1、1 / 36 第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 1 1. .1 1 锐角三角函数锐角三角函数 第第 1 1 课时课时 正切正切 1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正 切进行简单的计算.(重点) 2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系. 阅读教材 P24，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.在 RtABC 中，如果锐角 A 确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫 做A 的正切，记作 tanA，即 tanAA的对边 A的邻边. 2.tanA 的值越大，梯子越陡. 3.坡面
2、的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). ( (二二) )自学反馈自学反馈 1.在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，那么 tanA 等于(C) A. 5 13 B. 12 13 C. 5 12 D. 12 5 2.如图，有一个山坡在水平方向上前进 100 m，在竖直方向上就升高 60 m，那么山坡的 坡度 itan3 5. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解：甲梯中，tan 5 13 252 5 12.乙梯中，tan 6 8 3 4. 因为 tantan，所以乙梯更陡. 求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐
3、角的对边与邻边. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.如图，下面四个梯子最陡的是(B) 2 / 36 2 2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A、B、O 为格点，则 tanAOB(A) A.1 2 B. 2 3 C. 10 5 D. 5 3 3 3.在 RtABC 中，C90，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a24，c 25，则 tanA24 7 、tanB 7 24. 4 4.如图，某人从山脚下的点 A 走了 300 m 后到达山顶的点 B，已知点 B 到山脚的垂直距 离为 70 m，求山的坡度 0.24.(结果精确到 0.01) 活动活动 3 3 课堂小结
4、课堂小结 1.正切的定义. 2.梯子的倾斜程度与 tanA 的关系(A 和 tanA 之间的关系). 3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识. 第第 2 2 课时课时 锐角三角函数锐角三角函数 1.理解正弦函数和余弦函数的意义， 能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值， 准确分清 三种函数值的求法.(重点) 2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻 边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 阅读教材 P56，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.在 RtABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c；A
5、 的对边与斜 边的比叫做A 的正弦，即 sinAa c.A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，即 cosA b c. 2.锐角 A 的正弦、余弦、正切叫做A 的三角函数. 3.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡. 锐角三角函数是在直角三角形的前提下. ( (二二) )自学反馈自学反馈 3 / 36 1.如图，在ABC 中，C90，AB13，BC5，则 sinA 的值是(A) A. 5 13 B. 12 13 C. 5 12 D. 13 5 2.如图，在 RtABC 中，C90，AB6，cosB2 3，则 BC 的长为(A) A.4 B.2 5 C.18 13 13 D.1
6、2 13 13 3.在 RtABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a3、b4， 则 sinB4 5，cosB 3 5，tanB 4 3. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 1 1 如图，在 RtABC 中，B90，AC200，sinA0.6，求 BC 的长. 解：在 RtABC 中， sinABC AC，即 BC 2000.6， BC2000.6120. 例例 2 2 如图，在 RtABC 中，C90，AC10，cosA12 13，求AB 的长及 sinB. 解：在 RtABC 中， cosAAC AB， 即10 AB 12 13，AB 65 6 . sinBA
7、C ABcosA 12 13. 4 / 36 这里需要注意 cosAsinB. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知 AC8，DB4 3，CDAB 于点 D， 求 sinB 的值. 解：ABC 是等腰三角形，BCAC8. CDAB， CDB90， CD BC 2BD2 8 2（4 3）24， sinBCD BC 4 8 1 2. 2 2.如图，在ABC 中，CDAB，垂足为 D.若 AB12，CD6，tanA3 2，求 sinBcosB 的值. 解：在 RtACD 中，CD6，tanA3 2，AD4，BDABAD8. 在 RtBCD 中，B
8、C 8 26210，sinBCD BC 3 5，cosB BD BC 4 5，sinBcosB 7 5. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 1.21.2 3030，4545，6060角的三角函数值角的三角函数值 1.经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体 会三角函数的意义. 2.能够进行 30、45、60角的三角函数值的计算，能够根据 30、45、60的 三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点) 阅读教材 P89，完成预习内容. 自学反馈自学反馈 完成下面的表格： sin cos tan 30 1 2 3 2 3 3 5
9、 / 36 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 1 1 计算： (1)sin30cos45； (2)sin 260cos260tan45. 解：(1)原式1 2 2 2 1 2 2 . (2)原式3 4 1 410. sin 230表示(sin30)2，即 sin30sin30，这类计算只需将三角函数 值代入即可. 例例 2 2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60， 且两边的摆动角度相同， 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果 精确到 0.01 m) 解：根据题意可知，A
