1、 厦门市厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）模拟试题数学（理科）模拟试题 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1.已知 1Ax x， 2 1 ()0 2 Bx x ，则 R AC B I（ ） A. 1,1 B. C. 11 1,1 22 D. 1,1 【答案】C 【分析】先求出集合A，B，再根据交集和补集的定义求解即可 【详解】解：1Ax x， 2 1 ()0 2 Bx x ， 1,1
2、A ， 1 2 B ， R AC B I 11 1,1 22 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集和补集，属于基础题 2.设3zi ，则z z（ ） A. 310i B. 310i C. 310i D. 310i 【答案】B 分析】根据共轭复数的定义以及复数的模直接运算即可 【详解】解：3zi ， 3zi ， 310zzi ， 故选：B 【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模，属于基础题 3.中国武汉于 2019年 10月 18 日至 2019年 10 月 27 日成功举办了第七届世界军人运动会.来自 109个国家 9300余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐，奖牌榜的前 3 名如下：
3、国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 133 64 42 239 俄罗斯 51 53 57 161 巴西 21 31 36 88 某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22名获奖代表.从这 22 名中随机 抽取 3 人， 则这 3 人中中国选手恰好 1人的概率为（ ） A. 22 57 B. 19 1540 C. 57 1540 D. 171 1540 【答案】C 【分析】 先根据分层抽样确定中国选手的人数，再利用组合数根据古典概型的概率计算公式求解即可 【详解】解：中国和巴西获得金牌总数为 154，按照分层抽样方法， 22 名获奖代表中有中国选手 19 个，巴西
4、选手 3个， 故这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率 12 193 3 22 57 1540 C C P C ， 故选：C 【点睛】本题主要考查分层抽样和古典概型的概率计算公式，属于基础题 4.已知等差数列 n a 的前n项和为 n S，公差为-2，且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项，则 10 S的值为（ ） A. 110 B. 90 C. 90 D. 110 【答案】D 【分析】根据等比中项定义得 2 739 aa a，结合公差可求出首项，从而可得答案 【详解】解： 7 a是 3 a与 9 a的等比中项， 2 739 aa a， 又数列 n a的公差为2， 2 111 (12)(4)
5、(16)aaa，解得 1 20a ， 20(1) ( 2)222 n ann ， 110 10 10() 5 (202)110 2 aa S ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和，考查等比中项的应用，属于基础题 5.已知函数 xx f xee，给出以下四个结论： (1) f x是偶函数； (2) f x的最大值为 2； (3)当 f x取到最小值时对应的 0x； (4) f x在,0单调递增，在0,单调递减. 正确的结论是（ ） A. (1) B. (1)(2)(4) C. (1)(3) D. (1)(4) 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义可判断（1） ，再利用导数研究函数
6、的单调性与最值 【详解】解： xx f xee， xx fxeef x ， 函数 f x为偶函数，故（1）对； 又 2 1 x xx x e f xee e ， 当0x时， 2 1 xx ee，则 0fx ， f x在0,上单调递增， 结合偶函数的性质可知 f x在,0单调递减， 函数 f x在0x处取得最小值 min 02f xf，无最大值， 故（3）对， （2） （4）错， 故选：C 【点睛】本题主要考查偶函数的定义及判断，考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题 6.已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1，高为 2，M为 11 BC的中点，过M作平面平行平面 1
7、 ABD，若平面把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（ ） A. 1 8 B. 1 16 C. 1 24 D. 1 48 【答案】C 【分析】设N为 11 C D的中点，P为 1 CC的中点，连接MN，MP，NP，连接 1 CB，利用面面平行的判定 定理可证得平面/MNP平面 1 ABD，从而平面MNP为平面，从而可得体积较小的几何体为三棱锥，再 根据棱锥的体积计算公式求解即可 【详解】解：设N为 11 C D的中点，P为 1 CC的中点，连接MN，MP，NP，连接 1 CB， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中，易证 11/ ABCD，则 11 /DA CB， M为
