1、普陀区 2019 学年第一学期高三数学质量调研 2019.12 考生注意: 1. 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸 上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位 置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分. 1若抛
2、物线 2 ymx的焦点坐标为 1 ( ,0) 2 ，则实数m的值为 . 2. 1 32 lim 31 nn n n . 3. 不等式 1 1 x 的解集为 . 4. 已知i为虚数单位，若复数 1 i 1 i zm 是实数，则实数m的值为 . 5. 设函数( )log (4) a f xx（0a且1a ） ，若其反函数的零点为2，则a_. 6. 6 3 1 (1)(1)x x 展开式中含 2 x项的系数为_（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列 n a（ * Nn）满足 2 2810 230aaa，数列 n b是等比数列，且 88 ab， 则 4 9 11 b b b _ . 8.
3、设椭圆： 2 2 2 11 x ya a ，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若AOP是等腰 三角形（O为坐标原点） ，且2PQQA，则的长轴长等于_. 9. 记, , , , ,a b c d e f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则abcdef为偶数的排列的个数共有 _. 10. 已知函数 22 +815f xxxaxbxc, ,a b cR是偶函数，若方程 2 1axbxc在区间 1,2上有解，则实数a的取值范围是_. 11. 设P是边长为2 2的正六边形 123456 A A A A A A的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形 外接圆的一条动弦，则PM PN
4、的取值范围为_. 12. 若M、N两点分别在函数 yf x与 yg x的图像上，且关于直线1x 对称，则称M、N是 yf x与 yg x的一对“伴点” （M、N与N、M视为相同的一对） 已知 2 22 442 xx f x xx ， 1g xxa，若 yf x与 yg x存在两对“伴点” ，则 实数a的取值范围为 . 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 13. “1,2m”是“ln1m”成立的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D 既非充分也
5、非必要条件 14. 设集合 1Ax xa，1, 3,Bb，若AB，则对应的实数对( , )a b有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 15. 已知两个不同平面，和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是（ ） A.若/a，b，则/ab B.若a，b在平面内，且ca，cb，则c C.若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交 D.若，分别经过两异面直线a，b，且c，则c必与a或b相交 16. 若直线l： 2 1 2 xy baab 经过第一象限内的点 1 1 (, )P a b ，则ab的最大值为（ ） A. 7 6 B.42 2 C.52 3 D
6、.63 2 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤 17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图所示的三棱锥PABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，22ABACPA,点D在棱AC 上，且=ADAC(0). （1）当 1 = 2 时，求异面直线PD与BC所成角的大小； （2）当三棱锥DPBC的体积为 2 9 时，求的值. 18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 设函数 22 1 xx f x a .
7、 （1）当4a 时，解不等式 5f x ； （2）若函数 f x在区间2 +，上是增函数，求实数a的取值范围. 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形 OMPN区域为停车场， 其余部分建成绿地， 点P在围墙AB弧上， 点M和点N分别在道路OA和道路OB 上，且=60OA米，=60AOB，设POB D C B A P 第 17 题图 （1）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精
8、确到0.1平方米）. 20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分. 已知双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为4，直线:40l xmy（mR）与交于两个不 同的点D、E，且0m时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线的方程； （2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； （3）设A、B分别是的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q， 求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 21.（本题满分 18 分）本题共有
9、 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 数列 n a与 n b满足 1 aa， 1nnn baa ， n S是数列 n a的前n项和（ * Nn）. （1）设数列 n b是首项和公比都为 1 3 的等比数列，且数列 n a也是等比数列，求a的值； （2）设 1 21 n nn bb ，若3a 且 4n aa对 * Nn恒成立，求 2 a的取值范围； （3）设4a，2 n b ， 2 2 n n n S C （ * Nn，2） ，若存在整数k，l，且1kl ，使得 kl CC 成立，求的所有可能值. N M P B A O 第 19 题图 普
10、陀区 2019 学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考） 一、填空题 1 2 3 4 5 6 2 3 (0,1) 1 2 2 9 7 8 9 10 11 12 8 2 5 432 1 1 8 3 ， 64 6,8+8 2 32 21+2 2， 二、选择题 13 14 15 16 A D D B 三、解答题 17.（1）当 1 = 2 时，ADDC，取棱AB的中点E，连接ED、EP， 则/EDBC，即PDE是异面直线PD与BC所成角或其补角， 2 分 又PA，AB，AC两两互相垂直，则1PDDEEP,即PDE是正三角形， 则 3 PDE . 5 分 则异面直线PD与BC所成角的大小为 3 .