10、OD1 2AOB30，AO2.5 m. ODOAcos302.5 3 2 2.165(m). CD2.52.1650.34(m). 最高位置与最低位置的高度差约为 0.34 m. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.计算： (1)2sin303tan30tan45； (2)cos 245tan60cos30. 解：(1)原式2 3. (2)原式2. 2 2.如图， 某同学用一个有 60的直角三角板估测学校旗杆 AB 的高度， 他将 60角的直 角边水平放在 1.5 m 高的支架 CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得 D，B 的距离为 5 m，则旗杆 AB 的高度大约
11、是多少米？(精确到 1 m， 3取 1.73) 解：由已知可得四边形 CDBE 是矩形， 6 / 36 CEDB5 m，BECD1.5 m. 在 RtACE 中，tanACEAE CE， AECEtanACE5tan605 3， AB5 31.58.651.510.1510 (m)， 即旗杆 AB 的高度大约是 10 m. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 1 1. .3 3 三角函数的计算三角函数的计算 1.能利用计算器求锐角三角函数值. 2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角. 阅读教材 P1214，完成预习内容. 自学反馈自学反馈 1.已知 t
12、an0.324 9，则约为(B) A.17 B.18 C.19 D.20 2.已知 tan22.3，则872556.(精确到 1) 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 1 1 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的 路线与水平面的夹角为16， 那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到 0.01 m) 解：在 RtABC 中，ACB90， BCABsin200sin1655.13(m). 例例 2 2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的 斜到.这条斜道的倾斜角是多少？ 解：在 RtABC 中
13、，sinABC AC 10 40 1 4. A1428. 答：这条斜道的坡角是 1428. 在直角三角形 ABC 中，直接用正弦函数描述CBA 的关系式，再用计算器求 出它的度数. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.用计算器计算：(结果精确到 0.000 1) (1)sin36； (2)cos30.7； 7 / 36 (3)tan2030； (4)sin252cos61tan71. 解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)1.512 0. 2 2.在 RtABC 中，若C90，BC20，AC12.5，求两个锐角的度数(精确到 1). 解：C90，B
14、C20，AC12.5， tanBAC BC 12.5 20 0.625， 用计算器计算，得B32， A903258. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数. 2.本节学习的数学方法： 培养学生一般化意识， 认识特殊和一般都是事物属性的一个方 面. 3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角 函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输 入顺序. 1 1. .4 4 解直角三角形解直角三角形 1.了解什么叫解直角三角形. 2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件
15、解直角三角形.(重点) 阅读教材 P1617，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形. 2.直角三角形中的边角关系： 三边之间的关系 a 2b2c2； 两锐角之间的关系AB90； 边与角之间的关系：sinAa c，cosA b c，tanA a b，sinB b c，cosB a c，tanB b a. 3.在 RtABC 中，C90，已知A 与斜边 c，用关系式B90A，求出B， 用关系式 sinAa c求出 a. ( (二二) )自学反馈自学反馈 1.在 RtABC 中，C90，sinA3 5，则 BCAC(A) A
16、.34 B.43 C.35 D.45 2.如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为(B) 8 / 36 A.5cos B. 5 cos C.5sin D. 5 sin 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 1 1 在 RtABC 中，C90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a 15， b 5，求这个三角形的其他元素. 解：在 RtABC 中，a 2b2c2，a 15，b 5， c a 2b2 （ 15） 2（ 5）22 5. 在 RtABC 中，sinBb c 5 2 5 1 2. B30.A60. 例例
17、 2 2 在 RtABC 中，C90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b30， B25，求这个三角形的其他元素(边长精确到 1). 解：在 RtABC 中，C90，B25，A65. sinBb c，b30，c b sinB71. tanBb a，b30，a b tanB 30 tan2564. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.根据下列条件解直角三角形. (1)在 RtABC 中，C90，c4 3，A60. 解：A60，B90A30. sinAa c，acsinA4 3sin604 3 3 2 6， b c 2a2 （4 3） 2622 3. (2)在 RtABC 中，C
18、90，a6，b2 3. 解：C90，a6，b2 3， c a 2b2 6 2（2 3）24 3. tanAa b 6 2 3 3， A60， B90A906030. 2 2.如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，AB8，ABD30，CAD45，求 BC 的长. 9 / 36 解：ADBC 于点 D， ADBADC90. 在 RtABD 中，AB8，ABD30， AD1 2AB4，BD 3AD4 3. 在 RtADC 中，CAD45，ADC90， DCAD4，BCBDDC4 34. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 1 1. .5 5 三角函数的应用三角函数
19、的应用 第第 1 1 课时课时 方位角问题方位角问题 能运用解直角三角形解决航行问题. 阅读教材 P19 有关方位角问题，完成预习内容. 自学反馈自学反馈 1.如图，我们说点 A 在 O 的北偏东 30方向上，点 B 在点 O 的南偏西 45方向上，或 者点 B 在点 O 的西南方向. 2.如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点 A 处)在距她家北偏东 60方向的 500 米处， 那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是 250 米. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 如图，海中一小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始
