1、 1 江苏省淮阴区江苏省淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练一届高三第二学期期初模拟训练一（含附加题含附加题） 数数 学学 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1设集合 Ax|x|2，By|y1x2，则 AB 2已知复数 z（1+i） （1+3i） ，其中 i 是虚数单位，则|z|的值是 3函数 yln（4x2）的定义域为 4为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的 500 辆汽车的时速，所得数据 均在区间40，80中，其频
2、率分布直方图如图所示，则在抽测的 500 辆汽车中，时速在区间40，60内的 汽车有 辆 5如图所示的算法流程图中，最后输出值为 6从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这 2 名代表都是女同学 的概率为 7在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 2 4 + 2 3 = 1的右焦点重合，则实数 p 的值 2 为 8在正四棱锥 SABCD 中，点 O 是底面中心，SO2，侧棱 SA23，则该棱锥的体积为 9等比数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，已知 S2= 3 4，S4= 15 4 ，则 a6 10函数 yl
3、oga（x+3）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+10 上，其中 mn 0，则 1 + 1 的最小值为 11在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 = 2+ （a，b 为常数）过点 P（2，5） ，且该曲线在点 P 处的 切线与直线 2x7y+30 垂直，则 2a+3b 的值是 12若 sin（ 6 ）= 1 4，则 cos（ 2 3 + 2） 13如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BCD60 ， = = 23若点 M 为边 BC 上的动点，则 的最小值为 14已知函数() = |2+ + 1 2|( )，且 yf（x）在 x0，2上的最大
4、值为 1 2，若函数 g（x）f（x） ax2有四个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 ）程或演算步骤 ） 15如图，在四面体 ABCD 中，ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 = （1）若 EF平面 ABD，求实数 的值； （2）求证：平面 BCD平面 AED 16已知 O 为坐标原点， =（cosx，1） ， =（2cosx，32） ，xR，若 f
5、（x）= 3 （1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数 yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平 移 4个单位，得到函数 yg（x）的图象，求函数 yg（x）在 12， 5 12上的最小值 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 C： 2 4 + 2= 1的左顶点 A 作直线 l，与椭圆 C 和 y 轴正半轴 分别交于点 P，Q （1）若 APPQ，求直线 l 的斜率； （2）过原点 O 作直线 l 的平行线，与椭圆 C 交于点 M，N，求证： 2 为定值 18 如图， 某森林公园有一直角梯形区域 ABCD， 其四
6、条边均为道路， ADBC， ADC90 ， AB5 千米， BC8 千米，CD3 千米，现甲、乙两管理员同时从 A 地出发匀速前往 D 地，甲的路线是 AD，速度为 6 千米/小时，乙的路线是 ABCD，速度为 v 千米/小时 （1）若甲、乙两管理员到达 D 的时间相差不超过 15 分钟求乙的速度 v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是 5 千米，若乙先到达 D，且乙从 A 到 D 的过程中始终能用对讲 机与甲保持有效通话求乙的速度 v 的取值范围 19设函数 f（x）（xt）3m（xt） ，其中 t，mR （1）若 m9，求 f（x）的极值； （2）若曲线 yf（x）与直线
7、= ( ) 42有三个互异的公共点，求实数 m 的取值范围 20设数列an的前 n 项和为 Sn已知6= (2 + 3)+ ( )，设= 4;1 (2;1)(2:1) （1）求证：当 n2 时，cncn1为常数； （2）求数列an的通项公式； （3）设数列bn是正项等比数列，满足：b1a1，b3a2，求数列anbn的前 n 项的和 Tn 数学（附加卷）注：本卷共三大题共数学（附加卷）注：本卷共三大题共 1 小题，共计小题，共计 40 分分.本题本题 21、22 两两小题，每题小题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分选选 4 修修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21已知矩阵 = 1 1