11、 6 分 （2）因为PA，AB，AC两两互相垂直， E D C B A P 17 题图 所以AB 平面PAC, 3 分 则 11112 2 33239 D PBCB PDCPDC VVAB SPA DCDC ， 即 2 3 DC , 7 分 又=ADAC（0） ，2AC ，则 2 3 . 8 分 说明：利用空间向量求解请相应评分. 18.（1）当4a 时，由 22 5 41 xx 得24 250 xx ，2 分 令2xt ，则 2 540tt，即14t ，4 分 即02x，则所求的不等式的解为(0,2).6 分 （2）任取 12 2xx，因为函数( )22 xx f xa 在区间2 +，上单调
12、递增， 所以 12 ( )()0f xf x在2 +，上恒成立， 2 分 则 1122 222 +20 xxxx aa 恒成立， 即 12 12 12 22 22 +0 2 xx xx xx a ， 12 12 221+0 2 xx xx a ，4 分 又 12 xx，则 12 22 xx ， 即 12 2x x a 对 12 2xx恒成立，6 分 又 12 216 xx ，即16a， 则所求的实数a的取值范围为 16,).8 分 19.（1）由平行四边形OMPN得，在OPN中，120ONP,60OPN, 则 sinsinsin ONOPPN OPNONPPON ，即 60 sin(60)si
13、n120sin ONPN ， 即40 3sin(60)ON，=40 3sinPN，4 分 则停车场面积sin2400 3sinsin(60)SON PNONP， 即2400 3sinsin(60)S，其中060.6 分 （2）由（1）得 31 2400 3sinsin(60)2400 3sin (cossin ) 22 S， 即 2 3600sincos1200 3sin=1800sin2600 3cos2600 3S， 4 分 则1200 3sin(230 )600 3S. 6 分 因为060，所以30230150， 则23090时， max 1200 3 1 600 3600 31039.
14、2S 平方米. 故当30时，停车场最大面积为1039.2平方米. 8 分 说明： （1）中过点P作OB的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20 （1）当0m直线:4l x 与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得， 2 2 2 1 tan 30 3 b a ，又焦距为4，则 22 4ab， 3 分 解得3a ，1b，则所求双曲线的方程为 2 2 1 3 x y.4 分 （2）设 11 ( ,)D x y， 22 (,)E xy，由 2 2 1 3 40 x y xmy ，得 22 (3)8130mymy， 则 12 2 8 3 m yy m ， 12 2 13 3 y
15、 y m ，且 222 6452(3)12(13)0mmm ， 2 分 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则0OD OE，即 1212 0x xy y， 即 1212 (4)(4)0mymyy y，即 2 1212 4 ()(1)160m yymy y， 则 22 22 13138 160 33 mm mm ， 4 分 即 2 2 35 0 3 m m ，则 15 3 3 m 或 15 3 3 m， 即实数m的取值范围 1515 (3,)(, 3) 33 . 6 分 （3）线段PQ在x轴上的射影长是 pq xx. 设 00 (,)D xy，由（1）得点( 3,0)B， 又点P是线段BD的中
16、点，则点 00 3 (,) 22 xy P ， 2 分 直线BD的斜率为 0 0 3 y x ，直线AD的斜率为 0 0 3 y x ，又BDPQ， 则直线PQ的方程为 000 0 33 () 22 yxx yx y ，即 2 000 00 33 22 xxy yx yy ， 又直线AD的方程为 0 0 (3) 3 y yx x ，联立方程 2 000 00 0 0 33 22 (3) 3 xxy yx yy y yx x ， 消去y化简整理，得 222 000 0 0 3 ( 3)(3) 223 xyy x xx x ，又 2 2 0 0 1 3 x y， 代入消去 2 0 y，得 2 0
17、00 2(3)1 ( 3)(3)(3) 33 x x xxx ， 即 0 2(3)1 (3) 33 x xx ，则 0 23 4 x x ， 即点Q的横坐标为 0 23 4 x ， 5 分 则 00 3233 244 pq xx xx . 故线段PQ在x轴上的射影长为定值. 6 分 说明：看作是PQ在OB或(1,0)i 方向上投影的绝对值，请相应评分. 21.（1） 由条件得 1 () 3 n n b ， * Nn，即 1 1 () 3 n nn aa ，1 分 则 21 1 3 aa ， 2 32 11 () 39 aa ，设等比数列 n a的公比为q， 则 32 21 1 3 aa q a
18、a ，又 1 (1) 3 a q ，则 1 4 a . 3 分 当 1 4 a ， 1 3 q 时， 1 11 () 43 n n a ， * Nn， 则 11 1 111111111 ()()() () () 434334433 nnnn nn aa 满足题意， 故所求的a的值为 1 4 . 4 分 （2）当2n时， 1 1 21 n nn bb ， 2 12 21 n nn bb ， 21 2 1bb， 以上1n个式子相加得， 123 1 2222(1) nnn n bbn ， 2 分 又 1212 3baaa，则 1 22 2(1 2) (1)324 1 2 n n n bnana ，
19、即 2 24 n n bna. 由 1 210 n nn bb 知数列 n b是递增数列，4 分 又 1nnn baa ，要使得 4n aa对 * Nn恒成立， 则只需 343 454 0 0 baa baa ，即 32 42 10 80 ba ba ，则 2 81a . 6 分 （3） 由条件得数列 n a是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22 n ann， 2 (422) 3 2 n nn Snn ， 则 2 232 22 n n nn Snn C . 2 分 则 222 1 11 (1)3(1)23242 222 nn nnn nnnnnn CC ， 当3n时， 22 42
20、33428282 ( 2)40nn ， 即3n时， 1nn CC ， 则当3kl 时， kl CC与 kl CC矛盾. 4 分 又1l ，即2l 时， 2 325 22 k kk . 当5k 时， 22 5 3253 5220 2216 k kk ， 又 205207207 ( 2)3 0 16216168 ， 即当5k ，2l 时， 2 325 22 k kk ，与 2 325 22 k kk 矛盾. 又2kl ，则3k 或4， 当3k 时， 22 3 3233 325 222 k kk ，解得1； 当4k 时， 22 4 3243 425 222 k kk ，解得2. 综上得的所有可能值为1和2. 8 分
