1、最短路径问题最短路径问题满满 分分技技法法问题问题作法作法原理原理 已知直线已知直线l及点及点A、B，在直线，在直线l上上作点作点P，使，使APBP最小最小 作点作点A关于关于l 的对称点的对称点A，连接，连接AB，与，与l的交点即为点的交点即为点PAPBPAB两点之间，线两点之间，线段最短段最短问题问题作法作法原理原理 分别在直线分别在直线l1、l2上作点上作点A、B，使使PAABBP最小最小 作点作点P分别关于直线分别关于直线l1、l2的对称点的对称点P1、P2，连接，连接P1P2，与两直线交点，与两直线交点即为即为A、BPAABBPP1P2两点之间，线两点之间，线段最短段最短问题问题作法
2、作法原理原理 分别在直线分别在直线l1、l2上作点上作点A、B，使，使PAABBQ最小最小 作点作点P、Q分别关于直线分别关于直线l1、l2的的对称点对称点P1、Q1，连接，连接P1Q1，与两，与两直线交点即为直线交点即为A、BPAABBQP1Q1两点之间，线两点之间，线段最短段最短问题问题作法作法原理原理 分别在直线分别在直线l1、l2上作点上作点B、A，使，使PAABBQ最小最小 作点作点P、Q分别关于直线分别关于直线l2、l1的的对称点对称点P1，Q1，连接，连接P1Q1，与两，与两直线交点即为直线交点即为A、BPAABBQP1Q1两点之间，线两点之间，线段最短段最短问题问题作法作法原理
3、原理已知直线已知直线l及及A、B两点，在两点，在l上求作点上求作点P、Q，使线段，使线段PQd，并且使，并且使APPQQB最小最小将点将点A向右平移至点向右平移至点A，使，使AAd，再，再作作A关于关于l的对称点的对称点A，连接，连接AB，与，与l的交点即为点的交点即为点Q，将点，将点Q向左平移定长向左平移定长d，即为点，即为点PAPPQQBABd两点之间，线段最两点之间，线段最短短问题问题作法作法原理原理 已知直线已知直线l1l2，且距离为，且距离为d，分，分别在别在l1、l2上作点上作点P、Q且且PQl1，使，使 APPQQB最小最小 将点将点A向下平移向下平移d个单位长度个单位长度得到得
4、到A，连接，连接AB，与，与l2的交的交点即为点即为Q，过，过Q作作l2的垂线与的垂线与l1的交点即为点的交点即为点PAPPQQBABd两点之间，线两点之间，线段最短段最短问题问题作法作法原理原理 在直线在直线l上求作一点上求作一点P，使使|BPAP|；最小；最小；最大最大 作线段作线段AB的中垂线与直线的中垂线与直线l的交的交点即为点点即为点P1作点作点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A，连，连接接BA并延长与直线并延长与直线l的交点即为点的交点即为点P2线段中垂线上的点到线线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等；段两个端点的距离相等；|BP2AP2|BA例例1 (2015重庆重庆A卷
5、改编卷改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物如图，在平面直角坐标系中，抛物线线y x2 x3 交交x轴于轴于A，B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，交交y轴于点轴于点W，顶点为，顶点为C，抛物线的对称轴与，抛物线的对称轴与x轴轴的交点为的交点为D.(1)求直线求直线BC的解析式；的解析式；3433例例1 1题图题图解：解：(1)y x2 x3 (x2)24 ，C(2，4 )令令y0，即，即0 x2 x3 ，解得，解得x16，x22，B(6，0)，A(2，0)设直线设直线BC的解析式为的解析式为ykxb，代入，代入B(6，0)，C(2，4 )，得，得 ，直线直线BC的解析式为的解析式为y
6、x6 .3433343334333064 32kbkb36 3kb 33(2)设点设点E(m，0)，其中，其中2m4.过过E作作EEx轴交抛物线于点轴交抛物线于点E，交，交BC于点于点M，求，求ME的最大值的最大值【思维教练思维教练】由于由于E，E，M均在垂直于均在垂直于x轴的直线上，轴的直线上，E点横坐点横坐标已设，可根据直线标已设，可根据直线BC及抛物线解析式表示出及抛物线解析式表示出ME长度，其必为长度，其必为关于关于m的二次函数，根据二次函数性质及的二次函数，根据二次函数性质及m的范围求出最值的范围求出最值(2)E(m，0)，M(m，m6 )，E(m，m2 m3 )，EM(m2 m3
7、)(m6 )m22 m3 (m4)2 .2m4，当当m4时，时，EM最大，最大，ME最大值为最大值为 .33333433343334343333(3)在在(2)的条件下，点的条件下，点F(m2，0)为为x轴上另一点，其中轴上另一点，其中2m4，过过F作作FFx轴，交抛物线于点轴，交抛物线于点F，交，交BC于点于点N，求，求MENF的最大值及此时的的最大值及此时的E，F坐标坐标解：解：F(m2，0)，Nm2，(m2)6 ，Fm2，(m2)2 (m2)3 ，333433【思维教练思维教练】同同(2)表示出表示出FN的长度，进而表示出的长度，进而表示出MENF，其也必为关于其也必为关于m的二次函数，