8、11 BC的中点，P为 1 CC的中点， 1 /MP CB， 1/ DA MP， MP平面 1 ABD， 1 DA 平面 1 ABD， /MP平面 1 ABD， 同理可证：/NP平面 1 ABD， /MN平面 1 ABD， MPNPP，MP，NP平面MNP，平面/MNP平面 1 ABD， 即平面MNP为平面， 体积较小的几何体为三棱锥 1 PC MN， 则体积 1 111 1 1 3 2 P C MN VC MC NC P 1111 1 62224 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于基础题 7.设 1 2 ae ， 2 4be， 1 2ce， 3 2 3
9、de ，则a b c d, ,的大小关系为（ ） A. cbda B. cdab C. cbad D. cdba. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小 【详解】解： 3 2 4 1e a ee ， 2 4 16 b e ， 2 2 24 44e c ee ， 2 4 9e d e ， 由于2.7e， 2 7.39e ， 3 20.09e ，所以cdab， 故选：B 【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题 8.函数 sin cosf xxx的最小正周期与最大值之比为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【分析】去
10、掉绝对值作出函数的图象即可求出函数的周期与最值，从而得出答案 【详解】解：去绝对值 1 sin2 ,22 222 13 sin2 ,22 222 xkxk f x xkxk kZ， 作出图象得 由图可知，函数的最小正周期为2，最大值为 max 1 2 f x， 所以最小正周期与最大值之比为4， 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查分类讨论与数形结合的思想，属于中档题 9.已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D都有 4CE CDBCAC， 则CD的取值范围是（ ） A. 2,2 6 B. 2,2 6 C. 2,2 2 D. 2,2 2
11、【答案】C 【分析】设,CE CD，再分类讨论，结合三角函数的性质即可得出结论 【详解】解：由已知可得4AB ，2CEAEBE，设,CE CD， 当D与E重合时，CECD 2 2 cos04 ，符合题意； 当D与A重合时，BDC，4cosCD，代入 4CE CD ， 得2 4coscos4，此时 4 ， 同理，当D与B重合时 4 故0 4 ， 由 4CE CD ，得2cos4CD， 即 2 cos CD ，结合0 4 ，可得2,2 2CD ， 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查三角函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题 10.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数
12、学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制 大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比 我国张隧晚了上千年） ：对于函数( )yf x在 123123 ,x x xxxx处的函数值分别为 112233 ,yf xyf xyf x，则在区间 13 ,x x上 f x 可以用二次函数 111212 ( )f xykxxkxxxx来近似代替，其中 32211 12 213231 , yyyykk kkk xxxxxx .若令 1 0x ， 2 2 x ， 3 x ，请依据上述算法，估算 2 sin 5 的近似值是（ ） A. 24 25 B. 17 25 C.
13、16 25 D. 3 5 【答案】A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论 【详解】解：函数( )sinyf xx在0x， 2 x ，x 处的函数值分别为 1 (0)0yf， 2 ( )1 2 yf， 3 ()0yf， 故 21 1 21 2yy k xx ， 32 32 2yy k xx ， 1 2 2 31 4kk k xx ， 故 2 22 2444 ( )() 2 f xxx xxx ， 即 2 2 44 sin xxx ， 2 2 2424224 sin() 55525 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题 1
14、1.已知双曲线 22 22 1 xy ab 的右支与抛物线 2 2xpy相交于 ,A B两点，记点A到抛物线焦点的距离为 1 d， 抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 2 d，点B到抛物线焦点的距离为 3 d，且 123 ,d d d构成等差数列，则双 曲线的渐近线方程为（ ） A. 2 2 yx B. 2yx C. 3yx D. 3 3 yx 【答案】A 【分析】 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 抛物线焦点为F， 由已知可得2AFBFp， 根据抛物线定义可得 12 yyp， 利用点差法可得 1212 12 22 22yyyypypy ab ，从而可求得渐近线方程 【详解】解：设
