1、 山西省山西省 20202020 届高三届高三 2 2 月开学模拟（网络考试）月开学模拟（网络考试）试题试题 文科文科数学数学 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合|20 ,|1Ax x xBx x，则AB （ ） A0,2 B1,2 C1,2 D0,2 2. 设aR，若复数 1i ai 在复平面内对应的点位于实轴上，则a（ ） A 2 B 1 C -1 D-2 3. 已知向量, a
2、 b不共线，若 3/ /abkab，则实数k （ ） A 1 3 B 1 2 C 1 3 D 1 2 4.某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到下表： 分数段 70,90 90,110 110,130 130,150 人数 5 15 20 10 将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是 （ ） A 110 B 115 C. 120 D125 5.设 12 ,F F分别为椭圆 2 2 2 :11 x Eya a 的左、右焦点，过 2 F且垂直于x轴的直线与E相交于,A B两 点，若 1 F AB为正三角形，则a （ ） A 6 2 B 5 2 C. 3 2
3、D2 6. 函数 2 24 2 2 xx f xx x 的最小值是（ ） A 3 B 4 C. 5 D6 7.已知变量m的取值完全由变量, , ,a b c d的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好 , , ,a b c d四个变量的取值，然后记录相应的变量m的值，得到下表： 试验编号 a b c d m 1 1 1 1 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2 2 1 则m关于, , ,a b c d的表达式不可能是（ ） A 2 ab m cd B 8 m ab cd C. 22 2 ab m cd D 22 3ab m cd 8.对于函数 2 1 x fx
4、 e 的图象，下列说法正确的是 （ ） A关于直线1x 对称 B关于直线yx对称 C.关于点1,0对称 D关于点0,1对称 9. 已知数列 n a的通项公式为370.9n n an，则数列 n a的最大项是（ ） A 5 a B 6 a C. 7 a D 8 a 10.执行如图所示的程序框图（其中modab表示a除以b后所得的余数） ，则输出的N的值是 （ ） A 78 B 79 C. 80 D81 11.已知直角三角形 ABC两直角边长之和为 3，将ABC绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积 的最大值为（ ） A 5 3 B 4 3 C. 2 3 D 9 8 12.设 12 ,F F分
5、别为双曲线 22 22 :1,0 xy Ea b ab 的左、右焦点，以坐标原点O为圆心， 1 OF为半径的 圆与双曲线E的右支相交于,P Q两点，与E的渐近线相交于, ,A B C D四点，若四边形 12 PFQF的面积与 四边形, ,A B C D的面积相等，双曲线E的离心率为（ ） A 2 B 3 C. 5 D6 二、填空题二、填空题：本：本大题大题共共 4 4 小小题，题，每每小小题题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上. . 13.已知, a b是向量，命题“若ab ，则ab”的逆否命题是 14.已知等差数列 n a的公差为d，且0d ，
6、前n面和为 n S，若 234 4,3,2SSS也成等差数列，则 1 a d 15.关于x的方程 1 x e m x 无实根，则实数m的取值范围为 16.将函数 2 2 sincos2 3 cos3fxxxx的图象向左平移0a a 个单位长度，得到函数 yg x的图象， 若 6 gxg x 对任意x成立， 则实数a的最小值为 此时， 函数 g x 在区间 13 , 1212 上的图象与直线2y 所围成的封闭图形的面积为_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，题为
7、必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一一）必）必考题：共考题：共 6060 分分 17. 如图，平面四边形ABCD中， 1 5,2 10,tan 2 ADCDABADCAB. （1）求AC的长； （2）若 3 4 ABC，求ABC的面积. 18.如图，三棱柱 111 ABCABC中， 0 11 ,60BCBBB BC， 111 BCAB. （1）证明：ABAC； （2）若 11 ,2ABAC ABBB，点M是 11 BC的中点，求点M到平面 11 ABC的距离. 19. 已知直线
