1、“元”的变换 “转”的艺术微专题：运用基本不等式处理多元变量最值问题微专题：运用基本不等式处理多元变量最值问题 基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于的高考考纲中都属于C C级要求级要求即熟练掌握要求即熟练掌握要求.高考经常考查高考经常考查运运用基本不等式求用基本不等式求函数或代数式函数或代数式的最值，具有的最值，具有灵活多变、应灵活多变、应用广泛、技巧性强用广泛、技巧性强等特点等特点.试题既能考查试题既能考查同学们的同学们的“四基四基”即即基础知识、基本技能、基本思想基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验和基本活
2、动经验，还能考查，还能考查同学们的同学们的逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算等数学等数学学科核心学科核心素养素养.本微专题侧重对运用基本不等式求多元变量最值问题进本微专题侧重对运用基本不等式求多元变量最值问题进行探讨与研究行探讨与研究,望对同学们望对同学们的的学习有学习有所所帮助帮助.【问题问题1 1】已知已知 ，且且 ，则，则 的最小的最小值为值为 0,0ab11121abb2ab分析：分析：我们注意到这是我们注意到这是一道一道含有二元变量的求最值问题，解决这含有二元变量的求最值问题，解决这类问题的途径类问题的途径至少至少有两条：有两条：一是通过一是通过消元消元减少变量，减少变量，将目标式
3、将目标式转化为一元转化为一元变量变量处理；处理；二是将已知等式二是将已知等式中中分母分母看看作整体作整体通过通过换元换元处理处理，将所求，将所求的的目标式用新元表示，目标式用新元表示，再再寻求目标式与题设条件之间的联系，寻求目标式与题设条件之间的联系，进进而而运用基本不等式求运用基本不等式求解解.解答：解答：方法方法1 1（消元法）（消元法）因为因为 ,所以所以 0,0ab11121a bb11(1),2abb从而从而 1112(1)2(11223)abbbbbb12 3 1(1)22123bb当且仅当当且仅当 时取等号时取等号,所以所以 的最小值为的最小值为 .33b2ab2 3 12方法方
4、法2 2（换元法）（换元法）令令 ,则则 ,所以所以3132()22xaby2,1(0,0)a bx by xy 111xy131332(3)()(411)2222xyabxyxyyx 3xy13132 31(4)(2 34)2232222xyyx【评注】【评注】方法方法1 1由由已知条件已知条件将将 用用 加以加以表示，代入表示，代入 得到关得到关于于 表达式表达式，即将二元变量化为一元变量，即将二元变量化为一元变量，再运用基本不等式求再运用基本不等式求最最值值.方法方法2 2通过通过换元换元寻找所求目标寻找所求目标式式与题设条件之间的联系，再利与题设条件之间的联系，再利用用“1 1”的代换
5、的代换创造条件创造条件运用基本不等式求解运用基本不等式求解.baa2ab【变式变式】已知已知 ,若若 ，则，则 的最的最小值为小值为 。,a bR ab2a b2224 0aab b 分析：分析：本题是一道二元变量求最值问题，若运用消元法，本题是一道二元变量求最值问题，若运用消元法，发现发现比较比较难以解决难以解决；但我们但我们注意到已知注意到已知等式可以等式可以通过通过移项移项分解可转化为分解可转化为 ，通通过换元过换元将二元变量化为一元变量将二元变量化为一元变量加以解决加以解决.()(2+)4aba b解答：解答：（换换元法）元法）由由 得得 ，2224 0aab b()(2+)4a ba
6、 b设设 ，,则则 a b t,0a bR abt 42+a bt14(),3att2 2()3btt,从而从而44182()33312abtttt【评注评注】对于多变量问题，对于多变量问题，常用的方法为常用的方法为消元消元或或换元，换元，其其目目的是化二元为一元的是化二元为一元,创造条件运用创造条件运用基本基本不等式不等式求解求解.,当且仅当当且仅当 取等号取等号1t19(26)(4)()aaxyxy【问题问题2 2】已知已知 ,且且 ,则函数则函数 的最大值与的最大值与最小值最小值 0,0 xy19426xyxy (,)4f x yxy分析：分析：本题本题仍然仍然是一道含有二元变量的求最值
