1、 河南省鹤壁市高中河南省鹤壁市高中 20202020 届高三年级线上第二次模拟考试届高三年级线上第二次模拟考试 理科数学试卷理科数学试卷 时间时间: :120120 分钟分钟 满分满分: :150150 分分 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 已知集合15 |,|2MxxNx x ，则 MN（ ） A2 |1xx B2|5xx C5 |1xx D2|0xx
2、2. 已知复数z满足z izi ，则z在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知非零向量, a b满足ab，则“22abab”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 已知, x y满足不等式组 220 210 0 xy xy x ，则点,()P x y所在区域的面积是（ ） A1 B2 C. 5 4 D 4 5 5. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区 至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A 1 6 B 1 4
3、C. 1 3 D 1 2 6. 已知函数 f x是定义在R上的偶函数， 当0x时， x f xex， 则 3 2 2 2,9afbf log ， ()5cf的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 7. 已知向量, a b满足4a ，b在a上投影为2,则3ab的最小值为（ ） A12 B10 C10 D2 8.已知函数 0,0, 2 f xAsin wxAw 的部分图象如图所示，若 0f axf ax，则a的最小值为（ ） A 12 B 6 C 3 D 5 12 9.设过抛物线 2 20ypx p上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线 2 80ypx p交于,A B 两点，
4、直线OP与抛物线 2 80ypx p的另一个交点为Q，则 ABQ ABO S S （ ） A1 B2 C3 D4 10. 半正多面体 semiregular solid亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正多边形为面的多面 体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形 和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的 三视图，则该几何体的体积为（ ） A 8 3 B4 C16 3 D 20 3 11. 定义 , , a ab ab b ab ，已知函数 22 11 , 2sin2cos f
5、xg x xx ，则函数 F xf xg x的最小值为（ ） A 2 3 B1 C 4 3 D2 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知 nn AB,是圆 222 xyn上两个动点，且满足 2 * 2 nn n OA OBnN ，设 nn AB,到直线310xyn n的距离之和的最大值为 n a，若数列 1 n a 的前n项和 n Sm恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A 3 , 4 B 3 , 4 C 2 , 3 D 3 , 2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 曲线 2 2 x yex在点0,2
6、处的切线方程为 (写斜截式) 14. 4 1 2x x 的展开式中 2 x的系数为 15. 在三棱锥ABCD中，已知226BCCDBDABAD，且平面ABD 平面BCD，则 三棱锥ABCD外接球的表面积为 16. 已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，O为坐标原点，点M为双曲线右 支上一点，若 1221 2,2FFOM tan MF F，则双曲线C的离心率的取值范围为 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）
7、17. 在ABC中，内角 A BC， ，的对边分别是ab c， ，已知)3(ab sinAbsinBcsinC 1求角C的值； 2若 13 ,2 4 sinAsinBc ，求ABC的面积. 18. 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知四边形 11 AACC为矩形， 1 6,4AAABAC， 11 60 ,BACBAAA AC 的角平分线AD交 1 CC于D. 1求证:平面BAD 平面 11 AACC； 2求二面角 111 ABCA的余弦值. 19. 已知椭圆 22 22 :10 xy C ab ab的离心率为 2 2 ，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4 2. 1求椭圆C的标准方程；
8、 2过点1,0A的直线与椭圆C交于点,M N，设P为椭圆上一点，且(0 0)OMONtOP t为坐标原 点，当 4 5 3 OMON时，求t的取值范围. 20.随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此 建立了5套环境监测系统， 并制定如下方案:每年企业的环境监测费用预算定为1200万元， 日常全天候开启 3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统 监测出排放超标， 则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测， 且后启动的这2套监测系统中只要有1套 系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.
