1、第九节空间向量的坐标运算第九节空间向量的坐标运算知识自主知识自主梳理梳理最新考纲1.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算2掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式3理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念高考热点1.立体几何解答题一般既可用向量(坐标)法，也可用传统(综合)法解决，主要考查平行、垂直、夹角、距离等问题2用向量的坐标运算、数量积的公式结合直线的方向向量、平面的法向量解题是高考的新动向.1.空间直角坐标系(1)单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量 ，则这个基底叫单位正交基底，通常用i，j，k来表示互相垂直且长都为1(2)空
2、间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，如图，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫 ，这时我们说建立了一个 ，点O叫原点，向量i、j、k都叫做 ，通过每两个坐标轴的平面叫 ，分别称xOy平面，yOz平面、zOx平面作空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy135(或45)，yOz90.坐标轴空间直角坐标系Oxyz坐标向量坐标平面(3)坐标：对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，则有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的 ，记为a 如上图
3、，对于空间任一点A，对应一个向量 ，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使 xiyjzk，即点A的坐标为 坐标(a1，a2，a3)(x，y，z)2向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab ；(2)ab ；(3)ab ；(a1b1，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b34平面的法向量如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a，那么向量a叫做平面的 法向量1类比平面向量，是掌握空间向量的最好方法，平面向量的加、减、数乘等坐标运算公式及运算律对空间向量仍然成立虽然共面向量定理由两个约束条件变为
4、三个约束条件，坐标由两个有序实数推广到三个有序实数，但其运算规律实质上是一样例如，线段的定比分点坐标公式(包括中点坐标公式、重点坐标公式)在空间直角从标系中依然适用，有向线段表示向量的坐标仍然是终点坐标减去始点坐标，平行、垂直的充要条件，夹角、距离公式等仍然适用重点重点辨析辨析方法规律方法规律归纳归纳题型一空间向量的坐标运算思维提示空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，解决此类问题的关键是熟练应用公式，准确计算例1设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab及a与b所成的角，并确定，的值，使ab与z轴垂直规律总结在利用向量知识具体解、证立体几何问题时，主要有两个
5、思考方向：利用空间向量基本定理：在所给的立体图形中选择三个不共面的基向量，将空间的任何一个向量用三个基向量通过向量的加、减、数乘运算法则表示，然后经过代数运算，达到计算或证明的目的建立空间直角坐标系：通过建立空间直角坐标系，将向量用坐标来表示，充分利用向量垂直、平行的充要条件及向量的数量积公式进行运算，达到计算或证明的目的.(4)ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)，由(ab)(ab)(0,0,1)220，0，即当、满足关系0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直.题型二利用坐标法证明平行与垂直思维提示平行问题向量共线，注意重合垂直问题向量的数量积为零，注意零向量例
6、2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点(如右图所示)(1)求证：DE平面ABC；(2)求证：B1F平面AEF.分析(1)证明DE平行于平面ABC内的某一条直线；(2)证明B1F垂直于平面AEF内的两条相交直线证明证法一：空间向量法如图，建立空间直角坐标系令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)证法二：传统几何法(1)如图，连结A1B，A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连结BP.由E为C1C的中点，A1C1CP，可证A1EEP.因为
7、D、E分别是A1B、A1P的中点，所以DEBP.又因为BP平面ABC，DE 平面ABC，所以DE平面ABC.规律总结(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量(2)证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量(3)证明面面平行的方法：转化为线线平行、线面平行处理；证明这两个平面的法向量是共线向量(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直(5)证明线面垂直的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；证明直线与平面内
8、的两个不共线的向量互相垂直(6)证明面面垂直的方法：转化为线线垂直、线面垂直处理；证明两个平面的法向量互相垂直.备选例题2如图所示，在几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形，EAD是以E为直角顶点的等腰直角三角形，且垂直于底面，EF平面EAD，EF3，若R是BC的中点，G、H是FB上的两个三等分点(1)求证：EF平面ABCD；(2)求证：AGFB，RHFB.例3四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.(1)求AM与PD所成的角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值(3)设、是二面角l的
9、两个平面，m，n分别是、的法向量，如果当m与n的起点都在二面角的面内，方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是m，n；如果m与n的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是m，n.备选例题3(2010淄博市一模)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PCAC2，ABBC，D是PB上一点，且CD平面PAB.(1)求证：AB平面PCB；(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角CPAB的余弦值解：(1)证明：PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，CD平面PAB，AB平面PAB，CDAB.又PCCDC，AB平面PCB.题型四利
10、用坐标法求空间距离思维提示距离问题向量的模，借助公式|a|或两点间的距离公式，注意向量的垂直例4已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点，(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离规律总结利用向量的坐标运算求距离问题(1)如图所示，点P是直线l外一点，A是直线l上一点，n是点P与直线l所确定的平面内垂直于l的一个向量，则点P到直线l的距离d备选例题4设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，求D到平面ABC的距离例如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD.解题思路如图所示，建立空间直角坐标系，D为坐标原点设DCa.错因分析运用向量平行的充要条件解决立体几何的平行问题时关键是能否建立恰当的坐标系，准确地用坐标表示向量，学生往往做不到这些而无从下手
