1、 - 1 - 龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合1,3,5M ，2,4,5N ，则MN A 5 B3,5 C2,4,5 D1,2,3,4,5 2设i(1i)z ，则z A1i B1i C1i D1i 3若双曲线 2 2
2、2 1(0) x ya a 的实轴长为 4，则其渐近线方程为 Ay x Bxy2 Cxy 2 1 D2yx 4已知 0.2 log2a , 0.2 2b , 0.3 0.2c ，则 Aacb Babc Ccab Dbca 5若变量, x y满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则4zxy的最小值是 A6 B5 C5 D6 6 从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女 同学的概率是 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 7第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行 设计的如图所示，赵
3、爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 - 2 - 25，直角三角形中较大的锐角为，那么 2 cos 2 A 3 10 B 3 5 C 7 10 D 4 5 8已知( )f x为奇函数，且当0x时，( )1 x f xe，则 1 (ln) 2 f A 1 2 B1 C1 D 1 2 9已知四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，SASB,SASB，底面ABCD是等 腰梯形，/ABCD，且满足222ABADDC，则球O的表面积是 A 4 3 B 8 2 3 C4 D8 10已知点F为椭圆) 1( 1 2 2 2 ay a x
4、 的一个焦点，过点F作圆 22 1xy的两条切线，若 这两条切线互相垂直，则 a A2 B C 2 D3 11 函数 ( )cos(0)f xx 在区间0, 2 上是单调函数， 且 ( )f x的图像关于点 3 () 4 ,0M 对称，则 A 2 3 或 10 3 B 2 3 或2 C14 3 或2 D10 3 或14 3 12已知数列 n a 满足 2 1 24 nnn aaa ，则 12020 aa 的最大值是 A42 2 B82 C42 2 D82 第卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13曲线(1)exyx在点(1,0)处的切线方程为 14已知
5、向量 (1,1),( 3,)m ab ，若向量2 ab与向量b共线，则实数m 15 已知圆锥的顶点为S， 点ABC, ,在底面圆周上， 且AB为底面直径， 若SAACBC， 则直线SA与BC的夹角为_ 16有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下： “在ABC中，角A,B,C的 对边分别为, ,a b c，已知3a ， ， 22 330cbc，求角A ”经推断，破 损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案45A是唯一确定的，则破损处应 是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生
6、根据要求作答 （一）必考题：共 60 分。 - 3 - 17已知 n a 是公差为1的等差数列，数列 n b 满足 1 1b , 2 1 2 b , nnnn nbbba 11 （1）求数列 n b 的通项公式； （2）设 1 nnn bbc ，求数列 n c 的前n项和 n S 18如图，在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D 中，E,F,M分别 是棱AB,BC,AD的中点 （1）证明： 1 /DM平面 1 AEF； （2）求点 1 D到平面 1 AEF的距离 19某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近 6 个月的市 场占有率 %y 进行了统计，结果如下
7、表： 月份 2019.7 2019.8 2019.9 2019.10 2019.11 2019.12 月份代码x 1 2 3 4 5 6 y 10 14 15 16 20 21 （1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系如果能， 请计算出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由；（结果精确到 0.01） （2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 1000 元/辆的A型车和 800 元/辆的B型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表： 报废年限 车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 A 8 32 40 20 100 B 12 43 35 1
8、0 100 经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 500 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它 成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以平均 每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据： 6 1 ()()37 ii i xxyy， 6 2 1 ()17.5 i i xx ， 6 2 1 ()82 i i yy， 143537.88 ， 37 0.98 37.88 参考公式： 相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xx yy r xxyy ， 1 2 1 ()() () n i
9、i i n i i xxyy b xx ，aybx $ （第 18 题图） - 4 - 20设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上 的动点当AEF是等腰直角三角形时，其面积为 2 （1）求C的方程； （2）延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF,MA,MB的斜率分 别是 210 ,kkk ，证明： 021 2kkk 21已知函数 2 1 ( )lnln1 2 f xxxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若0m，方程( )0 m mfxx x 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在 22