9、设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出 排放超标的概率均为01pp，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. 1当 1 2 p 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； 2若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用)，除运行费用外，所有的环境 监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算 (全年按9000小时计算)？并说明理由. 21. 已知函数 ()f xalnxx aR. 1讨论 f x的单调性； 2若 ),0(0, x xf xeax 对恒成立，求a的取值范围 请考生在请考生在 2222
10、、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 cos 1 cos 2sin 1 cos a x a a y a (a为参数).以O为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 00 (0, ) ，将曲线 1 C向左平移2个单位长度得到 曲线C. 1求曲线C的普通方程和极坐标方程； 2设直线l与曲线C交于,A B两点，求 11 OAOB 的取值范围. 23.已知函数 2 1f xxx ，且,m nR. 1若22mn，求 2f mf n的最小值
11、，并求此时,m n的值； 2若1mn，求证: 21f mf nm. 河南省鹤壁市高中河南省鹤壁市高中 20202020 届高三年级线上第二次模拟考试理科数学参考答案届高三年级线上第二次模拟考试理科数学参考答案 一、选择题一、选择题 1.【答案】A 2|2 ,1|2NxxMNxx ，故选:A. 2. 【答案】A 设( ,)zabi a bR，由z izi 得:1abi iabi，即1aibabi， 由复数相等可得: 1 ba ab ，解之得 1 2 1 2 a b 则 11 22 zi，所以 11 22 zi， 在复平面对应的点的坐标为 1 1 , 2 2 ，在第一象限. 故选:A. 3. 【答
12、案】C 2 2222abababab 222 4444aa bbaa bb 0ab，等价于0a bab ， 故选:C. 4. 【答案】C 不等式表示的平面区域如图: 直线220xy的斜率为2， 直线21xy的斜率为 1 2 ， 所以两直线垂直， 故ABCD为直角三角形，易得 1 1,00, 2 BD ， 5 0,2 2 CBD ,，5BC 所以阴影部分面积 1155 5 2224 BCD SBDBC 故选: C. 5. 【答案】A 派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家， 基本事件总数: 23 43 36nC A， 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数: 212 232
13、 6mC C A 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为: 61 366 m p n 本题正确选项: A 6. 【答案】C 依题意得 333 222 22 ,22582 22389affloglog ， 当0x时， , xx f xex ye在R上递增， 又yx在R上递增，所以 f x在0,)上单调递增， 3 2 29 25()f logff 即bac，故选: C. 7. 【答案】B b在a上投影为2， 即,2.b cosa b 0b，,0cosa b 又,1,0cosa b min 2b 222 22 2 3696cos,9964abaa bbaa ba bbb min 39 46410ab
14、， 本题正确选项: B 8. 【答案】A 由图象易知 2,01Af， 即21,= 26 sin 由图可知 * 11 2 126 ()wkkN ， 242 11 k w 11 12 311 412 T T 又 2 0Tw w ， 1824 1111 w 由1k 得2w， 22, 6 f xsinx 0,f axf ax f x关于点,0a对称，即有2, 6212 k akakZ a的最小值为 12 9. 【答案】C 可以发现，1 ABQQP o ABOPP Sxx yPQ SOPxy 设 2 1 1 , 2 y Py p ，则直线 1 2 1 : 2 y OP yx y p 即 1 2p yx
15、y ，与 2 8ypx联立，可求得 1 4 Q yy 从而得到面积比为 1 1 4 13 y y 故答案为 C 10. 【答案】D 根据三视图作出该二十四等边体如图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视 图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 该几何体的体积为 1120 2 2 281 1 1 323 V 故选: D 11. 【答案】A 依题意得 ,F xf xF xg x， 则 2F xf xg x， 22 2222 11111 22 2sin2cos3 2sin2cos f xg xsin xcos x xxxx 2222