8、根据二次函数性质求解的二次函数，根据二次函数性质求解FN (m2)2 (m2)3 (m2)6 (m2)22 (m2)3 m2 m，EMFN(m22 m3 )(m2 m)(m3)2 .当当m3时，时，MENF的值最大，最大值为的值最大，最大值为 .此时此时E(3，)，F(5，)34333334333433333434323 323 3215 347 34(4)在在(3)的条件下，在的条件下，在y轴上找一点轴上找一点R，使，使|RFRE|的值最大，的值最大，请求出请求出R点坐标及点坐标及|RFRE|的最大值的最大值解：延长解：延长FE交交y轴于轴于R点，如解图，则点，如解图，则R满足满足|RFRE
9、|最最大，最大值即为大，最大值即为EF长，设直线长，设直线EF的解析式为的解析式为yaxb(a0)，代入代入E(3，)，F(5，)，得，得15 347 34【思维教练思维教练】R是是y轴任意一点，只有轴任意一点，只有R在在EF所在的直线上时，所在的直线上时，才会有才会有|RFRE|最大，最大为最大，最大为FE，求出，求出EF所在直线的解析所在直线的解析式可易求出式可易求出R坐标，坐标，EF的长度可利用两点间距离公式进行求的长度可利用两点间距离公式进行求解解 ，解得，解得 ，y x .当当x0时，时，y ，R(0，)作作FKEM于点于点K，如解图，如解图，则则FK2，EK ，EF =4，|RFR
10、E|的最大值为的最大值为4，此时点，此时点R(0，)15 3347 354abab327 34ab 327 3427 3427 3415 37 32 344222(2 3)27 34例例1 1题解图题解图(5)如图，已知如图，已知x轴上一点轴上一点P(，0)，现以，现以P为顶点，为顶点，2为边长为边长在在x轴上方作等边三角形轴上方作等边三角形QPG，使，使GPx轴现将轴现将QPG沿沿PA方向以方向以每秒每秒1个单位长度的速度平移，当点个单位长度的速度平移，当点P到达点到达点A时停止记平移后的时停止记平移后的QPG为为QPG，当点，当点Q到到x轴的距离与点轴的距离与点Q到直线到直线AW的距离相等
11、的距离相等时，求点时，求点Q的坐标的坐标92例例1 1题图题图【思维教练思维教练】点点Q到到AW和和x轴距离相等，则轴距离相等，则Q 必在必在AW与与x轴所组成的角的角平线上，则分为轴所组成的角的角平线上，则分为 AW与与x轴轴组成的锐角角平分线上和钝角角平分线上两种情况组成的锐角角平分线上和钝角角平分线上两种情况进行求解进行求解(5)y x2 x3 ，令令x0时，时，y3 ，W(0，3 )点点Q到到x轴与到轴与到AW的距离相等，的距离相等，点点Q在在WAB的平分线上或在的平分线上或在WAB补角的平分线上补角的平分线上()当点当点Q在在WAB的平分线上时，如解图，作的平分线上时，如解图，作WA
12、B的平的平分线分线AL.过过Q点作点作x轴的平行线交轴的平行线交AW于于R点，交点，交AL于于T点，交点，交PG于于V点当点点当点Q与点与点T重合时，点重合时，点Q为符合题意的点为符合题意的点343333例例1 1题解图题解图PGx轴，轴，RVPG，在等边在等边PGQ中，中，PV PG ，R、T点的纵坐标都为点的纵坐标都为 ，V(，)设直线设直线AW的解析式为的解析式为ymxn(m0)，代入代入(2，0)，(0，3 )，得，得 ，直线直线AW的解析式为的解析式为y x3 .333129233023 3mnn 3 323 3mn3 32当当y 时，即时，即 x3 ，得，得x ，R(，)，RV .
13、作作RZx轴于轴于Z点，如解图，则点，如解图，则AZ2 ，RZ ，AR .AL平分平分WAB，WATTAB.RVx轴，轴，RTATAB，WATRTA，RTRA ，333333 3243439435236423322231(3)()33313例例1 1题解图题解图点点T到到CD的距离为的距离为RVRTDP 显然点显然点Q与点与点T重合时，点重合时，点Q为符合题意的点，为符合题意的点，Q横坐标为横坐标为 .此时此时Q点坐标为点坐标为()()当点当点Q在在WAB的补角的平分线上时，如解图，作的补角的平分线上时，如解图，作WAB的补角的平分线的补角的平分线AL.过点过点Q作作x轴的平行线交轴的平行线交
14、AW于于R点，点，交交AL于于T点，交点，交PG于于V点当点点当点Q与点与点T重合时，点重合时，点Q为符合为符合题意的点题意的点353191031(2).63233143314,33同同()，RV ，RART ，TV ，在在RtPQV中，中，VPQ60，PV ，QV PV3.PGQ向左平移的距离为向左平移的距离为TQTVQVAPAPTQ235631335316333353117313,6363917311131(),26333例例1 1题解图题解图点点P的横坐标为的横坐标为点点T的横坐标为的横坐标为即即Q的横坐标为的横坐标为 ，Q()综上综上Q坐标为坐标为()或或()11315312().3333 22531431431(2 3)(3).33333 4313431,33431,33314,33再见再见2022-11-1
