1、 江淮十校江淮十校 2020 届高三第二次联考届高三第二次联考 数学（文科）数学（文科） 一一 选择题选择题 1.若全集U R，集合 2 |16AxZ x， |10Bx x ，则() U AB（ ） A. |14xx B. |14xx C. 1,2,3 D. 2,3 【答案】D 【分析】 化简集合A，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】| 44 3, 2, 1,0,1,2,3Axx Z， |1 UB x x，()2,3 U AB . 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.下列说法错误的是（ ） A. 命题“若 2 430xx，则3x ”的逆否命题为“若3x ，则 2 43
2、0xx ” B. 命题“(0,)x ，23 xx ”是假命题 C. 若命题p、 q 均为假命题，则命题 pq 为真命题 D. 若 ( )f x是定义在 R上的函数，则“(0)0f”是“( )f x是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B 【分析】 选项 A：按照四个命题的关系，判断为正确；选项 B：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误； 选项 C：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项 D：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项 A: 命题“若 2 430xx，则3x ”的 逆否命题为“若3x ，则 2 430xx ”，故正确； 选项 B: (0,)x ， 0 22 ( )(
3、)1 3 2 33 x x x ， 而0,323 xxx ，命题“ (0,)x ，2 3 xx ” 为真，判断错误； 选项 C: 若命题p、 q 均为假命题， 则命题 p 、q均为真命题， 故命题 pq 为真命题，判断正确； 选项 D: ( )f x是定义在 R 上的函数， 若“( )f x是奇函数”则“ (0)0f”正确； 而“(0)0f ”， ( )f x不一定是奇函数， 如 2 ( )f xx，选项 D判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真 假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题. 3.已知函数( ) xx
4、f xee （e 为自然对数的底数） ，若 0.5 0.7a ， 0.5 log0.7b ， 0.7 log5c ，则（ ） A. ( )( )( )f bf af c B. ( )( )( )f cf bf a C. ( )( )( )f cf af b D. ( )( )( )f af bf c 【答案】D 【分析】 先比较, ,a b c的大小关系，再根据( ) xx f xee 单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为 0.5 0.71a ，01b，0c，a bc 又 ( )f x在 R上是单调递减函数，故( )( )( )f af bf c . 故选:D. 【点睛】本题考查
5、了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题. 4.等差数列 n a，若 258610 4()6()132aaaaa，则 94 aa（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【分析】 根据等差数列性质得到 58 11aa，得到答案. 【详解】 28610558 4()61212132()aaaaaaa， 58 11aa，故 4598 11aaaa. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，意在考查学生的计算能力. 5.函数2sin 2 x yx的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 根据函数2 2 x ysinx的解析式，根
6、据定义在R上的奇函数图像关于原点对称可以排除A，再求出其导函 数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 详解】当0x时，0200ysin 故函数图像过原点，排除A 又 1 2cos 2 yx，令0y 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域， 值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证 6.已知向量a，b满足|3a r ，1b|=，且| |abab，则|2 |ab等于（
7、） A. 3 B. 5 C. 7 D. 3 【答案】C 【分析】计算得到 0a b ，再计算 2 |2 |7ab得到答案. 【详解】| |abab， 0a b ， 222 |2 |4|47ababa b，|2 |7ab. 故选：C. 【点睛】本题考查向量模的计算，意在考查学生的计算能力. 7.平面直角坐标系xOy中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为单位圆O交于 点 0 3 , 5 Py ，且,0 2 ，则cos() 6 （ ） A. 3 34 10 B. 4 33 10 C. 3 34 10 D. 4 33 10 【答案】C 【分析】 根据三角形函数定义得到 3 cos