16、 2222 12cos2sin12cos2sin4 22 32sin2cos32sin2cos3 xxxx xxxx 当且仅当 22 22 2cos2sin 2sin2cos xx xx 即 22 1 2 sin xcos x时“”成立.此时， 2 3 f xg x 4 , 3 F xF x的最小值为 2 3 故选：A 12. 【答案】 由 2 2 nn n OA OB ，得 2 cos 2 nn n n nA OB 所以120 nn A OB 设线段 nn A B的中点 n C，则 2 n n OC 所以 n C在圆 2 22 4 n xy上， nn A B到直线310xyn n的距离之和等
17、于点 n C到该直线的距离的两倍 点 n C到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， 而圆 2 22 4 n xy的圆心(0,0)到直线310xyn n的距离为 2 2 11 2 13 n nn n d 2 1 22 22 n n nn ann 2 111 11 222 n annnn 123 1111 n n S aaaa 11111111 1 2324352nn 11113 1 22124nn 3 4 m 故选B 13.【答案】22yx 令 2 2 x f xex， 2 22 x fxexx， 所以 02 f ，又 02f， 所求切线方程为22yx， 即22yx. 14. 【答
18、案】28 82 4 44 21 11 2 xx x x xxx 所以 4 1 2x x 的展开式中 2 x的系数就是 8 1x中 6 x的数 而 8 1x中 6 x的系数 2 22 88 128CC 展开式中 2 x的系数为 2 8 28C 故答案为：28 15. 【答案】48 在等边三角形BCD中，取BD的中点F， 设等边三角形BCD的中心为O，连接AFCFOA， 由6BC ，得 2 2 3,3 3 BOCODOCFOF 由已知可得ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形， AFBD，又由己知可得平面ABD 平面BCD， AF平面BCD， 22 ,2 3AFOF OAOFAF， 所以2 3OAO
19、BOCOD， O为三棱锥ABCD外接球的球心，外接球半径2 3ROC， :.三棱锥ABCD外接球的表面积为42 3(48) 故答案为: 48 16. 【答案】1, 5 12 2FFOM， 22 2 12 4cMFMF， 1 21 2 tanM MF F F MF 12 2MFMFa 22 12 222 2 1222 2222 1122 12 2 2 4 4 2 MFMF MFMFMFc e a MFMF MFMFMFMF MF 设 1 2 2 MF t MF ，则 2 2 2 12 1 1 21 2 t e tt t t 令 1 f xt t ， 2 222 1111 1 ttt fx ttt
20、 所以2t 时， 0,ftf t在2,)上单调递增， 115 2 22 t t ， 2 1515ee , 17. 1由)3(ab sinAbsinBcsinC及正弦定理得 22 3ab abc， 即 222 3abcab 由余弦定理得 222 3 22 abc cosC ab ， 0C， 6 C 2设ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得 2 24 sin sin 6 c R C 24,24aRsinAsinA bRsinBsinB， 1(1)643absinAsinB 111 sinC4 1313 22 () 2 ABC Sab . 18. 1如图，过点D作/DEAC交 1 AA于,E连接,
21、CE BE，设ADCEO，连接BO， 1, ACAADEAE， 又AD为 1 A AC的角平分线， 四边形AEDC为正方形， CEAD，又ACAE， ,BACBAE BABA ,BACBAE BCBE，又O为CE的中点， CEBO 又,AD BO 平面BAD ADBOO,， CE平面 BAD， CE又平面 11 ,AACC 平面BAD 平面 11 AACC 2在ABC中， 4,60ABACBAC，4BC， 在Rt BOC中， 1 2 2,2 2 2 COCEBO 又 1 42 2 2 ABAOAD,， ， 222 BOAOABBOAD 又,BOCE ADCEO AD CE,平面 11 AACC
22、 BO平面 11 AACC 故建立如图空间直角坐标系Oxyz， 则 11 2, 2,0 ,2,4,02,4,0AAC， 111111 0,6,2 22,2,2 24,6,04(),(),0,0BC BACC A ， 设平面 11 ABC的一个法向量为 111 ,mx y z， 则 11 1 mC B mAC ， 11 111 460 222 20 xy xyz 令 1 6x ，得6,4,2 ,()5m 设平面 111 ABC的一个法向量为 222 ,nxy z 则 11 11 nC B nC A ， 2 222 40 222 20 x xyz 令 2 2y ，得 0, 2, 1n 9 23 1
23、7 cos, 171023 m n m n m n 由图示可知二面角 111 ABCA是锐角， 故二面角 111 ABCA的余弦值为 3 17 17 19. 1 2 2 2 21 ,1 22 b ee a 2 2 1 , 2 b a 即 22 2ab 又 1 224 2 2 Sab， 22 2 2,2,4abba 椭圆 C的标准方程为 22 1 42 xy 2由题意知，当直线MN斜率不存在时 66 1,1, 22 MN ，此时1t 当直线MN斜率存在时 设直线方程为 1122 1,yk xM x yN x yP x y， 联立方程 22 1 42 1 xy yk x 消去y得 2222 124