15、 11 ,A x y， 22 ,B x y，抛物线焦点为F， 由已知有2AFBFp，即 12 yyp， 由 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ，两式相减得 22 1212 12 22 yyyyxx ab ， 即 1212 12 22 22yyyypypy ab ，故 2 2 1 2 b a ， 渐近线方程为 2 2 yx ， 故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查双曲线的渐近线，考查推理能力与运算能力，属于中档题 12.已知方程 2 10 xx xea e只有一个实数根，则a的取值范围是（ ） A. 0a 或 1 2 a B. 0a 或 1 3 a
16、C. 0a D. 0a或 1 3 a 【答案】A 【分析】 令,0,ln x te txt，则原方程转化成 1 ln0ta t t ，令 1 lnf tta t t ，显然 10f， 问题转化成函数 f t在0,上只有一个零点 1，求导后再利用导数研究函数的单调性与最值，由此可 得答案 【详解】解：令,0,ln x te txt，则原方程转化成 2 ln10tta t ，即 1 ln0ta t t ， 令 1 lnf tta t t ，显然 10f， 问题转化成函数 f t在0,上只有一个零点 1， 2 22 11 1 atta f ta ttt ， 若0a，则 lnf tt 在0,单调递增，
17、 10f，此时符合题意； 若0a ，则 0ft ， f t在0,单调递增， 10f，此时符合题意； 若0a，记 2 h tatta ， 则函数 h t开口向下，对称轴 1 0 2 t a ，过0, a， 2 14a ， 当0即 2 140a即 1 2 a 时， 0f t ， f t在0,单调递减， 10f，此时符合题意； 当即 2 140a即 1 0 2 a 时，设 0h t 有两个不等实根 12 ,t t， 12 0tt， 又 10h，对称轴 1 1 2 t a ，所以 12 01tt ， 则 f t在 1 0,t单调递减， 12 ,t t单调递增， 2, t 单调递增， 由于 10f，所以
18、 2 0f t， 取 1 0 a te ， 11 22 0 1 aa a ea e f t a ， 记 11 22 1 aa aa ea e 令 1 ,2tt a ， 则 2 2 tt tee am t t 0，所以 0 0f t， 结合零点存在性定理可知，函数 f t在 20 ,t t存在一个零点，不符合题意； 综上，符合题意的a的取值范围是0a 或 1 2 a ， 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与运算能力，考查分类讨论思想， 属于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.
19、4 23xy的展开式中二项式系数最大的项为 _. 【答案】 22 216x y 【分析】 4 23xy的展开式中二项式系数最大的项为第三项，根据公式求解即可 【详解】解：由题意可知二项式系数最大的项为第三项， 22 222 34 23216TCxyx y， 故答案为： 22 216x y 【点睛】本题主要考查二项式定理及其应用，属于基础题 14.高三年段有四个老师分别为a b c d, ,，这四位老师要去监考四个班级 , ,A B C D，每个老师只能监考一 个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求a老师不能监考A班，b老师不能监考B班，c老师不能监 考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考
20、方式有_种. 【答案】9 【分析】以a老师监考的班级分类讨论即可求出答案 【详解】解：当a老师监考B班时，剩下的三位老师有 3 种情况，同理当a老师监考C班时，也有 3 种， 当a老师监考D班时，也有 3种，共 9种， 故答案为：9 【点睛】本题主要考查计数原理，属于基础题 15.已知圆O： 22 1xy， 圆N： 22 21xaya. 若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两 条切线. 切点为,A B，使得60AQB，则实数a的取值范围是_ 【答案】 1414 1,1 22 【分析】 由已知可得问题转化为圆N和圆 22 4xy有公共点，从而根据几何法即可求出答案 【详解】解：已知有2QO ，即点Q
21、的轨迹方程为圆T： 22 4xy， 问题转化为圆N和圆T有公共点， 则 2 2 123aa ，故 1414 11 22 a ， 故答案为： 1414 1,1 22 【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，属于基础题 16.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 3. 点N是棱 11 AB的中点，点T是棱 1 CC上靠近点C的三等分 点. 动点Q在正方形 11 DDAA(包含边界)内运动， 且/ /QB面 1 D NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为 _ 【答案】10 【分析】 取DC中点 1 E， 取 1 1AG ， 则平面 1/ BGE平面 1 D NT， 延长 1 BE， 延长AD，
