么OCOC是是AOBAOB的平分线吗？的平分线吗？ABMCO已知:AOB.求作：AOB的平分线.仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.12已知：平角AOB.求作：平角AOB的角平分线.结论：结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作
4、这条直线的垂线的方法.ABOC1.1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质二验证猜想已知：如图，AOC=BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：PDOA于点于点D,PEOB于点于点E，PDO=PEO=90
5、.在PDO和和PEO中，PDO=PEO，AOC=BOC，OP=OP，PDO PEO(AAS).PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.方法归纳u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.u应用格式：OP 是AOB的平分线，PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个
6、.知识要点PDOA于点于点D,PEOB于点于点E，BADOPEC判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC(2)如上右图，DCAC，DBAB （已知）.=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，DE=DF,DEB=DFC=90.在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD，RtBDE RtCDF(HL).E
7、B=FC.典例精析例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.BACPMDE4温馨提示：温馨提示：存在两条垂线段存在两条垂线段直接应用直接应用典例精析A AB BC CP P变式：如 图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.D D4温馨提示：温馨提示：存在一条垂线段存在一条垂线段构造应用构造应用1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法利用角平分线的性
8、利用角平分线的性质所得到的等量关质所得到的等量关系进行转化求解系进行转化求解1.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3DBCEAD解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，解得AC3.F114 227,22ABCSAC 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法E ED DC CB BA A68102.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE
9、的长和AED的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB，RtCDBRtEDB(HL)，BEBC=8.AEAB-BE=2.AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.3.如图，已知ADBC，P是BAD与 ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N.ADBC，MNBC，MN的长即为AD与BC之间的距离.AP平分BAD,PMAD,PEAB，PM=PE.同理，PN=PE.PM=PN=PE=3.MN=6.即AD与BC之间的距离为6.4.如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.,DFDECDCD课堂小结课堂小结角平分线尺 规作 图属于基本作图，必须熟练掌握性 质定 理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅 助 线添加过角平分线上一点向两边作垂线段