8、，其中 a，bR，若点 P（1，1）在矩阵 A 的变换下得到的点 P1（1，4） （1）求实数 a，b 的值； （2）求矩阵 A 的逆矩阵 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程是 = 2 + 1 = （t 是参数） ，若以 O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴， 取与直角坐标系中相同的单位长度， 建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为 = 22( + 4) 求 直线 l 被曲线 C 截得的弦长 五、解答题（共五、解答题（共 2 小题，满分小题，满分 0 分）分） 23将 4 名大学生随机安排到 A，B，C，D 四个公司实习 （
9、1）求 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率； （2）随机变量 X 表示分到 B 公司的学生的人数，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 24设 nN*且 n4，集合 M1，2，3，n的所有 3 个元素的子集记为1，2，3 （1）当 n4 时，求集合1，2，3中所有元素之和 S； （2）记 mi为 Ai( = 1，2， 3)中最小元素与最大元素之和，求 2018 3 =1 2018 3 的值 5 答案答案+解析解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1集
10、合 Ax|x|2x|2x2， By|y1x2y|y1， ABx|2x1 故答案为：x|2x1 2z（1+i） （1+3i）2+4i， |z|= (2)2+ 42= 25 故答案为：25 3由 4x20，得2x2 函数 yln（4x2）的定义域为（2，2） 故答案为： （2，2） 4由频率分布直方图得： 时速在区间40，60内的频率为： （0.01+0.03） 100.4， 在抽测的 500 辆汽车中， 时速在区间40，60内的汽车有：0.4 500200 故答案为：200 5第一次循环得到 T1 55，i10； 第二次循环得到 T5 1050，i15； 第三次循环得到 T50 15750，i2
11、0； 第四次循环得到 T750 2015000，i25； 此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出 i25 故答案为：25 6从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名（每名同学被选中的机会均等）作为代表， 基本事件总数 n= 5 2 =10， 这 2 名代表都是女同学包含的基本事件个数 m= 3 2 =3， 这 2 名代表都是女同学的概率为 p= = 3 10 故答案为： 3 10 7在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 2 4 + 2 3 = 1的右焦点重合， 6 可得 2 = 1，解得 p2 故答案为：2 8在正四棱锥 SABCD 中，侧棱 SA23，高
12、SO2， 底面中心到顶点的距离 AO= 2 2=22 因此，底面正方形的边长 AB= 2AO4，底面积 SAB216 该棱锥的体积为 V= 1 3SABCDSO= 1 3 16 2= 32 3 故答案为：32 3 9根据题意，设该数列的首项为 a1，公比为 q， 若2= 3 4，4 = 15 4 ，则 q1 则 S2a1（1+q）= 3 4，S4= 1(1;4) 1; = 15 4 ， 变形可得：q 2， 又由等比数列an的各项均为正数，则 q2， 则 a1= 1 4， 则 a6= 1 4 258， 故答案为：8 10由题意可得定点 A（2，1） ，又点 A 在直线 mx+ny+10 上， 2
13、m+n1， 则 1 + 1 =（ 1 + 1 ） （2m+n）3+ + 2 3 + 22的最小 ，当且仅当 = 2 且 2m+n1 即 m= 2;2 2 ，n= 2 1时取等号， 故答案为：3+22 11直线 2x7y+30 垂直的直线的斜率 k= 7 2， 曲线 = 2+ （a，b 为常数）过点 P（2，5） ， 且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x7y+30 垂直， y2ax 2， 即有 4 4 = 7 2 4 + 2 = 5 ， 解得：a1，b2， 7 故 2a+3b8， 故答案为：8 12sin（ 6 ）= 1 4 =cos 2 （ 6 ）cos（ 3 +） ，即 cos（ 3 +）
14、= 1 4， 则 cos（2 3 + 2）22( 3 + ) 12 1 16 1= 7 8， 故答案为： 7 8 13如图所示： 以 B 为原点，以 BA 所在的直线为 x 轴， 以 BC 所在的直线为 y 轴， 过点 D 做 DPx 轴，过点 D 做 DQy 轴， ABBC，ADCD，BAD120 ， = = 23， B（0，0） ，A（2，0） ，C（0，23） ，D（3，3） ， 设 M（0，a） ， 则 =（2，a） ， =（3，a3） ， 故 =6+a（a3）= ( 3 2 )2+ 21 4 21 4 ， 故答案为：21 4 14设 g（x）x2+mx+ 1 2， 则 g（0）= 1
15、 2，函数的对称轴为 x= 2， 若 2 0，则函数 g（x）在0，2上是增函数，yf（x）在 x0，2上的最大值为 g（2） 1 2，不满足 条件 则必有 2 0，即 m0， 由 g（x）x2+mx+ 1 2 = 1 2得 x 2+mx0，得 x0 或 xm， 8 若 yf（x）在 x0，2上的最大值为1 2， 则m2，即 m2， 同时|g（ 2）| 2 4 2 2 + 1 2| 2 4 + 1 2| 1 2， 即 1 2 2 4 1 2 1 2， 即 0 2 4 1，即 m24， 得2m2， m2，m2， 即 f（x）|x22x+ 1 2|，对称轴 x1， 由 g（x）f（x）ax2有四个