22、 交于点E， 连接EG交 1 DD 于点I，可证得点Q的轨迹是线段GI，从而可求出答案 【详解】解：由于/QB平面 1 D NT，所以点Q在过B且与面 1 D NT平行的平面上， 取DC中点 1 E，取 1 1AG ，则平面 1/ BGE平面 1 D NT， 延长 1 BE，延长AD，交于点E，连接EG交 1 DD于点I， 显然，平面BGE平面 11 DDAAGI，所以点Q的轨迹是线段GI， 由中位线定理可证得 1 1 2 DIAG， 2 2 2 1310GI ， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查面面平行的判定与性质，考查平面的基本公理，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分
23、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试个试题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22 题、第题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.已知函数 1 ( )sin (cossin ) 2 f xxxx. （1）求 ( )f x的单调递减区间； （2）在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足cos2cossinaBaB bA，求 (A)f 的取值范围. 【答案】 （1） 5 ,. 88 kkkZ （2）
24、 1 1 (, ) 2 2 【分析】 （1）根据降幂公式化简 ( )f x的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间； （2）由正弦定理边化角，从而可求得 4 B ，根据锐角三角形可得, 42 A 从而可求出答案 【详解】解： （1） 111 ( )sin2(1 cos2 ) 222 f xxx 1 (sin2cos2 ) 2 xx 2 sin(2) 24 x ， 由222,Z, 242 kxkk 得, 88 kxk 所以 ( )f x的单调递减区间为 5 , 88 kkkZ ； （2）由正弦定理得sincos2sincossinsinABABBA， sin0,A cos2cossin
25、BBB， 即(cossin)(cossin)cossinBBBBBB， (cossin)(cossin1)0BBBB ， 得cossin0BB，或cossin1BB， 解得 4 B ，或 2 B （舍） ， ABC为锐角三角形， 3 +, 4 A C 0, 2 3 0, 42 A A 解得, 42 A 35 2, 444 A 22 sin(2), 242 A 2 ( )sin(2) 24 f AA 的取值范围为 1 1 (, ) 2 2 【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题 18.在三棱柱 111 ABCABC中， 已知 1 5ABACAA，4BC ，O为B
26、C的中点， 1 AO 平面ABC （1）证明四边形 11 BBCC为矩形； （2）求直线 1 AA与平面 11 A B C所成角的余弦值. 【答案】 （1）见解析（2） 105 15 【分析】 （1）连接AO，可得BCAO，易证 1 AOBC，则BC平面 1 AAO，从而可证 1 BCBB，由此即可 得出结论； （2）以 1 ,OA OB OA所在直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题 【详解】解： （1）连接AO，因为O为BC的中点，可得BCAO， 1 AO 平面ABC， BC 平面ABC， 1 AOBC， 又 1 AOAOO，BC平面 1 AAO， 1 BCA
27、A， 11 /BBAA， 1 BCBB， 又四边形 11 BBCC为平行四边形， 四边形 11 BBCC为矩形； （2）如图，分别以 1 ,OA OB OA所在直线为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，则 (1,0,0),(0,2,0),(0, 2,0),ABC Rt AOB中， 22 1AOABBO ， 1 Rt AAO中， 22 11 2AOAAAO， 1(0,0,2) A， 1 ( 1,0,2)AA ， 1 (0, 2, 2)AC ， 11 ( 1,2,0)ABAB ， 设平面 11 A B C的法向量是 ( , , )nx y z， 由 1 0, 0, n AB n AC 得 2
28、0, 220, xy yz 即 2 , , xy zy ，可取(2,1, 1)n ， 设直线 1 AA与平面 11 A B C所成角为，则0, 2 ， 1 sincos,AA n 1 1 AA n AAn 42 30 1556 ， 0, 2 ， 2 105 cos1 sin 15 ， 即直线 1 AA与平面 11 A B C所成角的余弦值为 105 15 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成的角，属于中档题 19.根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布 280,25N （1）随机购买 10只该商家的海产品，求至少买到一只质