24、240kxk xk， 因为直线与椭圆交于两点，所以 4222 164 122424160kkkk恒成立， 22 1212 22 424 , 1 21 2 kk xxx x kk ， 2 1212 2 2 1 2 k yyk xx k 又OMONtOP， 12 12 xxtx yyty ， 12 2 12 2 4 12 2 12 xxk x ttk yyk y ttk 因为点P在椭圆 22 1 42 xy 上，所以 44 2222 168 4 1 21 2 kk tktk 即 2 2 2 2 2 22 2 21 2, 1 1 1 21 2 k tt kk kk 又 4 5 3 OMON 即 4
25、5 3 NM ， 2 12 4 3 1 5 kxx 整理得： 2 2 2 464 5 1 2 1 3 k k k 化简得: 42 13580kk，解得 2 1k 或 2 8 13 k (舍)， 2 2 2 12 1,1 123 t k t 即 66 1,1 33 t 66 1,1 33 t 20. 1某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为 2333 2323 3333 111111 222222 CCCC 某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为 22 1 3 119 1 2232 C 某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 1925 2
26、3232 2设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为9001500，. 2 1 3 15001,P XC pp 2 1 3 90011P XC pp 1 3 222 1 3 90011 15001900 18001E XC ppC pppp 令 2 1,0,1g pppp， 则 2 121 311gpppppp 当 1 0, 3 p 时， 0,gpg p在 1 0, 3 上单调递增； 当 1 ,1 3 p 时， 0gpg p ,在上 1 ,1 3 单调递减， g p的最大值为 14 327 g 实施此方案，最高费用为 4 4 1009000900 1800101150 27
27、(万元)， . 1150 1200，故不会超过预算 21. 1 f x的定义域为0,， 1 axa fx xx 当0a时，由 0fx得 0xafx，得0xa， f x在0, a上单调递减，在(), a上单调递增； 当0a时， 0fx恒成立， f x在0,上单调递增； 2 0 x f xeax得 x f xaxe， xxx f eaxef xf e，. 令 0 x h xxex， 则 10 x h xe ， h x在0,上单调递减， . 01,0h xhh x ，即 x xe， 当0a时，由 1知 f x在0,上递增， x f xf e恒成立，满足题 当0a时，令 x xalnxe，则 00 x
28、 a xex x ， 所以 x在0,上单调递减，又 10e ， 当0x时， 0,1xr ，使得 0r， 当 0 0,xr时， 0 0xr，即 0 0 x alnxe， 又 0 0000 , x o xaxalnxxeax， 0 0 0 x o f xeax， 不满足题意， 综上所述，a的取值范围是0,) 22. 1 22 22 2coscos 1 cos 22 1 cos 2sinsin 22 aa a x aa a ， 2 4sincos2cos 2sin 222 1 cos 2sinsin 22 aaa a y aa a 2 2 2 4cos 2 4 sin 2 a yx a 即曲线 1
29、C的普通方程为 2 4yx， 依题意得曲线C的普通方程为 2 42yx， 令xcosysin，得曲线C的极坐标方程为 2 2480sincos 2法一:将 0 代入曲线C的极坐标方程得 2 00 2480sincos， 则 0 1212 2 00 4cos8 , sinsin 1212 0, 异号 2 1212 12 121212 4 1111 OAOB 2 0 22 00 2 0 2 0 4cos32 sinsin 1 1 sin 8 2 sin 00 ()0,0,1sin,， 1112 , 22OAOB 法二:设直线l的参数方程为 cosxt ytsin (t为参数，为直线的倾斜角)， 代
30、入曲线C的普通方程得 22 480t sintcos ， 则 12 2 4cos sin tt ， 1 2 2 8 sin t t 12 0,t t异号 2 121 2 12 121 21 2 4 1111 ttt ttt OAOBttt tt t 2 22 2 2 4cos32 sinsin 1 1 sin 8 2 sin ()0,0,1sin,， 1112 , 22OAOB 23. 1 2222 222321f mf nmnmnmn， 法一: 222222222 111 2362444 333 mnmnmmnnmmnn 214 2 33 mn 47 21 33 f nf m ， 2f mf n的最小值为 7 3 ， 此时 2 3 mn 法二：由柯西不等式得： 2222222 22 2 11 2111 33 14 2 33 mnmnnmnmnn 47 21 33 f nf m ，即 2f mf n的最小值为 7 3 ， 此时 2 3 mn 21,mn 22 11f mf nmnmnmn mnmn， 又 1212112121mnnmmmnmmm ， 21f mf nm