10、、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号 后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是6cos0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线l过点0,2M，倾斜角为 3 4 （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程； （2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求 11 MAMB 的值 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |1|2 |f xxxa （1）若1a，解不等式( )4f x ； （2
11、）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 2 24( )mmf x，求实数a的取值范 围 - 5 - 龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D A C A B C D B C D B C 12：【简解】 依题意 2 1 24 nnn aaa 可化为 22 1 (2)(2)4 nn aa ， 令 2 (2 ) nn ba， 则 1 4 nn bb ， 21 4 nn bb ，于是 2nn
12、bb ， 22 11202022 (2) ,(2)babba 1202012 4bbbb，即 22 12020 (2)(2)4aa 法一： 1 12020 2020 22cos 42 2sin()42 2 22sin4 a aa a （当且仅当 4 时等号成立） 法二： 22 22 xyxy ， 22 12020 1202012020 (2)(2) (2)(2)42442 2 2 aa aaaa （当且仅当 12020 22aa时等号成立） 法三： 22 12020 (2)(2)4aa，即 12020 ( ,)a a在 22 (2)(2)4xy上， 令zxy，即0xyz， |4| 2 2 z
13、d ，|4| 2 2z ， 4 2 242 2z， max 42 2z 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13eeyx； 143； 15 3 ； 16 33 2 c 16.【简解】因为 222 22222 3 33030 22 acb cbccbaca ac ， 所以 3 cos 2 B，又(0 ,180 )B，所以30B （1） 36 sin30sin452 b b - 6 - 检验： 6 32 2 sin sinsinsin30sin2 ba A BAA ，又(0 ,180 )A，且ab， 所以45A或者135A，这与已知角A的解为唯一解矛盾 （2）30B，又4
14、5A，所以105C ， 333 sin105sin452 c c 检验： 33 32 2 sin sinsinsin75sin2 ca A CAA ， 又(0 ,180 )A，且ca，45A故应填的条件是： 33 2 c 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）由已知得， 1 221 abbb，所以 1 1a 又因为 n a 是公差为1的等差数列，所以nan 所以 1 (1) nn nbnb ，所以数列 n nb是常数数列， 所以 1 1 n nbb，所以 1 n b n 6 分 （2）由已知得, 111 (1)
15、1 n c n nnn ， 所以 11111 (1)()() 2231 n S nn ， 所以 1 1 11 n n S nn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）法一：取CD的中点N ，连结1 ,MN D N EN,. 因为E,F,M,N分别是棱AB,BC,AD,CD的中点， 所以/MNEF，又因为MN 平面 1 AEF， EF 平面 1 AEF，所以/MN平面 1 AEF. 又因为 11/ ADEN，所以四边形 11 AD NE是平行四边形， 所以 11 /AED N，所以 1 /D N平面 1 AEF. 又 1 D NMNN，所以平面 1 /D MN平面 1 AEF，
16、又 1 DM 平面 1 D MN ，所以1 /DM平面 1 AEF 6 分 法二：连接 11 AC, 1 C F,AC,MF，所以 11 /AC AC， 因为E,F分别是棱AB,BC的中点，所以 1 / 2 EFAC， - 7 - 所以 11 1 / 2 EFAC，所以 11 , ,A E F C共面 因为F,M分别是棱BC,AD的中点，所以 11 /MF DC DC， 所以四边形 11 DC FM是平行四边形，所以 11 /DMC F， 又因为 1 DM 面 1 AEF， 1 C F 平面 1 AEF，所以 1 /DM平面 1 AEF.6 分 （2） 因为 1 /DM平面 1 AEF，所以点
17、 1 D到平面 1 AEF的距离可以转化为点M到平面 1 AEF的距离 由已知可得 1 2 11 2 MEF S ,所以 1 1 112 1 2 333 AMEFMEF VSAA , 又 22 111 5,2,4 53AEEFAFAAAF， 所以 1 52910 cos 10252 AEF ，可知 1 3 10 sin 10 AEF， 所以 1 11 113 103 sin52 22102 A EF SAE EFAEF 又因为 11 AMEFMA EF VV ，所以点M到平面 1 AEF的距离为 4 3 所以点 1 D到平面 1 AEF的距离为 4 3 12 分 19（本小题满分 12 分）
18、解：（1）由表格中数据可得，3.5x ，16y 1 2 2 11 () () n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 3737 0.98 17.5 821435 2 分 y与月份代码x之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系 1 2 1 () 3774 2.114 17.535 () n ii i n i i xxyy b xx ， 162.114 3.58.601aybx， 关于x的线性回归方程为 2.118.60yx 6 分 （2）这 100 辆A款单车平均每辆的利润为 1 500 80 32500 40 1000 20360 100 （元）， 这 100 辆