29、量小于265克该海产品的概率 （2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49千元时的年收益增 量现用以往的先进养殖技术投入 i x（千元）与年收益增量 i y（千元） （1,2,3,8i ）的数据绘制散点 图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线yab x的附近，且46.6x ，563y ， 6.8t ， 8 2 1 ()289.8 i i xx ， 8 2 1 ()1.6 i i tt ， 1 8 1469 i ii xxyy ， 8 1 108.8 ii i ttyy ， 其中 ii tx，t = 1 8 8 1 i i t 根据所给的统计
30、量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为 49 千 元时的年收益增量 附：若随机变量1,4ZN，则570.9974PZ ， 10 0.99870.9871； 对于一组数据 11 ( ,)u v， 22 (,)u v，(,) nn u v，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i uu vv uu ， vu 【答案】 （1）0.0129（2）100.668yx， 576.6千元. 【分析】 （1）由正态分布的对称性可知，265P 1 1 0.99740.0013 2 ，设购买 10 只该商家海产品，其 中质量小于265g的为X只
31、，故 10,0.0013XB ，由此可求出答案； （2）根据最小二乘法可求出回归方程，由此可求出答案 【详解】解： （1）由已知，单只海产品质量 280,25N ，则280，5， 由正态分布的对称性可知， 1 2651265295 2 PP 1 133 2 P 1 1 0.99740.0013 2 ， 设购买 10 只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故 10,0.0013XB ， 故 10 11011 0.00131 0.98710.0129P XP X ， 所以随机购买 10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129； （2）由6.8t ，563y ， 8
32、 1 108.8 ii i ttyy ， 8 2 1 ()1.6 i i tt ， 有 8 1 8 2 1 108. 8 1. 8 6 6 ii i i i ttyy b tt ， 且 56368 6.8100.6aybt， 所以y关于x的回归方程为100.668yx， 当49x时，年销售量y的预报值100.668 49576.6y 千元， 所以预测先进养殖技术投入为 49千元时的年收益增量为576.6千元 【点睛】本题主要考查标准正态分布及其应用，考查最小二乘法求线性回归方程，属于基础题 20.在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)16Axy，点 ( 1,0)B ，过B的直线l与圆A交
33、于点,C D， 过B做直线BE平行AC交AD于点E （1）求点E的轨迹的方程； （2）过A的直线与交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且2MNOM，求四边形OHNG面积 的最大值 【答案】 （1） 22 1(0) 43 xy y.（2） max 9 2 S 【分析】 （1）由题意可得EBED，可得42EBEAAB，则E的轨迹是焦点为A，B，长轴为4的 椭圆的一部分，再用待定系数法即可求出方程； （2）由题意设直线方程为1xty，设 11 ,G x y， 22 ,H x y，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理 表示出 OHG S ，可得 2 GHNOHG SS ，设四边形OHNG的面积为S，则
34、 3 OHG SS ，再根据基本不等式即 可求出答案 【详解】解： （1）因为 EBED ACAD ，又因为4ACAD，所以EBED， 所以42EBEAEDEAADAB， 所以E轨迹是焦点为A，B，长轴为4的椭圆的一部分， 设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 则24a，22c ，所以 2 4a ， 222 3bac， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ， 又因为点E不在x轴上，所以0y ， 所以点E的轨迹的方程为 22 1(0) 43 xy y； （2）因为直线HG斜率不为 0，设为1xty， 设 11 ,G x y， 22 ,H x y，联立 22 1, 1 43
35、xty xy 整理得 22 34690tyty ， 所以 222 =3636(34)144(1)0ttt， 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t ， 所以 2 12 2 161 234 OHG t SOA yy t ， 2MNOM， 2 GHNOHG SS ， 设四边形OHNG的面积为S， 则 2 2 8 34 3 11 OHGGHNOHG t SSSS t 2 2 2 2 1818 1 34 31 1 1 t t t t ， 令 2 1(1)tm m ， 再令 1 3ym m ，则 1 3ym m 在1,单调递增， 所以1m时， min 4y， 此时0t ，