20、 在 A 岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20 海里后到达该岛的南偏西 25的 C 处，之后，货轮 继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？ 解：如图，过点 A 作 ADBC 交 BC 的延长线于点 D. 在 RtABD 中，tanBADBD AD， 10 / 36 BDADtan55. 在 RtACD 中，tanCADCD AD， CDADtan25. BDBCCD， ADtan5520ADtan25. AD 20 tan55tan2520.7910. 轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险. 应先求出点 A 距 BC 的最近距离， 若大于 10 则无危险， 若小于或等于 1
21、0 则有 危险. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处与灯塔 P 的距离为(A) A.40 2海里 B.40 3海里 C.80 海里 D.40 6海里 2 2.如图所示，A、B 两城市相距 100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线 段 AB).经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30和 B 城市的北偏西 45的方向上， 已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，50 km 为半径
22、的圆形区域内，请问计划修筑的这条 高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据： 31.732， 21.414) 解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下： 过点 P 作 PCAB，C 是垂足. 则APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45. ACBCAB， PCtan30PCtan45100， 即 3 3 PCPC100，( 3 3 1)PC100， PC 3 3 3100 50(31.732)63.4050. 11 / 36 计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角 形，将问题转化为解直角三角
23、形. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 第第 2 2 课时课时 仰角、俯角问题仰角、俯角问题 1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形. 2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题. 阅读教材 P19 想一想，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角. 2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形. ( (二二) )自学反自学反 馈馈 1.如图，某飞机在空中 A 处探测到
24、它的正下方地平面上目标 C，此时飞机飞行高度 AC 1 200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角30，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为(D) A.1 200 m B.1 200 2 m C.1 200 3 m D.2 400 m 2.如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是(D) A.200 米 B.200 3米 C.220 3米 D.100( 31)米 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 如图，小明想测量塔 CD 的高度.他在 A 处仰望塔顶，测
25、得仰角为 30，再往塔的 方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精 确到 1 m) 12 / 36 解：DAB30，DBC60， BDAB50 m.DCBDsin6050 3 2 25 343(m). 答：该塔高约为 43 m. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房 AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破. 已知距危房 AB 水平距离 60 米(BD60 米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼 CD 高 15 米， 在该住宅楼顶 C 处测得此危房屋顶 A 的仰角为 30，请你通过计算说明在实施定向爆破
26、危 房 AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆形区域为 危险区域，参考数据： 21.414， 31.732) 解：没有危险，理由如下： 在AEC 中，AEC90， tanACEAE CE. ACE30，CEBD60， AE20 334.64(米). 又ABAEBE，BECD15， AB49.64(米). 6049.64，即 BDAB， 在实施定向爆破危房 AB 时，该居民住宅楼没有危险. 2 2.如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树 顶 A 点的仰角30，从平台底部向树的方向水平前进 3 米到
27、达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角60，求树高 AB.(结果保留根号) 解：作 CFAB 于点 F，设 AFx 米， 在 RtACF 中，tanACFAF CF， 则 CF AF tanACF x tan x tan30 3x， 在直角ABE 中，ABxBF4x(米)， 13 / 36 在直角ABE 中，tanAEBAB BE，则 BE AB tanAEB x4 tan60 3 3 (x4)米. CFBEDE，即 3x 3 3 (x4)3. 解得 x3 34 2 . 则 AB3 34 2 43 312 2 (米). 答：树高 AB 是3 312 2 米. 活动活动 3 3 课堂小结课
28、堂小结 1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题. 2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想. 第第 3 3 课时课时 坡度问坡度问题题 1.能运用解直角三角形解决斜坡问题. 2.理解坡度 i坡面的铅直高度 坡面的水平宽度tan 坡角. 阅读教材 P19 做一做，完成预习内容. 自学反馈自学反馈 1.如图所示，斜坡 AB 和水平面的夹角为.下列命题中，不正确的是(B) A.斜坡 AB 的坡角为 B.斜坡 AB 的坡度为BC AB C.斜坡 AB 的坡度为 tan D.斜坡 AB 的坡度为BC AC 2.如图，一人乘雪橇沿 30的斜坡笔直滑下，滑下的距离 s(米)与时间 t(
29、秒)间的关系 为 s10t2t 2，若滑到坡底的时间为 4 秒，则此人下降的高度为(C) A.72 m B.36 3 m C.36 m D.18 3 m 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40减至 35，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m) 14 / 36 解：根据题意可得图形，如图所示： 在 RtABD 中，sin40AD AB AD 4 ， AD4sin4040.642.56， 在 RtACD 中，tan35AD CD 2.56 CD ， CD 2.56 tan353.66，