16、不同的零点， 得 g（x）f（x）ax20，即 f（x）ax2有四个不同的根， 即 f（x）与 yax2的图象有四个不同的交点， 作出两个函数的图象如图： 当 a0 时，不满足条件 当 a0 时，要使两个函数有四个交点， 当 ax2（x22x+ 1 2）在（0，1）相切时， 得（a+1）x2+2x+ 1 2 =0， 则判别式44 1 2（a+1）0， 得 42a20 得 2a2，a1， 要使使两个函数有四个交点， 则 0a1， 即实数 a 的取值范围是（0，1） 9 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
17、明过分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 ）程或演算步骤 ） 15 （1）因为 EF平面 ABD，易得 EF平面 ABC， 平面 ABC平面 ABDAB， 所以 EFAB， 又点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上， 所以点 F 为 AC 的中点， 由 = 得 = 1 2； （2）因为 ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点， 所以 BCAE，BCDE， 又 AEDEE，AE、DE平面 AED， 所以 BC平面 AED， 而 BC平面 BCD， 所以平面 BCD平面 AED 16 （1）由题意 =（cosx，1） ， =（2cosx，32）
18、，xR， f（x）= =2cos2x+3sin2xcos2x+1+3sin2x2sin（2x+ 6）+1， f（x）的最小正周期为2 2 = 令 2k 2 2x+ 6 2k+ 2，求得 k 3 xk+ 6， 所以的单调递增区间为k 3，k+ 6，kZ （2）由（1）得 f（x）2sin（2x+ 6）+1， 所以将函数 yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 得到函数 y2sin（x+ 6）+1 的图象； 10 再将得到的图象向左平移 4个单位， 得到 g（x）2sin（x+ 4 + 6）+12sin（x+ 5 12）+1 的图象 的图象 在 12， 5 12上，x
19、+ 5 12 3， 5 6 ， 当 x+ 5 12 = 5 6 时，g（x）取得最小值为 2sin5 6 +12，即函数 yg（x）在 12， 5 12上的最小值为 2 17 （1）A（2，0） ，设 Q（0，m） （m0） ， APPQ，P（1， 2） ， 代入椭圆方程得：1 4 + 2 4 =1， 解得 m= 3， 直线 l 的斜率为 3 2 （2）证明：设直线 l 的斜率为 k（k 1 2） ，直线 l 的方程为：yk（x+2） ， 令 x0 得 y2k，即 Q（0，2k） ， AQ= 42+ 4 =22+ 1 联立方程组 = ( + 2) 2 4 + 2= 1 ，消元得： （1+4k2
20、）x2+16k2x+16k240， x1+x2= ;162 1:42，x1x2= 162;4 1:42 ， AP= 1 + 2 2564 (1:42)2 642;16 1:42 = 41:2 1:42 APAQ= 8(2:1) 1:42 直线 MN 的方程为 ykx， 联立方程组 = 2 4 + 2= 1，得（1+4k 2）x240， 设 N（x3，y3） ，M（x3，y3） ， 则 3= 2 1:42 3= 2 1:42 ， MN2ON2 4 1:42 + 42 1:42 =4 1:2 1:42， 2 = 8(2:1) 1:42 1:42 16(1:2) = 1 2 2 为定值 11 18
21、（1）由题意，可得 AD12 千米 由题可知|12 6 16 | 1 4，解得 64 9 v 64 7 （2）经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f（t） 由于先乙到达 D 地，故16 2，即 v8 当 0vt5，即 0t 5 时， f（t）（6t）2+（vt）22 6t vt cosDAB（v2 48 5 v+36）t2 因为 v2 48 5 v+360，所以当 t= 5 时，f（t）取最大值， 所以（v2 48 5 v+36） （5 ） 225，解得 v15 4 当 5vt13，即5 t 13 时， f（t）（vt16t）2+9（v6）2 （t 1 ;6） 2+9 因为 v8，所以
22、1 ;6 5 ， （v6） 20，所以当 t=13 时，f（t）取最大值， 所以（v6）2 （13 1 ;6） ） 2+925，解得39 8 v 39 4 当 13vt16，13 t 16 时， f（t）（126t）2+（16vt）2， 因为 126t0，16vt0，所以当 f（t）在（13 ，16 ）递减，所以当 t= 13 时，f（t）取最大值， （126 13 ）2+（16v 13 ）225，解得39 8 v 39 4 因为 v8，所以 8v 39 4 19 （1）m9 时，f（x）（xt）39（xt） ，f（x）3（xt）29， 由 f（x）0 可得，xt+3或 xt3，此时函数单调递
