1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-3第一章第一章计数原理计数原理第一章第一章计数原理计数原理复复习与小结习与小结一、教学目标：一、教学目标：1、使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用；计算等内容，并能比较熟练地运用；2、通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问、通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问题和解决问题的能力；题和解决问题的能力；3、引导养成学生分析过程、深刻思考、引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度。灵活运用的习惯和态度。二、教学重难点：二、教学重难点：掌握两个原理以及
2、排列组合的概念、计算等掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用；内容，并能比较熟练地运用；三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程 正确运用二项式定理正确运用二项式定理,解决解决与之相关的恒等式证明问题与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题；会利用二求某些项系数的问题；会利用二项式定理解决某些整除性问题。项式定理解决某些整除性问题。二项式定理及其运用，二项式二项式定理及其运用，二项式系数的性质运用。系数的性质
3、运用。第一章：计数原理第一章：计数原理1.11.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理：分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.21.2：排列与组合：排列与组合1.31.3：二项式定理：二项式定理1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办类办法，在第法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类类办法中有办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.12nNmmm2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事
4、，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的方法种不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方种不同的方法法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种种不同的方法不同的方法.12nNmmm两个计数原理两个计数原理12nNmmm12nNmmm分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计数原理完成一件事，共完成一件事，共有有n类办法，关键类办法，关键词词“分类分类”区别区别1完成一件事，共完成一件事，共分分n个步骤，关键个步骤，关键词词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法
5、都能独立每类办法都能独立地完成这件事情，地完成这件事情，它是独立的、一次它是独立的、一次的、且每次得到的的、且每次得到的是最后结果，是最后结果，只须只须一种方法就可完成一种方法就可完成这件事这件事。每一步得到的只是中间每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这任何一步也不能完成这件事，件事，只有各个步骤都只有各个步骤都完成了，才能完成这件完成了，才能完成这件事事。各类办法是互相独各类办法是互相独立的。立的。各步之间是互相关联各步之间是互相关联的。的。1.2：排列与组合排列：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素
6、，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示.mnA排列数公式：!121mnnmnnnnAmn 其中：.,*nmNmn 并并且且1.2：排列与组合组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.mnC组合数公式：!121mnmnmmnnnnCmn 其中：.,*nmNmn 并并且且
7、组合数性质：mnnmnCC mnmnmnCCC11 判断一个具体问题是否为组合问题判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看关键是看取出的元素是否与顺序有关取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列有关就是排列,无无关便是组合关便是组合.判断时要弄清楚判断时要弄清楚“事件是什么事件是什么”.1 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素某些元素不能在不能在或必须排列或必须排列在在某一位置；某些元素要求某一位置；某些元素要求连连排排（即必须相邻）；某些元素要求（即必须相邻）；某些元素要求分离分离（即不能相邻）；（即不能相邻）；2 2基本的解题方法：基本的
8、解题方法：（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特特殊元素殊元素,特殊位置优先安排策略特殊位置优先安排策略（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为称为“捆绑法捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略相邻问题捆绑处理的策略（）某些元素不相邻排列时，
9、可以先排其他元素，再将这些（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”；不相邻问题不相邻问题插空处理的策略插空处理的策略例：有例：有4 4个男生和个男生和3 3个女生排成一排，按下列要求各个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：有多少种不同排法：（1 1）男甲排在正中间；）男甲排在正中间；（2 2）男甲不在排头，女乙不在排尾；）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3 3）三个女生排在一起；）三个女生排在一起；（4 4）三个女生两两都不相邻；）三个女生两两都不相邻；相邻问题，常用相邻问题，常用“捆绑法捆绑法”
10、不相邻问题，常用不相邻问题，常用 “插空法插空法”例、某城新建的一条道路上有例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（种（B）种种（C）种种 （D）种种38C38A39C311C分组问题分组问题问题问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？个小球分成两堆，有多少种分法？问题问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？个小球分成两堆，有多少种分法？问题问题3
11、：6个小球分成个小球分成3堆，有多少种分法？堆，有多少种分法？2131CC2231424122C CC CA+2 2 21 11 2 346 422 16 5362323CCCCCCCCAA+C C+2131C C平均分成平均分成m组要除组要除以以mmA分配问题问题问题1：3个小球放进两个盒子，每个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？个盒子至少一个，有多少种放法？问题问题3：三名教师教六个班的课，每人：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？至少教一个班，分配方案共有多少种？问题问题2：4本书分给两个同学，每人本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？至少