8、1xmy与圆 22 114xy相交于,A B两点，O为坐标原点. （1）当1m时，求AB； （2）是否存在实数m，使得OAOB，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 20. 某人某天的工作是：驾车从A地出发，到BC、两地办事，最后返回A地，, ,A B C三地之间各路段行 驶时间及当天降水概率如下表： 路段 正常行驶所需时间（小 时） 上午降水概率 下午降水概率 AB 2 0.3 0.6 BC 2 0.2 0.7 CA 3 0.3 0.9 若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长 1 小时. 现有如下两个方案： 方案甲：上午从A地出发到B地办事，然后到达C地， 下午在C地办事后返回
9、A地； 方案乙： 上午从A地出发到C地办事， 下午从C地出发到达B地， 办事后返回A地.设此人 8 点从A地 出发， 在各地办事及午餐的累积时间为 2 小时. 现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验， 按照以下随机数表， 以方框内的数字 5 为起点， 从 左向右依次读取数据， 若到达某行最后一个数字， 则从下一行最左侧数字继续读取， 每次读取 4 位随机 数， 第 1 位数表示采取的方案， 其中 0-4 表示采用方案甲， 5-9 表示采用方案乙； 第 2-4 位依次分别表 示当天行驶的三个路段上是否降水， 若某路段降水概率为 10 k ，则01k 表示降水，9k 表示不降水. （符号mn
10、表示的数集包含,m n） 05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93 58 05 77 05 91 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94
11、44 67 16 94 14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43 （1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回A地的时间； （2） 利用随机数表依次取出采用甲、 乙方案的模拟结果各两组， 分别计算甲、 乙两个方案的平均时间， 并回答哪个方案办完事后能尽早返回A地. 21. 已知函数 222 ln,2 lnf xxaxax aRg xxxx. （1）讨论 f x的单调性； （2）求证：当1a 时，对于任意0,x，都有 f xg x. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程
12、 在极坐标系Ox中，直线,m n的方程分别为cos3,sin2，曲线 2 2 36 : 45sin C . 以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n的方程与曲线C的方程化成直角坐标方程； （2）过曲线C上动点P作直线,m n的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知0abc，且231abc，求证： （1） 111 12348 abc ； （2） 222 8271abc 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1.B【解析】|02Axx，|12ABxx. 2.C【解析】由于 22 1111 ,10 11 iaia
13、aii a aiaa ，所以1a . 3.A 【解析】 由于3/ /abkab， 所以存在实数， 使得3kabab， 因此k且31， 解得 1 3 k . 4.B【解析】由题意可知， 直方图四个小矩形的面积从左向右依次为 0.1， 0.3， 0.4， 0.2， 故中位数 位于第 3 个小矩形处， 而前 2 个小矩形面积之和为 0.4， 故第 3 小矩形在中位数左侧的面积为 0.1， 故 中位数为区间110,130的靠左的四等分点处， 故中位数为 115. 5.A【解析】 2 122 1 21,FFaAF a ，在 12 Rt AFF中， 120 2 tan60 FF AF ， 2 1 213a