23、增，由 f（x）0 可得，t3xt+3，此 时函数单调递减， 故当 xt3时，函数取得极大值 63，当 xt+3时，函数取得极小值63， （2）由题意可得（xt）3m（xt）（xt）42有 3 个实数解， 令 uxt，则3+ (1 ) + 42 =0 有 3 个实数解， 令 g（u）= 3+ (1 ) + 42，则 g（u）3u2+1m， 若 1m0 即 m1 时，则 g（u）0 恒成立，g（u）单调递增，不符合题意； 若 1m0 即 m1 时，由 g（u）3u2+1m0 可得 u1= ;1 3 ，u2= ;1 3 ， 12 故函数在（，u1）上单调递增，在（u1，u2）单调递减，在（u2，+
24、）上单调递增， 又 u+时，g（u）+，u时，g（u）， 则有(1)0 (2)0， 即1 3 + (1 )1+ 420 23+ (1 )2+ 420， 解可得 m1+ 96 2 20 （1）证明：数列an的前 n 项和为 Sn已知6= (2 + 3)+ ( )， 由题意：n1 时，6S15a1+1， 解得：a11 当 n2 时，6Sn1（2n+1）an1+n1， 得： 6an（2n+3）an（2n+1）an1+1， 所以：= (2:1)1;1 2;3 则：cncn1= 4(2+1)1 23 ;1 (2;1)(2:1) 41;1 (2;3)(2;1) =0， 所以：当 n2 时，cncn1为常数
25、 0 （2）由（1）得，数列cn是常数列 1= 41;1 13 = 1， 则：cnc11， 则： 4;1 (2;1)(2:1) = 1， 整理得：= 2； （3）由（2）知：b11，b34，数列bn是正项等比数列， 所以，数列公比为 2， 故：= 2;1， 所以：= 1 + 4 2 + 9 22+ + 2 2;1， 2= 2 + 4 22+ 9 23+ + 2 2， 得：= 1 + 3 2 + 5 22+ + (2 1) 2;1 2 2， 设 Pn1+32+522+（2n1）2n 1， 所以：2Pn12+322+523+（2n1）2n， 13 得： #/DEL/# = 1 + 2 2 + 2
26、22+ + 2 2;1 (2 1) 2#/DEL/# 1+2（2n2）（2n1）2n， 所以：= (2 3) 2+ 3 则：= (2 2 + 3) 2 3 数学（附加卷）注：本卷共三大题共数学（附加卷）注：本卷共三大题共 1 小题，共计小题，共计 40 分分.本题本题 21、22 两小题，每题两小题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分选选 修修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （1）由题意，可知： 1 1 1 1 = 1 4， 即： 1 + 1 = 1 4 1 = 1 + 1 = 4，解得： = 2 = 3 （2）由（1） ，可知：A= 2 1 31 则矩阵 A 对应的行列式()
27、= |2 1 31 | = 5， 又A*= 1 1 32 根据公式 A1= 1 | ，可得： ;1= 1 5 ;1 5 3 5 2 5 = 1 5 1 5 3 5 2 5 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22直线 l 的参数方程是 = 2 + 1 = （t 是参数）消去参数 t， 得直线 l 的普通方程为 y2x+1， 曲线 C 的极坐标方程为 = 22( + 4)即 2（sin+cos） ， 两边同乘以 得 22（sin+cos） ， 所以（x1）2+（y1）22， 圆心 C 到直线 l 的距离 = |2;1:1| 22:12 = 25 5 ， 所以弦长为 = 22 (
28、25 5 )2= 230 5 五、解答题（共五、解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 23 （1）将 4 人安排四个公司中，共有 44256 种不同放法 记“4 个人恰好在四个不同的公司”为事件 A，事件 A 共包含4 4 =24 个基本事件， 14 所以 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率 P（A）= 24 256 = 3 32 （2）方法 1：X 的可能取值为 0，1，2，3，4， P（X0）= 34 44 = 81 256， P（X1）= 4 133 44 = 27 64， P（X2）= 4 232 44 = 27 128， P（X3）= 4 33 44 = 3 64，
29、 P（X4）= 4 4 44 = 1 256 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 所以 X 的数学期望为： E（X）= 0 81 256 +1 27 64 + 2 27 128 + 3 3 64 + 4 1 256 =1 24 （1）因为含元素 1 的子集有3 2个， 同理含 2，3，4 的子集也各有3 2个， 于是所求元素之和为(1 + 2 + 3 + 4) 3 2 = 30； （2）集合 M1，2，3，n的所有 3 个元素的子集中： 以 1 为最小元素的子集有;1 2 个， 以 n 为最大元素的子集有;1 2 个； 以 2 为最小元素的子集有;2 2 个， 以 n1 为最大元素的子集有;2 2 个； 以 n2 为最小元素的子集有2 2个， 以 3 为最大元素的子集有2 2个 3 1 = 1+ 2+ + 3， = ( + 1)(;1 2 + ;2 2 + + 2 2)， = ( + 1)(;1 2 + ;2 2 + + 3 2 + 3 3)， = ( + 1)(;1 2 + ;2 2 + + 4 2 + 4 3)， 15 = = ( + 1) 3， 3 =1 3 = + 1 2018 3 =1 2018 3 = 2018 + 1 = 2019