8、5 ， 4 sin 5 ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】题意知 3 cos 5 ， 4 sin 5 ，所以 3 34 coscoscossinsin 66610 . 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生对于三角函数知识的灵活运用. 8.已知函数 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x ，则满足(2)( 1)0f xf的x的取值范围是（ ） A. (,3) B. ( 1,3) C. (, 1)(3,) D. (3,) 【答案】A 【分析】 根据函数图像知函数是在R上单调递减且为奇函数，化简得到2 1x ，得到答案. 【详解】画出函数图
9、像知： f x在R上单调递减且为奇函数， 所以(2)( 1)0,(2)(1),21,3f xff xfxx . 故选：. A 【点睛】本题考查了根据函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 9.长方堑堵阳马鳖臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术 商功 ，其中阳马和鳖臑是我国古代对 一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体 1111 ABCDABC D，按平面 11 ABC D斜切一分为二，得到两个 一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个， 其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥 1 DABCD称为阳马， 余下的三
10、棱锥 11 DBCC是由四个直 角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体 1111 ABCDABC D中 2AB ，3BC ， 1 4AA ，按以上 操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（ ） A. 2 5 B. 5 C. 29 D. 4 2 【答案】C 【分析】阳马的最长棱长为长方体的体对角线，计算得到答案. 【详解】根据题意知阳马的最长棱长为长方体的体对角线，最大值长为 222 23429 ， 故选：C. 【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力. 10.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin 2sinAB，coscos2aBbA， 2 2
11、a .则ABC面积为（ ） A. 5 2 B. 6 2 C. 7 2 D. 2 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到2c ，再根据余弦定理得到 3 cos 4 C ，再计算面积得到答案. 【详解】sin2sinAB，故 22 2ab ， coscos2sincossincos2 sin2aBbARABBARCc， 所以 222 3 cos 24 abc C ab ，所以 7 sin 4 C ， 17 sin 22 ABC SabC . 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力. 11.关于函数( )2sin() 1 6 f xx 有下述四个结论:（
12、 ） ( )f x在区间 1 0, 2 单调递增 ( )yf x图象关于点 7 ,1 6 对称 ( )f x的最小正周期为2 ( )f x的值域为 1,3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 求三角函数的单调区间，对称，周期和值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】令 6 tx ， 1 0, 2 x ，所以, 6 3 t ，( )2sin1f xt在, 6 3 t 上为增函数， 即 f x在区间 1 0, 2 单调递增，所以正确； 令 6 xk ，所以 1 6 xk，kZ，所以正确； f x的最小正周期为2，所以正确； ( )f x的值域为 1,3 ，正确. 故选：D
13、. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，意在考查学生的综合应用能力. 12.已知函数 2 ln ,0 ( ) 1 2,0 2 ex x x f x xxx (e 为自然对数的底数)，则满足 f(x)ff(1)的 x 个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】根据解析式求得 f（f（1） ） 1 2 ，即问题转化为 f（x） 1 2 的解的个数，分 x0 和 x0两种情 况分别研究方程根的个数即可 【详解】由题意得，f（f（1） ） 1 2 ， 当 x0 时，x2+2x 11 22 ； 解得 x0或 x2； 当 x0 时， 1 2 elnx x ； 即 lnx 1
14、2e x； 在同一坐标系中画出 ylnx，y 1 2e x 的图象， 由图象知，只有一个交点，方程有唯一的实根 综上述：满足 f（x）ff（1）的 x个数是 3 个； 故选：C 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题 二二 填空题填空题 13.曲线 2 ( )cosf xxx在点(0, (0)f 处的切线方程为_. 【答案】1y 【分析】 求导得到( )2sinfxxx，计算(0)0 f ，(0)1f ，得到答案. 【详解】 2 ( )cosf xxx，故 ( )2sinfxxx ，(0)0 f ，(0)1f ，切线方程为1y . 故答案为：1y . 【点睛】本题考查了切线问