12、一本，有多少种放法？212312C C A223124241222C CC CAA+222111234364221653632323C C CC CC C CAAA+C+C+多个分给少个时，采用多个分给少个时，采用先分组先分组再分配再分配的的策略策略此问也可用此问也可用隔板法隔板法练习：练习：(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份,二份各二份各1件件,另一份另一份4件件,有多少种分法有多少种分法?(2)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每每人二件有多少种分法人二件有多少种分法?解解:(1)(2)64111106
13、2123150CCCC62221064218900CCCC例、例、从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问题可用这类问题可用“隔板法隔板法”处处理理.解解:采用采用“隔板法隔板法”得得:5294095C练习：练习：1、将、将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，个不同的班级，每班至少分到每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？个
14、名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有步走完，则有多少种不同的走法？多少种不同的走法？混合问题，先混合问题，先“组组”后后“排排”例对某种产品的例对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？解：由题意知前解：由题意知前
15、5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有：种可能。种可能。576441634ACC练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士
16、名护士,不同的分配方不同的分配方法共有多少种法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(24122613CCCC 例：如图例：如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？涂色问题涂色问题解
17、法一解法一:按地图按地图A、B、C、D四个区域依四个区域依次分四步完成次分四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N=3 2 11=6 种。种。解法二解法二:3种颜色种颜色4块区域，则肯定有两块同色，块区域，则肯定有两块同色，只能只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所同色，把它们看成一个整体元素，所以涂色的方法有：以涂色的方法有：336(A 种种)例例3：如图：如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分
18、别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？涂色问题例、某城市在中心广场建造一个花圃，例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6 6个部分（如右图）现要栽种个部分（如右图）现要栽种4 4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有栽种方法有_种种.（以数字作
19、答）（以数字作答）6 5 4 3 2 1涂色问题2、将种作物种植在如图所示的块试验田里，、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以数字作答）数字作答）1、如图，是、如图，是5个区域，用红、黄、个区域，用红、黄、蓝、白、黑蓝、白、黑5种颜色涂这些种颜色涂这些区域区域，使，使每个每个区域区域涂一种颜色，且相邻的涂一种颜色，且相邻的区区域域涂不同的颜色。如果颜色可反复涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？使用，那么共有多少种涂
20、色方法？122rrnnnnnn1+C x+C x+C x+C xn(1+x)2、一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abC b 1、二项定理、二项定理:通项公式通项公式T Tr+1r+1=rrn-rnC ab1.3：二项式定理 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)(（1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2）（4 4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210 （3 3）当）当n n为偶数时，为偶数时，最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时，=且最大且最
21、大 2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）（对称性）1.3：二项式定理02413512nnnnnnnCCCCCC奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：赋值法赋值法2.2.化简：化简：.1)1(4)1(6)1(4)1(234xxxx1532)1()1()1()1(xxxx3.3.展开式中含展开式中含x3项的系数为项的系数为_。52()2xx的有理项的有理项 1.求求：1820n2)x2x(4.4.的展开式中，第五项与第三项的二项式系的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为数之比为1414：3 3，求展开式的常数项，求展开式的常数项2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(
22、CT15.5.展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为128128、那么展、那么展开式的项数是开式的项数是 ；各项系数之和为；各项系数之和为：nyx)7(1 1、计算、计算0.9970.9973 3 的近似值（精确到的近似值（精确到0.0010.001）0.9973=(1-0.003)3 =130.003+30.00320.0033 130.003 =0.991近似计算问题近似计算问题练习练习：求：求2.9982.9986 6的近似值（精确到小数点后第三位）；的近似值（精确到小数点后第三位）；2.9986=(3-0.002)6 =366350.002+15340.002220330.0
23、023+366350.002+15340.0022=7292.916+0.00486 726.089求：求：112004被被10除的余数。除的余数。110101010)110(20042004200320042003120042004020042004MCCCC余数与整除问题余数与整除问题练：练：5510被被8除的余数除的余数.5710被被8除的余数除的余数.求证：求证：5555+1能被能被8整除；整除；因为因为5555+1=(561)55+1=56M1+1=56M,所以所以5555+1能被能被8整除整除.余数与整除问题余数与整除问题求证：求证：42n+1+3n+2能被能被13整除；整除；42n+1+3n+2=416n+93n =4(13+3)n+93n =413M+43n+93n =413M+133n所以所以42n+1+3n+2能被能被13整除整除.求值、等式与不等式证明问题求值、等式与不等式证明问题5105410631072108110910333333)2(CCCCC证明：1055845635425215222221)1(CCCCC求值：10243333910810271036104CCCC求证：求证：)2,)(2(231nNnnnn课外作业（课外作业（课堂剩余的题目课堂剩余的题目）教后反思：教后反思：