14、 a ，即 42 4430aa，解得 2 3 2 a ， 6 2 a . 6.D【解析】 44 222 426 22 f xxx xx ， 当且仅当 4 2 2 x x ，即4x 时，等号成立，故 f x的最小值为 6. 7.C【解析】对比试验可推断m与d成反比，对比试验可推断m与c成反比，对比推断m与 ab或 1 ab 成正比，故 A，B 选项形式正确，将第次试验数据代入，检验可知 A，B 选项系数也正确， 故排除选项 A，B；选项 C 的表达式与题目中第次试验结果不符，故选 C. 8.D【解析】 21 1 11 11 x xx e f x ee ， 令 1 1 x x e g xxR e
15、， 则 11 11 xx xx ee gxg x ee ， g x为奇函数， 其图象关于原点对称， 将其图象向上平移 1 个单位长度可得 f x图象，所以 f x图象关于0,1对称. 9.C【解析】由 13109 1 3710 n n an an ，解得 20 3 n ，又 * nN，所以6n. 于是 127n aaa， 当7n时， 1 1 n n a a ，故 78 aa， 因此最大项为 7 a. 10.D【解析】容易看出，该程序框图的功能是，统计 1 至 2020 中所有是 20 的倍数但不是 100 的倍数的整 数个数，在 1-2020 中，能被 20 整除的数共有 101 个，但期中
16、100，200，300，2000 这 20 个能被 100 整除，故符合条件的整数个数为 101-20=81. 11.B【解析】设直角三角形的两边长分别为, a b，则3ab，以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转 体的体积为 22 11 3 33 Va baa， 2 1 63 3 Vaa ，当02a时，0V；当23a时， 0V. 所以当2a 时，体积最大，最大值为 4 3 . 12.C【解析】由双曲线的定义及平面几何知识可知 12 2PFPFa， 22 2 12 4PFPFc， 2 得 2 12 2PFPFb， 四边形 12 PFQF的面积为 2 112 1 22 2 SPFPFb， 由 22
17、2 xyc b yx a ，当0,0xy，解得,xa yb， 圆O与E的渐近线在第一象限的交点为, a b. 四边形ABCD的面积 2 4Sab， 2 24bab，2 b a ，即 22 2 4,5 cac e aa . B 卷选择题答案 1. C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A 8. B 9. C 10. D 11. C 12. C A A、B B 卷非卷非选择题选择题答案答案 二、填空题二、填空题 13. 若ab，则ab . 14. -1 【解析】由 234 4,3,2SSS成等差数列知 243 426SSS，即 243 23SSS， 故 111 2 2463
18、33adadad， 整理得 1 0ad， 又0d ，故 1 1 a d . 15. 2 0,e 【解析】由 1 x e m x ，得1 x em x， 若直线1ym x与曲线 x ye相切，设切点为 00 ,xy， 0 0 x ye ， x ye ， 0 x me， 00 0 1 xx eex， 0 2x ， 2 me. 因为原方程无实数根，所以实数m的取值范围为 2 0,e . 16. ;2 3 【解析】 由已知得 2sin 2 3 fxx ， 函数 g x的对称轴为 12 x ， 则 2sin 22 3 g xxa ， 得2 632 ak ，所以 23 k a ，得a的最小值为 3 ；此时
19、 2sin 2 3 g xx ，由对称 性可知，所求面积即为直线 7 , 1212 xx 以及2,2yy 围成矩形面积，即为2. 三、解答题三、解答题 17.解： （1）由题意知 5 cos 5 CAD， 在ACD中，根据余弦定理， 2222 25405 cos 22 55 ADACCDAC CAD AD ACAC ， 解得3 5AC （5AC 舍去） ； （2）由题意知 5 sin 5 BAC， 在ABC中，由正弦定理得 sinsin BCAC BACABC ，即 3 5 52 52 BC ， 解得3 2BC ， 又 522 5210 sinsin 525210 BCACABCBA ， 故
20、11109 sin3 53 2 22102 ABC SCA CBACB . 18.（1）证明：如图，取BC的中点O，连接 1 ,AO OB， 1 BCBB， 0 1 60B BC， 1 BCB为等边三角形， 1 BOBC， 又 11 / /BCBC， 111 BCAB， 1 BCAB， 又 111 BOABB， BC 平面 1 AOB，又AO平面 1 AOB，BCAO， O为BC中点，ABAC； （2）连接 1 ,CM AM， ABAC，1AO，又 11 3,2OBAB， 1 AOOB， 11 / /,/ /CMOB AMAO， 1 AMCM， 又 1111 ABAC，M是 11 BC的中点，