30、tan40AD BD 2.56 BD ， BD 2.56 tan403.055 m. CBCDBD3.663.0550.61(m). 楼梯多占了 0.61 m 长一段地面. AC AD sin354.46 m. ACAB4.4640.46(m). 调整后的楼梯会加长 0.46 m. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm，深为 30 cm，为方便残疾 人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 i 15，则 AC 的长度是 210cm. 2 2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6
31、m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i13， 斜坡 CD 的坡度 i12.5，求斜坡 AB 的坡角，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长.(精确到 0.1 m) 解：如图，过点 B 作 BEAD 于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F， 在 RtABE 和 RtCDF 中，BE AE 1 3， CF FD 1 2.5， AE3BE32369(m)，FD2.5CF2.52357.5(m). ADAEEFFD69657.5132.5(m). 15 / 36 斜坡的坡度 i1 30.333 3， BE AE0.333 3，即 tan0.333 3.1826. BE ABsin，AB BE sin
32、 23 0.316 272.7(m). 答：斜坡 AB 的坡角约为 1826，坝底宽 AD 为 132.5 m，斜坡 AB 的长约为 72.7 m. 这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分 割，分割成特殊的四边形和直角三角形. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 1.61.6 利用三角函数测高利用三角函数测高 会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点) 阅读教材 P2223，完成预习内容. 自学反馈自学反馈 1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 1 1 测量底
33、部可以到达的物体的高度 下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分. 课题 测量旗杆高 测量示 意图 测得 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 BD 的长 24.19 m 23.97 m 24.08 m 测倾器的高 CD1.23 m CD1.19 m 1.21 m 倾斜角 3115 3045 31 计算，旗杆高 AB(精确到 0.1 m) ABAEBECEtan31CD 24.08tan311.2115.7(m) 例例 2 2 测量底部不可以到达的物体的高度. 如图，小山上有一座铁塔 AB，在 D 处测得点 A 的仰角为ADC60，点 B 的仰角为 BDC45；
34、在 E 处测得 A 的仰角为E30，并测得 DE90 米，求小山高 BC 和铁塔高 AB(精确到 0.1 米). 16 / 36 解：在ADE 中，E30，ADC60， EDAE30. ADDE90 米. 在 RtACD 中，DAC30，则 CD1 2AD45 米，ACADsinADCADsin60 45 3米. 在 RtBCD 中，BDC45，则BCD 是等腰直角三角形. BCCD45 米， ABACBC45 34532.9 米. 答：小山高 BC 为 45 米，铁塔高 AB 约为 32.9 米. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做
35、了如下的探索： 实践一：根据自然科学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1) 的测量方案： 把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子 里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE2.7 米，观察者目高 CD1.6 米，请你计算树 AB 的 高度(精确到 0.1 米) 实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副；长为 2.5 米的 标杆一根；高度为 1.5 米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： (1)在你设计的方案中，选用的测量工具是. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图； (3)你需要测得示
36、意图中哪些数据，并分别用 a，b，c，等表示测得的数据 atan 1.5. (4)写出求树高的算式：ABABatan1.5. 解：实践一：CEDAEB，CDDB，ABBD， CEDAEB， CD AB DE BE. CD1.6 米，DE2.7 米，BE8.7 米， AB1.68.7 2.7 5.2(m). 实践二：(1)在距离树 AB 的 a 米的 C 处，用测角仪测得仰角，测角仪为 CD. 再根据仰角的定义，构造直角三角形 ADE，求得树高出测角仪的高度 AE，则树高为 AE BE. (2)如图. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 17 / 36 学生试述：这节课你学到了些什么？ 第三章第
37、三章 圆圆 3 3. .1 1 圆圆 1.回顾圆的基本概念. 2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点) 3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点) 阅读教材 P6566，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.连接圆上任意两点的线段叫做弦， 经过圆心的弦叫做直径； 圆上任意两点间的部分叫 做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧 叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. 2.设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OPd，则有：点 P 在圆外dr；点 P 在圆上 dr；点 P 在圆内dr，C 与 AB 相离；
38、 当 r4 cm 时，dr，C 与 AB 相交. 例例 2 2 如图，PA 为O 的切线，A 为切点.直线 PO 与O 交于 B、C 两点，C30， AP 3，连接 AO、AB、AC.求O 的半径. 解：OAOC，C30， AOP60. PA 为O 的切线， PAO90， 在 RtAOP 中，AOP60，AP 3， AO1，即O 的半径为 1. 已知圆的切线，利用圆的切线性质解题时，一般先要作出过切点的半径，再 分析题中的关系，合理解答问题. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.已知O 的半径为 5 cm，圆心 O 到直线 a 的距离为 3 cm，则O 与直线 a 的位置关系 是相交.