36、2 2 1 31 1 t t 取得最小值4，所以 max 9 2 S 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题 21.已知函数( ) 1f xlnxax有两个零点 12 ,x x （1）求a的取值范围； （2）记 ( )f x的极值点为 0 x，求证： 120 2e ()xxf x. 【答案】 （1）10a （2）见解析 【分析】 （1）求导得 11 ( ) ax fxa xx ，分类讨论求出函数的单调性，从而可求出答案； （2）由题意得 11 22 ln10 ln10 xax xax ，则 1 2 12 ln x x a xx ，令函数( )
37、ln e x h xx，则 11 ( ) e h x x ，利用导数 可求得ln x x e ，从而可得 11 ln() eaa ，可得 0 2 2e ()f x a ，要证 120 2e ()xxf x，只需 1 12 1 2 2 2(1) ln 1 x xx x x x ，令 1 2 (1) x tt x ，即证 2(1) ln 1 t t t ，令 2(1) ( )ln(1) 1 t h ttt t ，求导后得函数的 单调性与最值，由此可证结论 【详解】解： （1）因为 11 ( ) ax fxa xx ， 当0a时，( )0fx ， ( )f x在 0,单调递增，至多只有一个零点，不符
38、合题意，舍去； 当0a 时，若 1 0x a ，则( )0fx ；若 1 x a ，则( )0fx ， 所以 ( )f x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a 单调递减， 所以 max 11 ( )()ln()f xf aa ， 因为 ( )f x有两个零点，所以必须 max ( )0f x，则 1 ln()0 a ， 所以 1 1 a ，解得10a ， 又因为0x时，( )0f x ； x 时，( )0f x ， 所以当10a 时， ( )f x在 1 0, a 和 1 , a 各有一个零点，符合题意， 综上，10a ； （2）由（1）知10a ，且 0 1 x a ， 因为 ( )f
39、 x的两个零点为 12 ,x x，所以 1 2 ( )0 ()0 f x f x ，所以 11 22 ln10 ln10 xax xax ， 解得 1 12 2 ln()0 x a xx x ，令 12, xx所以 1 2 12 ln x x a xx ， 令函数( )ln e x h xx，则 11 ( ) e h x x ， 当0xe时，( )0h x ；当xe时，( )0h x ； 所以( )h x在0,e单调递增，在, e 单调递减， 所以 max ( )(e)0h xh，所以( )0h x，所以ln x x e ， 因为 0 11 ()()ln()f xf aa ，又因为 1 1 a
40、 ，所以 11 ln() aea ， 所以 12 2 ln()e aa ，即 0 2 2e ()f x a ， 要证 120 2e ()xxf x，只需 12 2 xx a ， 即证 12 12 1 2 2() ln xx xx x x ，即证 112 212 2() ln xxx xxx ，即证 1 12 1 2 2 2(1) ln 1 x xx x x x ， 令 12 xx，再令 1 2 (1) x tt x ，即证 2(1) ln 1 t t t ， 令 2(1) ( )ln(1) 1 t h ttt t ，则 2 22 114 ( )0 11 t h t t tt t ， 所以( )
41、h t在(1,)单调递增，所以( )(1)0h th， 所以 2(1) ln 1 t t t ，原题得证 【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与运算能力，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一 个题目计分个题目计分 22.在直角坐标系 xOy下，曲线 C1的参数方程为 cos, sin x y （ 为参数） ，曲线 C1在变换 T： 2xx yy 的 作用下变成曲线 C2 （1）求曲线 C2的普通方程； （2）若 m1，求曲线 C2与曲线
42、 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y （2）4 【分析】 （1）先求出曲线 C1的普通方程，再根据图象变换可求出曲线 C2的普通方程； （2） 由题意可得 3 C上的点0,Am 在椭圆 E： 2 2 1 4 x y外， 当0x时， 曲线 3 C的方程化为y mxm ， 联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得当0x时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点，又曲 线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称，从而可得结论 【详解】解： （1）因为曲线 C1的参数方程为 cos, sin, x y 所以曲线 C1的普通方程为 22 1xy， 将变换 T： 2 , , xx yy 即 1 , 2 , xx yy