21、 111 AMBC， 1 AM 平面 11 BCC， 在 11 ABC中， 111111 2,2ACBCBCAB， 设M到平面 11 ABC的距离为h， 由 1 111 MA B CAB MC VV ， 即 1 11 111 1111113 13 1 3332326 A B CB MC ShSAMB MCMAM ， 1 1 7 2 A B C S，即 173 326 h， 21 7 h . 故点M到平面 11 ABC的距离为 21 7 . 19.解： （1）当1m时，直线方程为10xy ，此时圆心到直线的距离为 1 2 d ， 则 1 2 414 2 AB ； （2）设 1122 ,A x y
22、B x y，则 由 22 114 1 xy xmy ，得 22 1230myy， 1212 22 23 , 11 yyy y mm ， OAOB，0OA OB ，即 1212 0x xy y， 又 1122 1,1xmyxmy， 1212 110mymyy y， 2 1212 110my ym yy ， 2 22 32 110 11 mm mm ， 化简得 2 10mm ， 0 ，不存在满足条件的实数m. 20.解： （1）数据“5129”表示采用乙方案，上午AC路段降水，下午CB路段降水，AB路段未降水，故 花费正常行驶时间 7 小时，降水延迟 2 小时，办事及午餐 2 小时共计 11 小时
23、， 故推算返回A地的时间为 19 点； （2）根据规则，读取的两组甲方案对应数据依次为 1693，2687. 可得 数据 上午AB路段 是否降水（0-2 表示降水） 上午BC路段 是否降水（0-1 表示降水） 下 午CA路 段 是否降水（0-8 表示降水） 总时间 平均时间 1693 否 否 是 10 10 2687 否 否 是 10 类似地，读取的两组乙方案对应数据为 5129，5805， 可得 数据 上午AB路段 是否降水（0-2 表示降水） 上午BC路段 是否降水（0-1 表示降水） 下 午CA路 段 是否降水（0-8 表示降水） 总时间 平均时间 5129 是 是 否 11 11 58
24、05 否 是 是 11 因为 1011，故认为甲方案有利于办完事后能更早返回A地. 21.解析： （1）由题意 f x的定义域为0,，且 222 22 2 xaxaaxaxa fxxa xxx ， 当0a 时， 20fxx ； 当0a 时， 2 a x 时， 0fx；0 2 a x时， 0fx； 当0a时，xa时， 0fx；0xa时， 0fx； 综上所述，当0a 时， f x在0,上为减函数； 当0a 时， f x在0, 2 a 上为增函数，在, 2 a 上为减函数； 当0a时， f x在0, a上为增函数，在, a上为减函数. （2）要证 f xg x，即证21 ln0xxx， 当 1 2
25、x 时，不等式显然成立； 当 1 2 x 时，即证ln0 21 x x x ；当 1 0 2 x时，即证ln0 21 x x x ； 令 ln 21 x F xx x ，则 22 41111 2121 xx Fx x xxx ， 当 1 2 x 时，在 1 ,1 2 上 0Fx， F x为减函数；在1,上 0Fx， F x为增函数， min 110F xF ，ln0 21 x x x . 当 1 0 2 x时，在 1 0, 4 上 0Fx， F x为增函数；在 1 1 , 4 2 上 0Fx， F x为减函数， max 111 ln0 442 F xF ，ln0 21 x x x ， 综上所述
26、，当0x 时， f xg x成立. 22.解： （1）由cos ,sinxy得 直线,m n的直角坐标方程分别为3,2xy， 曲线C的方程为 22 4936xy； （2）由（1）知曲线 22 :1 94 xy C，故可设3cos ,2sinP， 矩形的两边长分别为33cos ,22sin， 矩形的面积3 3cos22sin6 1 sincossin cosS， 令sincos2,2t ，则 2 1 sincos 2 t ， 2 363,2, 2Sttt ， 当2t 时， max 96 2S. 23.证明： （1） 1111121 32332 123 abcbc ac ab abcabcabc 2 62 32 2 48 bcacab abc ； （2）由0abc，可知 222 ,abb acc bcc， 于是： 2 222 123494612abcabcabacbc 222222222 494612827abcbccabc.