15、题，意在考查学生的计算能力. 14. n S是等比数列 n a的前 n 项和， 3 2a ， 2 106 aa，则 6 S _. 【答案】 63 2 【分析】 根据等比数列的性质，求出公比及 1 a，即可求解. 【详解】因为 n a为等比数列，所以 2 106210 aaaa， 即 2 1,2aq， 1 1 2 a 6 6 1 61 (1)63 (1) 12 aq Sa q q . 故答案为: 63 2 【点睛】本题考查等比数列的性质，以及通项公式的基本量运算，考查等比数列的前n项和，属于基础题. 15.函数( )cos3sinf xxx ，且对任意实数x都有()()fxfx()R，则cos2
16、_. 【答案】 1 2 【分析】 根据题意得到 0f ，得到tan3 ，计算 2 2 1 tan cos2 1tan 得到答案. 【详解】 f x图像关于x对称， 0f sin3cos0 ，tan3 ， 222 222 cossin1 tan1 cos2 cossin1tan2 . 故答案为： 1 2 . 【点睛】本题考查了根据三角函数对称求参数，意在考查学生的综合应用能力. 16.当 0,1x 时，不等式 32 320axxx 恒成立，则实数a的取值范围是_. 【答案】4a 【分析】 讨论0x和0,1x两种情况，令 1 1,)t x ，构造函数 32 ( )23h tttt ，计算最值得到答
17、案. 【详解】当0x时，显然成立，aR. 当0,1x时，则不等式 2 32 3 32 320, xx axxxa x . 令 1 1,)t x ，则 2 32 3 32 ,23 xx aattt x ， 令 32 ( )23h tttt ， 1,)t， 2 ( )661110h ttt . 所以 h t在1,t上为减函数，所以 max ( )(1)4ah th . 综上所述：实数a的取值范围是4a . 故答案为：4a . 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，意在考查学生对于导数知识的综合应用. 三三 解答题解答题 17.已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos1 66 f x
18、xxxa （1）若 ( )f x的最小值是2，求a； （2）求函数( )yf x，0, x的单调递减区间. 【答案】 （1）4（2） 2 , 63 【分析】 （1）化简得到( )2sin 2 6 f xxa ，计算最值得到答案. （2）取 3 222 262 kxk ，解得 2 63 kxk ，kZ，得到答案. 【详解】 （1） 2 ( )sin(2)sin(2)2cos13sin2cos2 66 f xxxxaxxa 2sin 2 6 xa ， min ( )22f xa ，4a . （2）由 3 222 262 kxk ，kZ，得 2 63 kxk ，kZ， 又0x， 2 63 x . 函
19、数 yf x，0,x的单调递减区间是 2 , 63 . 【点睛】本题考查了根据三角函数的最值求参数，函数单调性，意在考查学生的综合应用能力. 18.记 n S为数列 n a的前n项和，已知22 nn Sa. （1）判断数列 n a是否为等比数列，并说明理由； （2）设 2 1 log nn bna ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 （1），理由见解析（2） 2 n Tn 【分析】 （1）利用公式 1nnn aSS 计算得到 1 2 nn aa ，得到答案. （2）计算得到21 n bn，计算前n项和 n T得到答案. 【详解】 （1）数列 n a是等比数列. 22 nn Sa，
20、11 22 nn Sa 2n， -得， 1 22 nnn aaa ，即 1 2 nn aa (2)n ，又 11 22Sa，得 1 20a ， 数列 n a为等比数列，首项为2，公比为2. （2）由（1）知 n a公比2q =， 1 2a ，2n n a， 2 1 log 221 n n bnn . 2 12 (121) 1 3(21) 2 nn nn Tbbbnn . 【点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19.已知定义在R上的偶函数 ( )f x和奇函数( )g x满足 1 ( )( )2xf xg x . （1）求 ( )f x，( )g
21、x，并证明: 2 (2 ) ( )2fxg x； （2）求函数( )(2 )2 ( )F xfxg x， 1,1x 的最小值. 【答案】 （1）( )22 xx f x ，( )22 xx g x ，证明见解析（2）1 【分析】 （1）根据奇函数和偶函数的性质得到( )22 xx f x ，( )22 xx g x ，再验证得到答案. （2） 2 ( ) ( )2 ( )2F xg xg x，根据单调性得到最值. 【详解】 （1） 1 ( )( )2xf xg x ， 1 ()()2 x fxgx ， 且 f x为偶函数， g x为奇函数 1 ( )( )2 x f xg x ， 由得，( )
22、22 xx f x ，( )22 xx g x . 22 (2 )22 xx fx ， 2 222 ( )222222 xxxx g x ， 2 (2 ) ( )2fxg x. （2）由（1）知 2 ( ) ( )2 ( )2F xg xg x， 1,1x ， 又( )22 xx g x 在 1,1上单调递增， 当1,1x 时， 33 ( ) 22 g x， 当 1g x ， min1F x，当1,1x 时， F x最小值为1. 【点睛】本题考查了函数解析式，函数最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 20.已知钝角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若 tanba