7、问题，如果用消元法是一道含有二元变量的求最值问题，如果用消元法比较困难，比较困难，但但我们注意到所求函数我们注意到所求函数 是题设条件是题设条件等式等式左左边中边中某某两项两项和和，可以运用整体处理的思想即可以运用整体处理的思想即通过换元来处理通过换元来处理.(,)4f x yx y解答：解答：设设 ,则则 ，4x y a 1926 axy13133636225yxyxxyxya0,0 xy,所以所以 即即 ，解得，解得 ，当且仅当当且仅当 等号成立等号成立22625 0aa125a6yx【评注】【评注】本题我们是本题我们是通过构造通过构造“两个整体两个整体”，即将所求函数作为，即将所求函数作
8、为一个整体，结合题设条件再得一个整体一个整体，结合题设条件再得一个整体,通过把两个整体通过把两个整体相乘和相乘和换元换元，由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体现了整体处理体现了整体处理的思想与构造的思想与构造的的方法方法.19(26)(4)()aaxyxy13133636225yxyxxyxy经检验：当经检验：当 ，时，时，；25a 52x15y函数函数 的最大值为的最大值为2525，最小值为，最小值为1.1.(,)4f x yxy当当 ,时，时，110 x35y1a【变式变式】已知已知 ,且且 ,则则 的最大值的最大值0,0
9、xy1426 2xyxyxy思路思路1 1：注意到已知注意到已知等式的右边为等式的右边为定值，定值，联想到联想到“和是定值，积和是定值，积有最大值有最大值”,于是思考把等式左边于是思考把等式左边看作看作哪两项和，且它们乘积得哪两项和，且它们乘积得到关于到关于 的表达式，是解决本题的关键的表达式，是解决本题的关键.不难发现看成不难发现看成 与与 和，和，由基本不等式得到关于由基本不等式得到关于 的不等式的不等式进而进而求解求解.xy4()xy1(2)yxxy分分析：析：本题的目标是求本题的目标是求 的最大值，如何得到关于的最大值，如何得到关于 的不等式的不等式是解决此问题的难点是解决此问题的难点
10、。xyxy思路思路2:2:（换元）（换元）设设 ，则，则 代入已知等式整理，再由基本代入已知等式整理，再由基本不等式得到关于不等式得到关于k k的不等式进而求解。的不等式进而求解。xykkyx解答解答：方法方法1 1：因为因为 ，所以，所以0,0 xy416 2()(2)xyyx4146 22()(2)2 29xyxyyxxy22940 xyxy即即解得解得 ,当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立.142xy4123 2xyyx所以当所以当 时，时，有最大值为有最大值为4 4 xy3 24 2,23xy方法方法2 2：令令 ，则，则 代入已知并整理得代入已知并整理得(0)xyk kkyx【评
11、注】【评注】方法方法1 1是是根据所求目标需要，将已知条件中等式的左根据所求目标需要，将已知条件中等式的左边通过合理分组把看成两个整体边通过合理分组把看成两个整体；方法；方法2 2是将目标式看作一个是将目标式看作一个整体通过换元来处理，最后都是整体通过换元来处理，最后都是由基本不等式得到关于由基本不等式得到关于 的不的不等式等式,再解不等式得出结果再解不等式得出结果。xy41 26 2(1)kxkx4(12)2(1)kxkx42 29kk 解得解得 ,当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立.142k41 2(1)kxkx所以所以 的最大值为的最大值为4.4.xy【问问题题3 3】(1)(1)已
12、知已知 ,且且 ,则则 的的最最小小值为值为,0a b c 24288cbcacab2ab c24288cbcacab(2)(4)8ca cb22()(2)(4)cabccbamin(2)2 2abc24ca cb 2ab2(2)(4)4 2cacb分析：分析：本题本题是一道三元变量求最值问题，是一道三元变量求最值问题，要求和的最小值，要求和的最小值，根据根据最值定理最值定理“积为定值积为定值,和有最小值和有最小值”，考虑积为定值，于是对已知等式进行分解处理。，考虑积为定值，于是对已知等式进行分解处理。,0a b c123bca23223Wabcacab(33)(32)6abac123bca6