19、B款单车平均每辆的利润为 1 300 12200 43700 35 1200 10415 100 （元） - 8 - 用频率估计概率，A款单车与B款单车平均每辆的利润估计值分别为360 元、 415 元， 应采购B款车型 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）解：依题意可知，当AEF是等腰直角三角形时， 90AFE 抛物线C方程为 2 2(0)ypx p,焦点(,0) 2 p F，(,0) 2 p E ，| |EFAFp AEF的面积 2 1 2 2 AEF Sp ，解得2p， 抛物线C的方程为 2 4yx.4 分 （2）证明：由（1）知 )0 , 1 (F ， 设直线AB的方
20、程： 1xty 代入xy4 2 得: 2 440yty, 设),(),( 2211 yxByxA，所以 1212 4 ,4yyt y y 设( 1,) M My ，则： 0 2 M y k ， 1 1 1 1 M yy k x ， 2 2 2 1 M yy k x 11 22 1 1 xty xty ， 11 22 12 12 xty xty 1212 12 1212 1122 MMMM yyyyyyyy kk xxtyty 1221 12 ()(2)()(2) (2)(2) MM yytyyyty tyty 121212 2 1212 22() ()4 2 ()4 M ty yyyyt yy
21、 t y yt yy 22 222 88(44)(44) 48444 MM M ttytyt y ttt 120 2kkk . 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解：（1）依题意函数( )f x的定义域为(0,)， ln1ln1 ( )1 xxx fx xxx ， 令( )ln1g xxx，则 1 ( )10g x x ，故( )g x在(0,)单调递增， 又 (1)0g，所以当(0,1)x时，( )0g x , 即( )0fx， 当(1,)x时，( )0g x ，即( )0fx； 故( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 5 分 （2）解法一：方程( )0 m mf
22、xx x =化简可得 2 (ln )m xxx， 设 2 ( )lnF xxmxmx，则 2 2 ( )2 mxmxm F xxm xx ， 令( )0F x，可得 2 1 8 4 mmm x ， 2 2 8 0 4 mmm x （舍去） - 9 - 所以当 1 (0,)xx时， ( )0F x；当 1 ( ,)xx时， ( )0F x； 故( )F x在 1 (0,)x上单调递减，在 1 ( ,)x 上单调递增 所以( )F x在 1 xx时取得最小值， 故要使方程( )0 m mfxx x =有两解， 须满足 1 1 ( )0 ( )0 F x F x ，即 2 11 2 111 20 l
23、n0 xmxm xmxmx ，化简得 11 2ln10xx 令( )2ln1h xxx，由于 2 ( )10h x x ， 所以( )h x在(0,)单调递增， 又(1)0h，所以当(1,)x时，( )0h x , 所以 1 1x ，即 2 1 8 1 4 mmm x ，解得1m 当1m时， 2 111 ( )(1)0 eee Fm 所以， 1 1 ( ) ()0 e FF x，所以存在唯一 11 1 ( ,) e tx，使得 1 ( )0.F t 又 2 1 (4) 11e 42 m mmm xm ， 所以 22 (e )e (e)e mmmm Fmmm 令 2 ( )e(1) x G xx
24、x，( )e2 x G xx，( )e2e20 x G x， 所以( )G x在(1,)上单调递增，( )(1)e20G xG， 所以( )G x在(1,)上单调递增， ( )(1)e10G xG ， 所以 22 (e )e (e)e0 mmmm Fmmm 所以， 1 (e ) ()0 m FF x，所以存在唯一 11 (,e ) m tx，使得 2 ( )0F t 所以方程( )0 m mfxx x 有两个不同的实数解时， 正实数m的取值范围是(1,) . 12 分 解法二：方程( )0 m mfxx x =化简可得 2 (ln )m xxx， 所以方程( )0 m mfxx x =有两解等
25、价于方程 2 ln1xx xm 有两解， 设 2 ln ( ) xx F x x ，则 22 2 23 22 ln12ln ( ) () xxxxxxx F x xx ， 令( )12lnh xxx ， 由于 2 ( )10h x x ， 所以( )h x在(0,)单调递减， 又(1)0h，所以当(0,1)x时，( )0h x , 即( )0F x 当(1,)x时，( )0h x ，即( )0F x； 故( )F x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减 所以( )F x在1x 时取得最大值(1)1F， - 10 - 又 2 1 ( )ee0 e F，(1)10F ，所以存在 1 1 (
26、 ,1) e x ，使得 1 ( )0F x 又( )F x在(0,1)上单调递增，所以当 1 (0, ) e x时，( )0F x ； 当 1 ( ,1) e x时，( )0F x ，即( )(0,1)F x . 因为( )F x在(1,)上单调递减，且当(1,)x时， 2 ln ( )0 xx F x x ，即 ( )(0,1)F x . 所以方程 2 ln1xx xm 有两解只须满足 1 01 m ， 解得：1m 所以方程( )0 m mfxx x =有两个不同的实数解时， 实数m的取值范围是(1,).12 分 22（本小题满分 10 分） 解：（）因为6cos，所以 2 6 cos，
27、所以 22 6xyx，即曲线C的直角坐标方程为： 22 (3)9xy，2 分 直线l的参数方程 3 cos 4 3 2sin 4 xt yt (t为参数)，即 2 2 2 2 2 xt yt (t为参数)， 5分 （）设点A,B对应的参数分别为 1 t, 2 t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 22 22 (3)(2)9 22 tt， 整理，得 2 405 2tt，所以 12 12 5 2 4 tt t t ， 7 分 121212 0,0,0,0tttttt 所以 12 MAMBtt 12 ()tt =5 2, MA MB| 21t t =4, 所以 11 MAMB = M
28、M M AMB AB 5 2 4 10 分 23（本小题满分 10 分） 解：（）当1a时，4|2| 1|4)(xxxf ， 化为 32 1 x x 或 43 21x 或 412 2 x x 3 分 解得 3 1 2 x 或21x或 2 5 2 x ， - 11 - 2 5 2 3 x .即不等式 ( )4f x 的解集为) 2 5 , 2 3 ( . 5 分 （）根据题意，得 2 24mm的取值范围是( )f x值域的子集. 33) 1(42 22 mmm 又由于| 12|2| 1|)(aaxxxf， )(xf的值域为)|,12|a 4 分 故3| 12|a，12a. 即实数a的取值范围为 1 , 2. 10 分