23、B，且 3 2sin2sincos 2 CBA. （1）求角B； （2）若点D满足2BDDC，且3 3BC ，求AD. 【答案】 （1） 6 （2）3 【分析】 （1）化简得到sincosAB得到 2 AB ，代入化简得到答案. （2）根据余弦定理得到3ab=，3bc，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】 （1）tanbaB sinsin sin cos AB B B ，又(0, )B，sin0B，sincosAB. A为钝角，B为锐角， 0, 2 A ， sin()sin 2 AB ， 2 AB ，故 2 AB . 3 2sin2sincos 2 CBA， 3 2sin()2sincos
24、2 ABBA， 3 sincos 4 AB， 又 2 AB ，B为锐角， 2 3 sincoscos 24 BBB ， 3 cos 2 B ， 6 B . （2） 2BDDC ，又3 3BC ，2 3BD， 由（1）知 6 B ， 2 3 A ， 6 C ，bc ， 由余弦定理得: 2222 2cosBCabcbcA 3ab ，3bc ， 在ABD中， 222 3 2cos9 122 3 2 33 2 ADABBDAB BDB ， 3AD . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，意在考查学生对于三角知识的综合应用. 21.已知函数 32 ( )21f xxax ()aR. （1）若3a，
25、求 ( )f x的极值； （2）若 ( )f x在(0,)内有且仅有一个零点，求( )f x在区间 2 2 ,上的最大值最小值. 【答案】 （1） ( )1f x 极小值 ， ( )2f x 极大值 （2） 25f，227f 【分析】 （1）求导得到6 (1)fxx x ，得到函数单调性，得到极值. （2）讨论0a，0a，0a 三种情况，分别计算得到最值. 【详解】 （1） 32 ( )231f xxx， 2 ( )666 (1)fxxxx x， 令 0fx 得，1x或0x；令 0fx 得，10x ， f x在, 1 和0,上是单调增函数，在1,0上是调减函数， 故 ( )(0)1f xf 极
26、小值 ， ( )( 1)2f xf 极大值 . （2） 2 ( )622 (3)6 3 a fxxaxxxax x ， 当0a时， 3 ( )21f xx在0,上无零点，与题意不符，舍去； 当0a时( )6 3 a fxx x ，令 0fx ，0 3 a ， 3 a x 或0x， f x在,0和 , 3 a 上单调递增， 令 0fx ，0 3 a x， f x在0, 3 a 上单调递减， 故 (0)1( )f xf 极大值 ， 3 ( )1 327 aa f xf 极小值 ， 若 f x在0,上有且只有一个零点，此时 ( )0f x 极小值 即 3 10 27 a ， 3a， 32 ( )23
27、1f xxx， 当2,2x 时， (0)1( )f xf 极大值 ， ( )0f x 极小值 ， 又( 2)27(1)0ff ，(2)5(0)1ff， ( )(2)5f xf 最大值 ， ( )( 2)27f xf 最小值 ； 当0a 时，( )6 3 a fxx x ，此时0 3 a ，令 0fx得0x或 3 a x ， f x在 , 3 a 和0,上单调递增， 令 0fx 得0 3 a x， f x在,0 3 a 上单调递减， ( )(0)10f xf 极小值 . f x在0,上无零点，与题意不符； 综上， ( )(2)5f xf 最大值 ， ( )( 2)27f xf 最小值 . 【点睛
28、】本题考查了函数极值和最值，意在考查学生对于导数知识的综合应用. 22.已知函数 2 ( )(1) x f xxea x ()aR. （1）若1a，求( )fx 的单调区间； （2）若0a，证明 ( )f x有且仅有两个零点 【答案】 （1） fx 的单调增区间为0,，单调减区间为,0（2）证明见解析 【分析】 （1）求导得到( )(1)2(1) x fxxex，记( )(1)2(1) x g xxex，得到 00 g ，根据函数的导 数的正负得到函数的单调性. （2）( )2(1) x fxeax，得到函数单调性，证明分别在 0, 1 x 及1,0各有一个零点，得到答案. 【详解】 （1）当
29、1a时， 2 ( )(1) x f xxex，( )(1)2(1) x fxxex， 记( )(1)2(1) x g xxex，( )(2)2 x g xxe， 00 g 0x时，01 x e，(2)20 x xe， ( )0g x ， 0x时，e1 x ，(2)20 x xe， ( )0g x g x在,0单调递减，0,单调递增. fx 的单调增区间为0,，单调减区间为,0. （2）若0a，则( )2(1) x fxeax，令 0fx得 1x， 且(, 1)x 时，( )0fx ，( 1,)x ，( )0fx . f x在, 1 ）单调递减，1, 单调递增， 1 ( 1)0 e f ，(0)0fa，记 0 1 11x a ， 由 x yxe在, 1 上单调递减知 0 0 1 x x e e ， 0 00 1 110 x f xx e e ， f x共有2个零点，且分别在 0, 1 x 及1,0各有一个零点，得证. 【点睛】本题考查了函数的单调区间，零点问题，意在考查学生的综合应用能力.
