1、六安市徐集中学六安市徐集中学 田丰田丰 热烈欢迎各位老师莅临指教！热烈欢迎各位老师莅临指教！第5章 三角函数5.2.1 三角函数的概念人教A版2019高中数学必修第一册 第一课时复习旧知1.1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角2.角度制与弧度制的换算弧度18030.571801）（弧度3.关于扇形的公式.21)3(;21)2(;12lRSRSRl）（4、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancbcaab ObaMPc教材引入&任意角的三角函数定义【思路】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个 问题.如图，以单位圆的圆心为原点，以
2、射线OA为 轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P 射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向 旋转角，终止位置为OP.【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给 定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？教材引入&任意角的三角函数定义【分析】利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).【结论】一般地，任意给定一个角R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无 论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标 和 纵坐标 都是角的函数.教材引入&任意角的三角函数
3、定义【定义】设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P（1）把点P的纵坐标 叫做的正弦函数，记作sin，即 =sin（2）把点P的横坐标 叫做的余弦函数，记作cos，即 =cos（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan().可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时X=0，即此时tan无意义.除此之外，正切tan与实数是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称 为正切函数.=tan()我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.教材引入&任意角的三角函数定义【总结】三角函数可以看成是以实数(为弧度)为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函
4、数值的函数.（1）正弦函数：（2）余弦函数：（3）正切函数：角实数(角的弧度)三角函数值【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，是一个使函数有意义的实数（2）是自变量，离开自变量 的sin,con,tan是没有意义的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.探究：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数定义求得的锐角 的正弦记为 ，并把按本节三角函数定义求得的 的正弦记为 。与 相等吗？对于余弦、正切也有相
5、同的结论吗？)2,0(xx1z1yx1z1y都相等都相等例1：求 的正弦、余弦和正切值.【解】在坐标系中,作出AOB=，易知AOB的 终边与单位圆的 交点坐标为 ，所以常见角的三角函数值无无牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！M0M 证明：设角的终边与单位圆交于点P0（x0，y0）分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，P0 xyOP则|P0M0|y0|，|PM|y|，|OM0|x0|，|OM|x|，例2如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为rsincostanyxyrrx，求证：OMPOM0P0 因为y0与y
6、同号，所以 ，即 0yyrsinyr同理可得costanxyrx，于是 ，即 001M PMPr0yyrM0Msincostanyxyrrx，P0 xyOP例2如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r求证：设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，根据勾股定理，点根据勾股定理，点 与原点的距离与原点的距离),(yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ry 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rx 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy定义推广：定义推广：只要知道角 终边上任意一点P的坐标，
7、就可以求得角 的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变。【思路分析思路分析】抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键【点拨】【点拨】回归回归“定义定义”是解题的一种常用手段是解题的一种常用手段尝试练习尝试练习让梦想一起飞让梦想一起飞 第二课时1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（
8、）（）（）R+-+-+-+-三角函数的定义域和函数值的符号例3：求证：角为第三象限角的充要条件为【证明】首先证明充分性，即如果都成立，那么为第三象限角.因为sin0成立，所以角的终边位于第三或者第四象限，也可能和Y轴的负半轴重合；又因为tan0成立，所以角的终边位于第一或者第三象限，综合可知为第三象限角.再证明必要性，因为是第三象限角，根据定义有sin0，tan0，所以必要性成立，即充要性成立.诱导公式一 由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.公式一：其中kZ【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一
9、值的关系：即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因.【启发】做题时，把角同化为(02)即(0360)终边相同的角，简化计算.例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）（4）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 .2500250cos（3）因为）因为 =,而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 .)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 （2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin3
10、tan（4）因为）因为 =，而而 的终边在的终边在 轴上，所以轴上，所以 .3tantan)2tan(0tanx例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）（3）49cos)611tan(解：（解：（1）);001.0(011480sin精确到645.00140sin)36040140(sin011480sin224cos)24cos(49cos（2）336tan6tan)26tan()611tan(（3）达标检测1.内容总结：内容总结：三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.化归的思想，数形结合的思想化归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2.方法总结：方法总结：3.体现的数学思想：体现的数学思想：让梦想一起飞让梦想一起飞