13、326abc()(32)Wa bac(33)(3)321abac2(33)(3213)23abac3332abac32bc【变式变式1 1】已知已知 ,且且 ，则，则 的最的最大值为大值为 0ab 2223abab22ab分析：分析：本题是一道含有二元变量的二次式求最值问题，本题是一道含有二元变量的二次式求最值问题，由以由以往往经验经验是通过消元转化为一元问题，本题直接消元比较困难是通过消元转化为一元问题，本题直接消元比较困难.方法方法1 1：通过通过“1 1”的的代换将目标式转化为齐次式，将分子分母代换将目标式转化为齐次式，将分子分母同除以同除以 ，再通过换元转化为一元问题解决，再通过换元转
14、化为一元问题解决.2b方法方法2 2：由平方和由平方和联想到圆的联想到圆的方程方程知识，将知识，将 看作半径平看作半径平方即方即 ，利用利用圆的参数方程或三角代换加以处理圆的参数方程或三角代换加以处理.22ab2R2223abab2223abab22312abaabb2222223()2abbabbaaT23(1)32ttt 223(1)2ttt 1tx 0,1(0)abtxx 23333221xTxxxx36(32)372 21atb2x【评注】【评注】方法方法1 1222(0,0)abR Ra b cos,sin04aRbR，（，）22222cos2sinsin cos3RRR22361
15、sinsin cos3(sin2cos2)R632sin(2)4866(32).732【变式变式2 2】已知函数已知函数 的最大值为的最大值为 ，最小值，最小值为为 ，则，则 的值为的值为 13yxxMmmM分析：分析：本题实质是一道本题实质是一道无理函数无理函数求最值问题求最值问题，对于无理函数，对于无理函数，我们的我们的常用的策略是常用的策略是化化无理为有理无理为有理，方法方法是是换元或平方换元或平方.解法解法1 1：令令 ，则则 ，又，又1,3xaxb224ab31x 可知可知 .由由,0,2a b2222222()2214a bababababab 当当 时，时，；0ab 2ab当当
16、时，时，0ab 222()22114ababaabbba由由 得得 ，即，即2abba2()124ab22 2ab综上可得综上可得 ，即，即 .22mM2,2 2ab 解法解法2 2：因为因为 ,所以所以 2242 4(1)3,1yxx，24,8y 又又 ，所以，所以 ，.0y 2,2 2y2m 2 2M 22mM解法解法3 3：令令 ，则，则12cos,32sin,0,2xx 2cos2sin2 2sin()4y0,23(),4442sin(),142 ，所以，所以 ，.2,2 2y2m 2 2M 22mM【评注】【评注】本题解决的方法比较多，解法本题解决的方法比较多，解法1 1通过换元化无
17、理为有理，通过换元化无理为有理，运用基本不等式求其最值；解法运用基本不等式求其最值；解法2 2是通过平方、配方求最值；解是通过平方、配方求最值；解法法3 3是通过三角代换是通过三角代换(参数方程），利用三角函数范围求最值。参数方程），利用三角函数范围求最值。1.1.本微专题本微专题中中问题问题及变式的及变式的成功解决成功解决,其策略其策略体现在两个体现在两个关键字是关键字是“元元”和和“转转”.“元元”即即通过消元通过消元或或换元换元减少变量、减少变量、化非齐次为齐次式化非齐次为齐次式，体现，体现了了整体处理的思想；整体处理的思想；“转转”即即通过因通过因式分解将式分解将“和和”与与“积积”进
18、行进行互相互相转换转换，通过创造条件运用通过创造条件运用基基本不等式本不等式生成关于新元不等式，进而生成关于新元不等式，进而求最值求最值。2.2.例题中难点在于将条件转化为满足运用基本不等式的条件，例题中难点在于将条件转化为满足运用基本不等式的条件，解决这一难点的关键是要有较强的解决这一难点的关键是要有较强的目标意识及相关的解题经验目标意识及相关的解题经验。例题及变式例题及变式给予我们启示，巧妙方法源于给予我们启示，巧妙方法源于我们对问题的深入思考我们对问题的深入思考与联想，与联想，需要认真审题，积累相关解题经验需要认真审题，积累相关解题经验.通过合理通过合理转转化化、整整体换元等视角来处理，可能会带给你惊喜体换元等视角来处理，可能会带给你惊喜。【课后课后练习】练习】Goodbye StudentsGoodbye Students！同学们再见！同学们再见！