39、直线 a 与O 的公共点个数是 2 个. 2 2.已知O 的直径是 6 cm，圆心 O 到直线 a 的距离是 4 cm，则O 与直线 a 的位置关系 是相离. 3 3.如图，AB 与O 相切于点 C，AB，O 的半径为 6，AB16.求 OA 的长. 解：连接 OC，AB 与O 相切于点 C，OCAB. AB，OAOB. 30 / 36 ACBC1 2AB8. OC6，OA 6 28210. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 1.直线与圆的三种位置关系. 2.根据圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系. 3.切线性质： 切线和圆有且只有一个公共点； 切线和圆心
40、的距离等于半径； 圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.能运用切线性质定理进行计算与证明. 5.掌握常见的关于切线的辅助线作法. 第第 2 2 课时课时 切线的判定与三角形的内切圆切线的判定与三角形的内切圆 1.理解和掌握圆的切线的判定定理；能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证 明.(重点) 2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.会进行三角形内切圆的相 关计算.(难点) 阅读教材 P9293，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分
41、线 的交点，叫做三角形的内心. ( (二二) )自学反馈自学反馈 1.下列说法中，正确的是(B) A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线 C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线 D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线 2.已知在矩形 ABCD 中，AB3，BC6，如果以 AD 为直径作圆，那么与这个圆相切的矩 形的边共有(D) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 3.如图，在 RtABC 中，C90，以 BC 为直径作O，则O 与 AC 的位置关系是相 切. 31 / 36 4.如图，A、B 是O 上的两点，AC 是过 A 点的一条
42、直线，如果AOB120，那么当 CAB 的度数等于 60 度时，AC 与O 相切. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 1 1 如图，点 D 在O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在O 上，ACCD，D30.求 证：CD 是O 的切线. 证明：连接 OC，ACCD，D30， AD30. OAOC， ACOA30. COD60. OCD90，即 OCCD. CD 是O 的切线. 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 例例 2 2 如图所示，在ABC 中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切. 解
43、：1.作B、C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I(如图所示). 2.过 I 作 BC 的垂线，垂足为 D. 3.以 I 为圆心，以 ID 为半径为I. I 就是所求的圆. 例例 3 3 如图，已知O 是 RtABC(C90)的内切圆，切点分别为 D、E、F. (1)求证：四边形 ODCE 是正方形. (2)设 BCa，ACb，ABc，求O 的半径 r. 32 / 36 解：(1)证明略；(2)abc 2 . 这里(2)的结论可记住作为公式来用. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，AE 交O 于点 E，AECP 于点 D，如果 AC 平 分DAB
44、.求证：直线 CP 与O 相切. 证明：连接 OC. OAOC，OCAOAC. AC 平分DAB，DACOAC.DACOCA.OCAD. 又ADCP， OCCP. 直线 CP 与O 相切. 活动活动 3 3 课堂小结课堂小结 1.判定切线的方法有哪些？ 直线 l 与圆有唯一公共点l是切线 与圆心的距离等于圆的半径l是切线 经过半径外端且垂直于这条半径l是切线 2.常用的添辅助线方法： (1)直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直. (2)直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径. 3.会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用. * *3.7 3.7 切线长定理切线
45、长定理 理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.(难点) 阅读教材 P9495，完成预习内容. ( (一一) )知识探究知识探究 1.过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 2.过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. ( (二二) )自学反馈自学反馈 1.如图，PA，PB 是O 的切线，切点分别是 A，B，若 PA6 cm，则 PB6cm. 33 / 36 2.如图，PA、PB 分别切O 于点 A、B，点 E 是O 上一点，且AEB60，则P60 度. 3.自学教材 P95 随堂练习. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 如图，直角梯形 ABCD 中，A90，以 AB 为直径的半圆切另一腰 CD 于 P，若 AB 12 cm，梯形面积为 120 cm 2，求 CD 的长. 解：20 cm. 这里 CDADBC. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1 1.如图， 从O 外一点 P 引O 的两条切线 PA， PB， 切点分别为 A， B.如果APB60， PA8，那么弦 AB 的长是(B) A.4 B.8 C.4 3 D.8
